Движение материальной точки в центральном силовом поле

1. ДИНАМИКА ТОЧКИ

ЛЕКЦИЯ 6:
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

2. 1. Следствия из Т. об изменении момента количества движения

1) При движении под действием центральной силы траектория точки
есть плоская кривая
Для изучения движения будем пользоваться полярными координатами r ,
F Fr (r )
r
r
2) Движение точки происходит с постоянной секторной скоростью
d
(закон площадей)
r v 2
c
dt
d
- секторная скорость
c - постоянная площадей
dt
1
1
1 2
d основание высота r rd r d
2
2
2
1
dr
r 2
2
Закон площадей
r c
2
d
r
d 2 drd
rd
d 1
1 2
r d
2

3. 2. Скорость точки

Кинематика: vr r , v r
радиальная
компонента
v 2 r 2 r 2 2
трансверсальная
компонента
Исключаем время используя закон площадей
dr
c dr
d 1
vr r
2
c
d
r d
d r
новая переменная
vr c
u 1/ r
du
, v cu
d
2
du
2
2
2
v c
u
d
t
c
v r
r
dt c 1r 2d

4. 3. Уравнение Бинэ

Интеграл энергии
Дифференцируем по
dr du 1
1 du
2
d d
u d
1 2
mv ( r ) const
2
c 2m d
2 d
r0
(r ) Fr (r )dr
r
du 2
dr
2
u Fr ( r )
0
d
d
c 2m du d 2u
du Fr (r ) du
2
2
u
2
0
2
2 d d
d
u d
Диф. уравнение траектории точки, движущейся под
действием центральной силы (уравнение Бинэ).
d 2u
Fr (1/ u)
u
d 2
mc 2u 2
2 этапа решения задачи
1) Из уравнения Бинэ найти траекторию u u( ) r r ( )
2) Из закона площадей найти закон движения по траектории

5. 4. Пример: движение по окружности

Найти закон центральной силы, под действием которой точка будет
двигаться по окружности r a
u
1
a
d 2u
Fr
u 2 2
2
d
mc u
2
2
2 du
2
v c
u
d
mc 2
Fr 3 const
a
v
c
const
a
mv 2
Fr
a
Движение свободной материальной точки по окружности происходит с
постоянной скоростью под действием постоянной притягивающей силы
(центростремительная сила), равной по модулю mv 2 a

6. 5. Законы Кеплера

1) Все планеты (и кометы) описывают вокруг Солнца плоские
орбиты, следуя закону площадей.
2) Орбиты эти суть конические сечения, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
3) Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Из законов Кеплера Ньютон нашел закон, по которому изменяется
сила, действующая на планету при ее движении вокруг Солнца,
а затем пришел к закону всемирного тяготения. Как он мог это сделать?
1-й закон
действующая на планеты сила есть сила центральная,
направление которой проходит через Солнце

7. 6. Следствие из второго закона

2-й закон
сила, действующая на планеты, будет силой,
притягивающей их к Солнцу обратно пропорционально
квадрату расстояния.
p
1 cos
r
x2 y2
Уравнение конического сечения в полярных координатах
x r cos
y r sin
Для эллипса
p r cos r
2
2
b
a b
- эксцентриситет p
a
a
d 2u
Fr (1/ u)
u
b
2
p
d
mc 2u 2
1
2
2
1 cos
p
mc 2u 2
cos 1 cos Fr
p
c m
c2
2
Fr c mu 2
c
r
p
u
p x
2 p
1 2
постоянная Гаусса
фокусы
p
1
a
x

8. 7. Следствие из третьего закона

3-й закон
c
постоянная c будет одна и та же для всех тел
солнечной системы.
площадь эллипса ab
период обращения
T
По третьему
c 2 2a 3
c 2 const закону
p
T
b2
p
a
Постоянная Гаусса есть величина, одинаковая для всех тел, движущихся под
действием притягивающей силы Солнца, и поэтому должна зависеть только от
массы Солнца c ( M )
Для тел, движущихся под действием притяжения Земли, существует своя
гауссова постоянная з (m)
2
с з марс
Солнце притягивает Землю с силой Fсз c mr 3ий з-н
f
2 Ньютона
M m mмарс
Земля притягивает Солнце с силой Fзс з Mr
Отношение гауссовой постоянной любого тела к его массе F f Mm
r
есть константа, называемая гравитационной постоянной.
r2

9. 8. Задача Ньютона

Найти траекторию материальной точки, притягиваемой неподвижным
центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния
Fr
2
m
r2
mu 2
d u
Fr
u
d 2
mc2u 2
выбор начала отсчета 0 0
ap
d 2u
1
u
2
d
p
u
1 1 cos
r
p
u
1
a cos 0
p
p
c2
Траекторией точки будет коническое сечение (эллипс, парабола или
гипербола), один из фокусов которого совпадает с притягивающим ценцентром. Конкретный вид траектории зависит от значений постоянных
и p , т. е. от начальных условий.

10. 9. Виды траекторий

Пусть в точке Р (перицентр) известна скорость v P . Каков будет вид траектории?
dr
d
P
p sin
1 cos
2
0
dr r rvr
d v
1 1 cos
r
p
2
vII
xp
vI
xp
v p v
0
p
xp
1
vr
P
0 ЗП:
v 2p x p
1
P
xp P
x 2p c
c x pv p
p
v p vII
1
y
P
параболическая скорость
v
v p vII
круговая скорость
(траектория –окружность)
Если начальная скорость задана вблизи Земли
( x p R ), то vI 7.9 км./c. vII 11.2 км/с.
p
c2
1
1 v p vII
0
xp
x
v 2p x 2p

11. 10. Виды траекторий и энергия

Выразим эксцентриситет через постоянную энергии
1 2
vp
e
2
xp
Нормированный на m интеграл энергии
кинетическая
полная
энергия
потенциальная
2
2
4 2
2
2 2
1 2
v
x
v
x
v
x
2
v
c2
p p
p p
p p
p xp
2
1
1 1 2 2
v p 2 2 e
2
2
xp
1 2
c2
2
e
вид траектории зависит от знака полной энергии:
e<0 – эллипс, e=0 –парабола, e>0 - гипербола

12. 11. Определение параметров траектории по начальным данным

Известны v0 , r0 , 0 Найти p, , 0
A0
v0
0
r0
0
0
0
1) Найти константы площадей и энергии
O
c r0 v0 r0v0 cos 0
v0 r v0 sin 0
v0 v0 cos 0
2) Найти p,
p
3) Найти 0 из уравнения траектории
p
1 cos
r
e
c2
1 2
1 p
cos 0 1
r0
1 2
v0
2
r0
c2
2
e

13. 12. Движение вдоль орбиты. Уравнение Кеплера

a
p
1 2
OO1
d 2c 2c
2
2 2 1 cos
dt r
p
d
Закон площадей
p
1 2
a
O1
A1
E r
B
O
A
p2
t t0
2c
1 cos
Замена переменных E
a cos E r cos OO1
p
p cos
p
cos
E
1 2
1 cos 1 2
1
2 cos
1 cos E
1 cos
1 cos
1 cos
2
2 cos 1 cos sin
cos E dE 1
d
2
1 cos
cos E
2
1
d
1 cos
1 cos
2
2
0
эксцентрическая
аномалия
cos
1 cos
1 2 sin
sin E
1 cos
cos E
1
1 cos E dE
2 3/ 2
d
1 cos
2

14. 13. Движение вдоль орбиты. Уравнение Кеплера

E
n t t0 1 cos E dE E sin E
0
n t t0 E sin E
Период обращения
E 2
T
2
n
2
t t0 E sin E
T
n
2c 1
2 3/ 2
p2
Уравнение Кеплера