Л2(э)

1. Л.2 Электростатика. Потенциал. Теорема Гаусса.

2. Поток вектора напряженности

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы
единичную площадку, нормальную к вектору
напряженности пересекало такое их число, которое
равно модулю вектора напряженности
число линий Ф
Е
.
S
S
Ф 4
B
E 2 .
S 2
м

3.

Полное число силовых линий, проходящих через
поверхность
S
называется
потоком
вектора
напряженности Ф через эту поверхность.
При А1: ФE 0.
При А2: ФЕ 0
При А:
ФЕ 0
При А1: ФЕ 0

4. Теорема Остроградского - Гаусса

dФЕ ЕdS cos En dS.
ФЕ ES . - однородное поле
ФЕ ЕndS EdS. S
ФЕ Еn dS
S
q
0
произвольное
поле
S
q
Ф Е dS
Е
n
S
0
Поток вектора напряженности электрического поля
через замкнутую поверхность в вакууме равен
алгебраической сумме всех зарядов, расположенных
внутри поверхности, деленной на ε0

5.

Электрические заряды могут быть «размазаны» с
некоторой объемной плотностью различной в разных
местах пространства:
dq / dV
• Суммарный заряд объема dV будет равен:
q dV .
i
V
• Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
1
ФE ЕdS dV
ε0 V
S
1
ФE dV
ε0 V
5

6.

Дифференциальная форма теоремы
Остроградского-Гаусса
1
div E lim
E
d
S
V 0 V
Ex E y Ez
div E
.
x
y
z
-
дивергенция поля
div E .
0
В тех точках поля, где div E 0 – источники поля
(положительные заряды),
В тех точках поля, где div E 0 – стоки
(отрицательные заряды).
Линии напряженности выходят из источников и
заканчиваются в стоках.

7. Примеры использования т.Гаусса

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
dq
,
dS
E ' E ' ' E.
ФЕ
q
0
ФЕ 2 SE.
2 SE S
1
0
E
.
2 0

8. 2. Поле заряженного пустотелого шара

r R,
ФE E (r ) S Е (r )4 r
2
E (r )
q
4 0 r
2
r R,
E (r ) 0.
.
q
0

9. Теорема о циркуляции

E
F
1 qq' r
r
F (r )
2
4 0 r r
r
1 qq'
dA Fdlcos
dlcos ,
2
4 0 r
dr dl cos ,
qq '
dA
d
r
.
2
4 0 r
qq' dr qq' 1 r2 qq' 1 1
A12
.
2
4 0 r1 r 4 0 r r1 4 0 r1 r2
r2

10.

Работа электростатических сил не зависит от
формы пути, а только лишь от координат
начальной и конечной точек перемещения.
Следовательно, силы поля консервативны, а
само поле – потенциально
dA qEd l .
A q Ed l .
2
1
Это утверждение и называют
E
d
l
0
.
теоремой о циркуляции

11. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия.

Электростатическое поле потенциально,
т.е. обладает потенциальной энергией
A12 W1 W2 .
qq'
qq'
A12
.
4 0 r1 4 0 r2
Потенциальная энергия заряда q' в
поле заряда q:
1 qq'
W
const.
4 0 r

12. Потенциал. Разность потенциалов

Потенциал численно равен потенциальной
энергии, которой обладает в данной точке поля
единичный положительный заряд.
W
.
q'
1 q
. -потенциал точечного заряда
4 0 r
физический смысл имеет разность потенциалов,
поэтому договорились считать, что потенциал
точки, удаленной в бесконечность, равен нулю
A
q
или
A q

13.

Потенциал численно равен работе, которую
совершают силы поля над единичным
положительным зарядом при удалении его из
данной точки в бесконечность.
k
k
т.е. потенциал поля, создаваемый системой
зарядов, равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых каждым из
зарядов в отдельности

14.

A12 W1 W2 1q 2q q 1 2 .
Работа над зарядом q равна произведению
заряда на убыль потенциала:
A q 1 2 qU ,
U – напряжение
1 В 1 Дж/1 Кл

15. Связь между напряженностью и потенциалом

dA Fl dl El qdl ,
d A qd ;
El q d l q d
d
E i
j
k,
x
y
z
El .
dl
E grad
rotE 0

16. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

В однородном электрическом поле силовые
U
линии – прямые:
E
l
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют
одинаковый
потенциал,
называется
эквипотенциальной поверхностью.

17.

Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности взаимно перпендикулярны
17

18. Расчет потенциалов простейших электростатических полей

1. Разность потенциалов между двумя бесконечными
заряженными плоскостями
d
E
,
dl
E
0
d Edl
1 d 0 x dx;
2
x2
1
2 1 x2 x1
0
18

19.

2.
Разность
(пустотелой)
потенциалов
E (r )
заряженной
сферы
q
4 0 r
2
d Edr
q dr q 1 r2 q 1 1
,
1 2
2
4 0 r 4 0 r r1 4 0 r1 r2
r1
r2
q
т.е.
.
4 0 r