1. Электростатика

1.

Рейтинговая система 2-ой семестр
Максимальный рейтинг составляет 122 балла.
По рейтингу без экзамена можно получить только "хорошо" и
"отлично".
"Хорошо" – это 80 – 99 баллов.
"Отлично" – это 100 – 122 баллов.
Если рейтинг менее 80 баллов сдача экзамена является
обязательной.
Основная литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики: учебное пособие для втузов: В 3 т. –
7-е изд., стереотип. – СПб.: Лань, 2007.
Т. 2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – 496 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов в 5 т. – М.:
Физматлит, 2005-2006.
Т. 3: Электричество. – 5-е изд., стереотип. – М.: Физматлит, 2006. – 654 с.
3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. В 3-х тт. [Электронный
ресурс] – СПб.: Лань, 2007.
1
Т. 2: Электричество и магнетизм. – 7-е изд. – 352 с.

2.

Распределение максимального рейтинга по элементам контроля.
Посещение лекций и практик – 1 балл за занятие – 18 баллов.
(По плану 9 лекций и 9 практик)
Контрольные задания на практиках – 4х6=24 балла. Всего 4
индивидуальных задания по 6-7 задач в каждом. Одна правильно решенная задача
– 3 балла. На зачет 2 решенные задачи.
Теоретические коллоквиумы – 2х24=48 баллов.
2 письменных коллоквиума. Теоретическая и практическая часть.
Защита лабораторных работ – 4х5=20 баллов.
Решение тестов на практиках – 4х3=12 баллов.
ИТОГО: 122 балла + баллы за активность на практиках и
лекциях
Допуск к экзамену – выполнение всех индивидуальных заданий +
защита лабораторных работ.
2

3. Электростатика

Электростатика - раздел учения об электричестве, в котором
изучаются взаимодействия и свойства систем электрических зарядов,
неподвижных относительно выбранной инерциальной системы отсчёта.
Электростатическое поле - частная форма электромагнитного поля,
представляющая собой вид материи, посредством которой
взаимодействуют неподвижные электрические заряды.
Электрический заряд - это скалярная физическая величина,
определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия.
Электрический заряд инвариантен по отношению к различным
системам отсчета. Во всех системах отсчета заряд тела или
частицы имеет одно и то же значение;
- электрический заряд – величина аддитивная. Заряд любой системы
равен сумме зарядов составляющих эту систему тел (частиц).
3

4.

Закон сохранения электрического заряда - суммарный заряд
электрически изолированной системы не может изменяться.
Закон Кулона - сила электрического взаимодействия между
двумя неподвижными заряженными частицами в вакууме
прямо пропорциональна произведению их зарядов и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними.
q1 q2
F12 k
er
2
r
F12
F21
er
+q1
+q2
er – единичный вектор.
Закон Кулона справедлив при расстояниях от 10-15 м до
нескольких км.
1
k
8,99 109 9 109
0 = 8,85 10-12 Ф/м
4 0
F12 F21
4

5.

Напряжённость электростатического поля
Основное свойство электрического поля заключается в том, что на
всякий заряд, помещённый в это поле, действует сила.
Возьмём пробный электрический заряд qпр и поместим его в
электрическое поле, которое создаёт заряд q
er
q
F
r
qпр
F
1 q
e
Величина E
2 r
qпр 4 0 r
не зависит от qпр
и определяется лишь зарядом q, а потому служит
характеристикой поля.
Вектор напряжённости электростатического поля численно равен
силе, действующей в данной точке на помещённый в неё пробный
единичный положительный заряд.
[E]=Н/Кл=В/м
5

6.

Силовые линии электростатического поля
Силовая линия, это линия, для которой направление касательной
совпадает с направлением вектора напряжённости.
E
Силовые линии нигде не
пересекаются
E
Линии напряженности начинаются на положительных зарядах и
заканчиваются на отрицательных зарядах
E
E1
E
Опыт показывает, что для электрического
поля справедлив принцип суперпозиции
n
E E1 E2 E3 ... Ei Ei
E2
1
2
i 1
6

7.

Теорема Остроградского-Гаусса
для вектора напряжённости электрического поля
В некоторой области пространства существует электрическое поле
Поток вектора E через площадку dS есть:
dS
E
n
Тогда:
d E E dS cos
Площадке сопоставляют вектор dS n
d E E dS - Скалярное произведение векторов
Поток вектора E через поверхность S:
E
E E dS
S
S
E В м
7

8.

Теорема Остроградского-Гаусса
Теорема Остроградского-Гаусса - поток вектора E из замкнутой
поверхности S равен суммарному заряду внутри поверхности,
деленному на ε0
E E dS
q
S
-q1
i
+q2
i
0
-q5
+q
1
q3 q4 q5 .
0
-q4
3
+q6
ФE
S
-q7
Для заряда, распределенного непрерывно:
1
V – объем внутри поверхности S
E dS dV
S
0 V
dq
- объемная плотность заряда
dV
Теорема Остроградского-Гаусса есть интегральная формулировка закона
Кулона
8

9.

Дифференциальная формулировка закона Кулона
В математике доказывается теорема Остроградского-Гаусса:
divE - дивергенция вектора Е
E dS divEdV
S
V
E x E y E z
div E
x
y
z
Таким образом, с учетом
S
получим:
1
divEdV
V
1
E dS dV
dV
0 V
или
0 V
div E
0
Дифференциальная формулировка закона Кулона
9

10.

Применение теоремы Остроградского-Гаусса
к расчёту электростатических полей
1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.
dq
dS
S
S
σ – поверхностная плотность заряда,
dq – заряд сосредоточенный на площади dS,
dS – физически бесконечно малый участок
поверхности.
S
E'
E''
+
+
E'
E''
E E E.
Поток вектора напряжённости через
боковую поверхность цилиндров равен
нулю, так как En = 0. Для основания
цилиндров En = E
ФE EdS 2 E S
S
10

11.

q S
E
2 0
ФE
q
.
0
2 S E S
1
0
.
Полученный результат не зависит от расстояния. Это
означает, что на любом расстоянии от плоскости
напряженность поля одинакова.
E = const
2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей.
E+
-
E
.
2 0
E-
E
.
2 0
+
E+
E E E .
0
Вне пластин: E = E+ – E– = 0.
E-
11

12.

3. Поле бесконечного заряженного цилиндра.
dq
dl
λ – линейная плотность заряда,
dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра длиной dl.
l
E
R
r
Представим вокруг
заряженного полого
цилиндра (нити)
коаксиальную
замкнутую поверхность
(цилиндр) радиуса r и
длиной l.
Для основания цилиндра En = 0, а для боковой поверхности
En = E(r), т.е. зависит от расстояния r
ФE E r 2 r l
При r > R внутри поверхности имеется
заряд q = l.
12

13.

l
E r 2 r l
.
0
E r
2 0 r
при
r R
Внутри цилиндра
E r 0 при r R
Для системы состоящей из двух коаксиальных цилиндров
E+
E
E 1/r
E–
R
r
r
13

14.

4. Поле заряженной сферической поверхности (пустотелого
шара).
Сфера радиуса R, заряжена положительным
зарядом с поверхностной плотностью
R
E = E(r)
r
E
ER
E 1/r2
Если r > R, то внутрь сферы попадает весь
заряд q.
E r 4 r
2
r
R
E r
q
4 0 r 2
q
0
.
при r R E r
q
4 0 r
2
.
14

15.

E r 0 при r R
E r
q
4 0 R
2
.
Вне сферы поле тождественно полю точечного заряда, той же
величины, помещённого в центр сферы.
5. Поле объёмно-заряженного шара.
dq
dV
Введём объёмную плотность заряда .
В данном случае сферическая поверхность при r < R будет
содержать в себе заряд q.
4 3
q r .
3
4 3
E r 4 r
r .
0
3
2
1
15

16.

E
q
4
3
R
3
.
E r
E 1/r2
R
4 3
E r 4 r
r .
0 4 R 3 3
3
2
1
q
q r
q
r
E r
3.
3
4 0 R
4 0 R
r
4 3
R r
r
3
E r
.
3
3 0
4 0 R
r
E r
.
3 0
16

17.

Потенциал
Потенциальность электростатического поля
Из механики:
Поле потенциально, если работа сил поля по перемещению частицы не
зависит от траектории, но определяется положением начальной и
конечной точек перемещения. Силы такого поля – консервативны.
F
dr
1
q'
r1
2
dl
r
q
r2
dA Fdl Fdl cos
1 qq '
F
dl cos dr
2
4 0 r
2
2
qq ' dr
A12 Fdl
2
4
r
0 1
1
qq ' 1 1
A12
4 0 r1 r2
(1)
Т.е. работа А не зависит от траектории, а значит
электростатическое поле потенциально
17

18.

В потенциальном поле работа равна
A12 W1 W2 (2)
Сравнивая (2) и (1), получаем:
Потенциальная энергия точечного заряда
q’
Выберем const из условия r=∞, W=0
W
q'
- потенциал
qq '
W
const
4 0 r
Const =0
W q'
q
Для поля точечного заряда потенциал равен
Для поля, созданного зарядом, распределенным
непрерывно:
dV
4 0 r
V
4 0 r
Потенциал и потенциальная энергия – аддитивные величины
W Wi
i
i
i
18

19.

Основные характеристики электростатического поля
Напряженность - силовая характеристика поля
Потенциал - это энергетическая характеристика поля, т.к. он равен
работе, которую совершают силы электростатического поля над
единичным положительным зарядом при удалении его из
рассматриваемой точки на бесконечность.
Связь между напряженностью и потенциалом:
E qrad
i
j
k
y
z
x
Вектор
E направлен в сторону скорейшего убывания потенциала
Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом
называется эквипотенциальной поверхностью. Э.п. линиям
напряженности.
19

20.

2
Циркуляция вектора напряженности
электростатического поля
a
Работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 будет равна
2
2
1
1
A12 Fl dl q El dl q( 1 2 )
b
Работа сил поля по замкнутому контуру
A1a 2b1 qEl dl q( 1 1 ) 0
1
Ed l 0
Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией
Циркуляция напряжённости электростатического поля по любому
замкнутому контуру равна нулю
Циркуляция вектора
это контура (ЭДС)
2
E dl
l
1
1
E по контуру называется электродвижущей силой
2
20

21.

Электрический диполь
Электрическим диполем называется система двух одинаковых по
величине, но разноимённых точечных зарядов, расстояние между
которыми l значительно меньше расстояния r до тех точек, в которых
определяется поле системы (r >> l).
Электрический момент диполя
вектор, который направлен по оси p ql
диполя от отрицательного заряда к
E+
положительному.
E
При r >> l
E-
r
–q l 2
l 2
P
+q
1
q
E E
4 0 r 2 l
E
l
l
1
2
2
E
r
l
r 2
4
x
1 p
E
3
4 0 r
2
2
q
4 0 r 2
l
q l
E
E
.
3
r 4 0 r
E||
1 2p
4 0 r 3
21

22.

Диэлектрики в электростатическом поле
Все известные в природе вещества в соответствии с их способностью
проводить электрический ток делятся на:
Проводники пр = 106 108 Ом-1 м-1
( - удельная проводимость)
Диэлектрики д = 10-8 10-18 Ом-1 м-1
Полупроводники п/п = 107 10-8 Ом-1 м-1
В идеальном диэлектрике свободных зарядов нет.
Под действием электрического поля заряды смещаются относительно
друг друга. Это явление называется поляризацией.
Каждая пара зарядов образует
электрический дипольный момент
l'
p' 0 E
p'
E
p' q l '
- поляризуемость
молекулы.
22

23.

Поместим диэлектрик в однородное электростатическое поле
+ `
– `
E0
E*
E
l
E0 – внешнее электрическое
поле;
E*– усреднённое поле
связанных зарядов;
E – результирующее
электрическое поле в
диэлектрике;
+ ` и – ` – поверхностные
плотности связанных зарядов.
На внешних поверхностях диэлектрика, примыкающих к электродам,
возникают заряды противоположного электродам знака. Эти заряды
называются связанными.
Вектор поляризации диэлектрика - это величина, равная отношению
суммы дипольных моментов pi всех молекул, содержащихся в
элементе объема V , к объему V
pi
i
PE
V
23

24.

В любой точке поверхности поляризованного диэлектрика
поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной
составляющей вектора поляризации в этой точке.
Pn *
*
Напряженность поля в диэлектрике E E0 E
или в скалярной форме
E E0 E *
Таким образом, поле в диэлектрике
оказывается меньше поля вне диэлектрика.
Поле в диэлектрике связано с внешним полем соотношением
E E0
Диэлектрическая проницаемость показывает, во
сколько раз ослабляется электрическое поле в
диэлектрике.
24

25.

Вектор электрического смещения
(электрическая индукция)
При переходе электрического поля из одной диэлектрической среды в
другую с разными напряжённость электрического поля изменяется
скачком.
1 < 2
E1
E1 2
2
E1 E2
E2 1
1
E2
Для упрощения расчётов была введена новая векторная величина –
вектор электрического смещения (электрическая индукция), не
зависящая от свойств среды.
D 0 E
В общем виде для диэлектрических сред с различными
свойствами D E P
0
E
25

26.

Поток вектора электрического смещения
ФE En dS , ФD Dn dS
S
S
D
n
S
E
D
0
,
ФD D S cos Dn S.
E dS
S
q
0
i
.
D dS qi .
S
Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую
поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми
зарядами внутри объёма, ограниченного данной поверхностью
26

27.

Изменение векторов E и D на границе раздела диэлектриков
Рассмотрим границу между двумя диэлектриками с проницаемостями
Представим каждый из векторов
тангенциальной составляющих
E
En 1
E1
в виде суммы нормальной и
Используем:
D 1
1
ε1
1
Dn1
D1
ε1
D 2
E 2
1и 2
E dl
0
l
D dS q
св
En 2
2
E2
ε2 1
ε2 1
2
Dn 2
D2
S
D 0 E
27

28.

Условие для вектора E
1
l
ε1
'
2
ε2 1
E dl
0
l
E2 l E1 ' l 0
Если на нижнем участке контура
проекцию вектора E взять не на орт ', а
на общий орт , то E1 ' = – E1 и из
предыдущего уравнения получим.
E1 E2
Тангенциальная составляющая вектора E оказывается
одинаковой по обе стороны от границы раздела, т.е. не
претерпевает скачка
D 1 1
Используя D 0 E , получим:
D 2
2
28

29.

Условие для вектора D
D dS q
св
1
n
S
ε1
S
D2 n S D1n S S
– сторонний заряд (свободный) на
границе раздела
D2n D1n
Взяв обе проекции вектора на общую
нормаль n (она направлена от
диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим
D1n' = – D1n
Если нет сторонних зарядов ( = 0), то
D1n D2 n
Нормальная составляющая вектора D не
претерпевает скачка
n'
2
ε2 1
Используя D 0 E , получим:
En1 2
En 2 1
29

30.

Изменение векторов E и D на границе раздела диэлектриков
D 1
E 1
E n1
En2
2
1
E1
ε1
E 2
E2
ε2 1
Dn 1
1
D1
ε1
D 2
ε2 1
Dn 2
D2
2
Таким образом у обоих векторов E и D одна из составляющих
испытывает на границе двух диэлектриков разрыв, оба вектора
при переходе поля через границу скачкообразно изменяются по
величине и направлению. Т.е. векторы преломляются.
30