ТМ Кинематика ЛК1

1. Кинематика – раздел механики, в котором изучают движение материальных тел без учета причин, его вызывающих

Тема 2 Кинематика
Кинематика – раздел механики, в котором изучают движение
материальных тел без учета причин, его вызывающих
Виды движения:
Основные задачи
Поступательное
Вращательное
Плоскопараллельное
Сферическое
Сложное
Кинематические
характеристики:
Положение точки
(тела)
Траектория
Скорость
Ускорение
кинематики:
Установление
математических
способов задания
движения точек (тел)
Зная закон движения
точки (тела), установить
методы определения
всех величин,
характеризующих данное
движение

2.

М
М’
r
r'
O
Векторный способ задания движения
r r t

3.

Z
М
z’
М’
r
r'
k
j
O
x’
X
i
Координатный способ задания
движения
y’
Y
x x t
y y t
z z t

4.

Естественный (траекторный) способ задания
движения
+
-
М
задаем траекторию
s (t)
O
М’
движения
начало отсчета
направление отсчета
расстояний
закон движения точки
по траектории s = s(t)

5.

Все три способа задания эквивалентны и связаны
между собой:
Z
O’
z’
М
s (t)
r
М’
r'
k
O
x’
X
i
j
y’
Y

6.

1. Векторный и координатный – соотношением:
r (t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
2. Координатный и естественный –
соотношением:
3. Для получения уравнения траектории движения
необходимо из уравнений движения координатного способа
исключить время, т.к. траектория не зависит от времени:
Последние два уравнения представляют собой
уравнения линейчатых поверхностей, линия
пересечения которых и есть траектория движения
точки.

7.

2 Скорость
Скорость точки V (векторная величина) одна из
основных кинематических характеристик движения
точки
Под средней скоростью точки (по модулю и
направлению) понимают величину, равную отношению
вектора перемещения к промежутку времени, за
который это перемещение произошло
MM 1
Vcp
t
Скорость точки в данный момент времени называется
мгновенной скоростью точки
MM 1
V lim
t 0 t

8.

2.1. Скорость при векторном способе
задания движения точки
М
r
r r t
М1
r
O
В момент времени t
при t1= t + ∆t
r1 r t t
MM 1 r
Vcp
;
t
t
r1 r t t
r1 r t t r MM1
MM1 r1 r r
.
r dr
V lim
r
t 0 t
dt
длина м км
V время с ; час

9. 2.2. Ускорение при векторном способе задания движения точки

М
V r
aср
М1
V
В момент времени t
скорость точки М V V t
при t1= t + ∆t в точке М1
V1 V1 t1 V t t
V1 V V V V t t V t
1
V
O
V
acp
;
t
V dV d 2 r
r
a lim
V
t 0 t
dt
dt 2
длина
м
a
2
2
время
с

10.

2.3. Скорость при координатном способе
задания движения точки
М
r
O
r
V
V
М1
r1 r t t
k
r x i yj j z k
i
r r1 r MM1
dr dx
dy
dz
i
j k
dt dt
dt
dt
V x i y j z k
V Vx i V y j Vz k
V V Vx2 V y2 Vz2
Vx
cos V, x
V
Vy
cos V, y
V
Vz
cos V, z
V
направляющ ие
косинусы

11. 2.4. Ускорение при координатном способе задания движения точки

М
V
a
k
r
O
j
i
a a ax2 a 2y az2
dV d 2 r
r
a
V
dt
dt 2
a ax i a y j az k
a V x i V y j V z k
a x i y j z k
ax
cos a , x
a
ay
cos a , y
a
az
cos a , z
a
направляющ ие
косинусы

12. 2.5. Скорость при естественном способе задания движения точки

М
r
s s t – криволинейная
r
М1
r1 r t t
O
(дуговая)
координата
S S t пройденный
путь
Оси естественного трехгранника
М - касательная к траектории, направленная в
n
сторону движения
Мn - нормаль к траектории лежит в соприкасающейся плоскости и направлена в сторону
вогнутости траектории
Мb - перпендикулярна к первым двум, так чтобы
образовывала правую тройку векторов

13.

dr
V
dt
М
r
r
s
М1
r1 r t t
O
по определению или
r
V lim
t 0 t
r s
V lim
t 0 t s
r
s
ds
lim
lim
t 0 s t 0 t
dt
n
ds
ds
V
;
V
s ;
dt
dt
V V ;

14.

2.6. Ускорение при естественном
способе задания движения точки
М V t
угол смежности
V
М1
V t t
O
V V t t V t
V
acp
; acp V
t
V t t
acp лежит в
соприкасающейся
плоскости
V
dV
a lim
a
n
a
a
b
;
n
b
dt
t 0 t

15.

V
V cos V
V V
dV
lim 1
lim 1
;
t
t 0 t
t 0
t
dt
t 0
a lim
0
V1 sin s
Vn
V sin
lim 1
lim
t
s
t 0
t
t 0
t 0 t
0
an lim
0
2
s
sin
V
2
lim V1
;
lim
lim
V
k
t t 0 s 0
t 0
0
d
k
lim
ds
s 0 s
ab 0
0
t 0
- кривизна кривой
в точке М
sin
1
lim
0

16.

1
радиус кривизны траектории
k
2
М
О
a
a
an
dV
V
a
n
dt
a
a 2 an2
an всегда положительное, т.к. всегда направлено в
сторону вогнутости траектории
a показывает изменение скорости по величине
an показывает изменение скорости по направлению

17. 3. Частные случаи движения точки

Равномерное движение, если всегда
в случае V 0
a 0
имеем V const
Равномерное прямолинейное движение, когда
и значит
V2
0
либо если
an 0
V 0, то мгновенная остановка, т.е.
скорость меняет направление – точка перегиба
Равномерное криволинейное движение, когда
an a
s0 Vt
В этом случае уравнение движения s t

18.

Если a 0 в какой-нибудь момент времени
имеем экстремум, т.е.
Если
Vmax или Vmin
a 0, то движение с ускорением
движение ускоренное, когда
a 0
движение замедленное, когда
a 0

19.

Равноускоренное движение, если всегда
a const
В этом случае уравнение движения
a const
dV a dt
ds V0 a t dt
V V0 a t
a t 2
s t s0 Vt
2