ДИН_ЛЕКЦ_СЛАЙДЫ_2011_Ncc

1.

2. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
V
Рис.2.1
Rд
Y
Rд
P1=Pу1(t)+Pд1(t)
Рис.2.2
qi
mi
P2=Pу2(t)+Pд2(t)
X

2.

Соответственно назначенным обобщенным координатам могут
быть вычислены матрицы жесткости L или податливости :
L lij ; ij .
(2.1)
Методы сил и перемещений позволяют получить следующие
уравнения:
(2.2)
Q ij Q q ,
Как известно
соотношения:
L q lij q Q .
между матрицами L
1
1
(2.3)
и
существуют
lij ij ; ij lij ,
или lij ij I - единичная матрица.
(2.4)

3.

В уравнениях (2.2) и (2.3) вектор q является вектором
обобщенных координат, а вектор Q - вектором обобщенных сил. При
колебаниях вектор Q включает вектор сил инерции масс Q ИН , вектор
внешних сил P , вектор реакций демпфирующих связей Rд .
Q ИН = - [M] ∙ q .
Таким образом:
L q M q Pi (t ) R i .
Матрицы L и M - симметричные;
M - матрица инерции (приведенная матрица масс).
(2.5)
(2.6)

4.

q2
Пример.
C
q3
b
О
а
q1
Рис.2.3
m, Jc
m
0
m b 2
m
m a2 ,
M 0
m b2 m a 2
J 0
где J 0 J c m (a 2 b2 ) .
Проще использовать другую расчетную схему, рис.2.4:
фиктивный стержень
большой жесткости.
Рис.2.4

5.

Уравнение (2.6) получено по методу Даламбера. То же уравнение
можно получить , используя для этого уравнение Лагранжа II-го рода.
В этом случае необходимо предварительно составить выражения:
потенциальной энергии деформации:
1
(2.7)
U q L q ,
2
- квадратичная форма от независимых переменных q ,
кинетической энергии:
1
(2.8)
T q M q ,
2
- квадратичная форма от скоростей независимых переменных
q .
Если бы в системе учитывались силы веса или иные силы, которые
могут считаться потенциальными, то необходимо было бы получить:
Выражение потенциальной энергии консервативных сил:
(2.9)
П mi qi g ,
где g- ускорение силы тяжести.
В общем случае:
(2.10)
П Pi qi .
Если Pi приложена против обобщенной координаты, то Pi qi
берется со знаком «+».
Запишем выражение виртуальных работ неконсервативных сил,
внешних сил, зависящих от времени, сил реакций демпферов:
Ap Pi (t ) qi ; ARд Rдi qi .
(2.11)

6.

Выражения (2.7) ÷ (2.11) используются в уравнении Лагранжа:
d
T
T U П
Pi (t ) Rдi .
dt
qi qi qi
qi
дТ
в нашем случае 0 .
дqi
M q L q Pi (t ) Rд .
i
(2.12)
(2.13)

7.

2.1. Свободные колебания консервативной системы
с « n » степенями свободы
При свободных колебаниях в уравнении (2.6) отсутствуют векторы
Pi (t ) и Rдi - внешние силы и реакции демпферов. Уравнение (2.6)
превращается в однородное:
где:
n M
n
M q L q 0 ,
,
(2.14)
n – размерность.
Вектор q представляется в виде:
q f f1 1 (t ) f 2 2 (t ) ... f n n (t ) .
(2.15)

8.

Пример:
Первая форма собственных колебаний
q1
q2
q3
q1 f11 01 cos p1t ;
q2 f 21 01 cos p1t ;
m1
f11; 01.
m2
f 21; 01.
q3 f31 01 cos p1t ;
m3
f31; 01.
Рис.2.5
Все три массы колеблются по одинаковому гармоническому
закону:
qi fi1 01 cos p1t; f1 ; p1 .
(2.16)
p1 - собственная частота колебаний первого тона;
fi1 - некоторое безразмерное число.

9.

Вторая форма собственных колебаний, рис.2.6,
Y
X
f12
qi fi 2 02 cos p2 t
f 2 ; p2
f22
Рис.2.6
f32
.
Третья форма собственных колебаний, рис.2.7,
Y
X
Рис.2.7
f13
qi f i 3 03 cos p3t
f3 ; p3
f23
f33
.

10.

2.1.1. Определение частот и форм собственных колебаний
упругой системы с « n » степенями свободы
Пусть упругая система совершает свободные
соответствующие некоторой собственной форме f , т.е.
q f 0 sin pt .
колебания,
q f 0 p 2 sin pt .
Тогда
Подстановка (2.18) и (2.17) в (2.14) позволяет получить:
M p 2 L 0 f sin pt 0 .
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Уравнение (2.19) должно существовать при любом 0 и t .
Поэтому должно быть равенство:
(2.20)
L M p 2 f 0 ,
или
L f p 2 M f .

11.

det L M p 2 0 .
(2.21)
Уравнение (2.21) называется частотным или вековым.
Для рассмотренной выше балки с тремя сосредоточенными
массами:
l11 p 2 m1
l12
l13
det L M p 2
l21
l22 p 2 m2
l23
0;
l31
l32
l33 p 2 m3
Раскрыв определитель, можно получить частотное уравнение в
виде полинома. При этом, так как в общем случае матрица M
является заполненной, то для получения полинома полезно уравнение
(2.20) предварительно преобразовать:
2
M
L
M
M
p
f M 0 0 ,
1
или
1
1
M L I f 0 ,
1
(2.22)
(2.23)
где I - единичная матрица,
p 2 - собственное значение матрицы M L .
1
Частотное уравнение будет иметь теперь следующий вид:
или
det M L I 0 ,
(2.24)
det A I 0 .
(2.25)
1

12.

Для балки с тремя массами частотное уравнение в новой форме
будет иметь вид:
l11 l12 l13
m
m
m
1
1
1
a11 a12
l21 l22 l23
a
A
a22
21
m2 m2 m2
a31 a32
l31 l32 l33
m3 m3 m3
a11
a12
a13
det a21
a22
a23 0;
a31
a32
a33
a13
a23 ;
a33
(a11 ) a22 a33 a21 a32 a13 a31 a12 a23
a31 a13 a22 a11 a32 a22 a21 a12 a33 0.
Или в виде полинома вида
3 B 2 C D 0 .
(2.26)

13.

1 2 3 ... n ,
образуя так называемый спектр собственных значений, а
соответствующие собственные частоты – спектр собственных частот:
p1 p2 p3 ... pn .
Следует отметить, что частотное уравнение позволяет определять
собственные частоты систем, в которых матрица жесткости L не
является положительно определенной, например свободных балок:
p1=0
p3>0
p4>0
p2=0
Рис.2.8
В этом случае среди корней частотного уравнения будут и
нулевые, соответствующие формам перемещений балки как жесткого
целого, рис.2.8.

14.

Пример:
2l/3
q1
q2
m2
m1
l
m2 = 2m1
1
EI
l
2l/3
l
Рис.2.9
Рис.2.10
1
Для расчета коэффициента податливости воспользуемся методом
Верещагина.
2
1 2 2
8
l l l l 3;
3
2 3 3 54
2
1 2 2 16
l 2l l l 3 ;
3
2 3 3
54
24 3 4 3
54 l 9 l
4 l3
11 22
;
9 EI
7 l3
12 21
.
18 EI

15.

12 10,5
l3
1 27 E J 12 10,5
ij
;
; L
3
27 E J 10,5 12
det
l
10,5 12
det 144 10,52 33,75 ;
1 0
1
1
M
1 ;
m1 0
2
12 10,5
27 E J 12 10,5
1
;
M L 3
det l m1 5,25 6
5,25 6
m1 0
;
M
0 2m1
27 E J
27
E J
3
3
;
det l m1 33,75 l m1
(12 ) 10,5
1
det M L I
0;
5,25 (6 )
2 18 16,9 2 0;
1,2
18
324 67,6 2
2
; 1 1 ;
2 17

16.

Собственные частоты:
p1
27
E J
1
3
0,894
33,75 l m1
; p2
27
E J
17
3
3,688
33,75 l m1
.
(2.27)
Согласно уравнению
M L I f 0 ;
1
получаем коэффициенты формы:
f1 : 12 f11 10,5 f 21 0; f 21 1,05 f11;
5,25 f11 (6 ) f 21 0;
f 21 1,05 f11.
( f11 1)
f 2 : 12 17 f12 10,5 f 22 0; f 22 0,5 f12 ; ( f12 1)
5,25 f12 (6 17 ) f 22 0; f 22 0,5 f12 .

17.

Графическое изображение соотношения перемещений масс в главных колебания
qij i номер главного колебания тона
j номер обобщенной координаты
2-е главное колебание
1-е главное колебание
q11
q21
q11
q12
q22
q21
q12
q22
Ряд1
Ряд1
t
T1
2
p1
t
Ряд2
T2
2
p2
Ряд2

18.

Второй вид уравнения для определения спектра pi и {fi}:
(2.29)
L f M f ,
- уравнение обобщенной проблемы собственных значений.
1
1
1
f L M f ;
f ij M f ;
D L M ;
1
D – динамическая матрица.
1
f D f .

19.

Один из важных аспектов необходимости расчета р1 и рn.
Число верных цифр в результате расчетной машинной операции
ЭВМ. /формула получена Уилкинсоном/
S t log10 cond A ,
А – матрица;
S – число достоверных значащих цифр в ответе;
t – разрядность представления чисел плавающей арифметики в ЭВМ
cond[A] - число обусловленности матрицы.
pn2
pn 2
cond [ A] 2 ( ) .
p1
p1

20.

Пример:
Расчет спектра собственных частот и форм корабельной
пусковой установки (КПУ) для крылатых ракет (КР), рис.2.13.
Для расчета применены МКЭ, метод Якоби, метод статической
конденсации с понижением порядка динамической части задачи до
n=76. Мантисса числа «плавающей» десятичной арифметики
описываются 6-ю значащими цифрами.
С
А
Рис.2.13

21.

Результаты расчета:
1) КПУ с КР при жестком креплении ПУ к палубе, отсутствии системы
амортизации (СА).
Р1=10 Гц; Рn= Р76=1000 Гц; ==> cond=104;
число достоверных цифр S=6-4= 2.
2) КПУ с КР при креплении ПУ к палубе на СА.
Р1=0,1 Гц; Рn= Р76=1000 Гц; ==> cond=108;
число достоверных цифр S=6-8= -2.
Таким образом мы видим, что при плохо обусловленной матрице
жесткости [L] (второй случай), которое выражается большим
диапазоном значений элементов [L], динамические расчеты необходимо
проводить с текущим контролем точности результатов.

22.

2.1.2. Численные методы определения собственных
частот и форм «n»-степенной системы.
2.1.2.1. Метод Якоби
1
Примем: [ D] [ L] [ M ] - динамическая матрица, тогда
1
1
[ D]{ fi } i { fi }, где i
2 - для i-того тона
i pi
[ D][Ф] [ ][Ф] [Ф]t [ D][Ф] [ ]
или
На k-том шаге итерации по Якоби проводится исключение
внедиагональных элементов в [D].
[ D]k 1 [ S ]t k [ D]k [ S ]k
[S]k – ортогональная матрица вращений, удовлетворяющая
условию:

23.

[ S ]tk [ S ]k [ I ] , где [ I ] – единичная матрица.
1
cos
Sk
sin
0
i
sin
cos
0
1
i
j
j
θ выбирается так, чтобы элемент (Dij)k+1
условие: tg 2
2( Dij ) k
( Dii ) k ( D jj ) k
в остальных случаях
k
При
0
если ( Dii ) k ( D jj ) k ,
4
[ D] [ ]
[Ф] [S ]1 [S ]2 ... [S ] l

24.

2.1.2.2. Обобщенный метод Якоби
L L D L M .
t
t
2
Ф L Ф p ; Ф M Ф I .
1
1
[ L] k 1 [ S * ]t k [ L]k [ S * ]k
[ M ]k 1 [ S * ]t k [ M ]k [ S * ]k
Тогда: при k
[ L] [ p 2 ]
[M ] [ I ]
[Ф] [ S * ]1 [ S * ]2 ... [ S * ] l

25.

2.1.2.3. Матричный итерационный метод определения
р1, pn, {f1}, {fn}
Рассмотрим второй вид уравнения 2.29, примем характеристики
расчетной модели из последнего примера. Найдем μ1, {f1}, μ2, {f2}.
l 3 m1 12 10,5 1 0
f
f ;
27 E J 10,5 12 0 2
12 21
27 E J
f
f ;
3
l m1
10,5 24
1
12 21
f
f .
(2.30)
10,5 24
Необходимо найти {f}, удовлетворяющий уравнению (2.30), и
вычисленный с заданной точностью.

26.

12 21 1 33
1
10,5 24 1 34,5 33 1,045 ;
12 21 1
33,9
1
33,9
;
10,5 24 1,045 35,58
1,049
12 21 1
34
1
34
;
10,5 24 1,049 35,676
1,049
f11 1
f 21 1,049
27 E J
27 E J
27 E J
;
;
p
.
1
1
3
3
3
1 l m1
34 l m1
34 l m1
Получены те же результаты, что и при решении квадратного
частотного уравнения.
34

27.

Для определения высшей собственной частоты p2
уравнение (2.29) представить в виде:
1
M L f f .
Для нашей задачи:
12 10,5
1
M
L
;
;
5,25 6
необходимо
12 10,5
5,25 6 f f ;
12 10,5 1
1
5,25 6 1 22,5 0,5 ;
1
17,25
;
0,478
Заданная точность достигнута:
1
17,1
;
0,477
27
E J
3
.
33,75 l m1
Получен практически тот же результат, что и при решении
частотного квадратного уравнения.
17,1 ;
p2 17,1

28.

2.1.2.4. Схемы прямых и обратных итераций для расчета р1 и рn
и соответствующих форм.
Основан на удовлетворении уравнению.
[ L]{ fi } i [ M ]{ fi }
где i pi , {fi} – собственное число и собственный вектор.
2
Позволяют обойтись без расчета [ D] L [ M ] .
1
1. Схема прямых итераций.
Определяет 1 p1 , {f1}
2
1
1
*
{ f } j , j номер итерации.
...
1
Берется произвольный вектор,
например состоящий из «1»
Вычисляется { A} j [ L]{ f *} j (левая часть уравнения).
Получается система алгебраических уравнений
{ A} j 1 j [ M ]{ f1} j
Из САУ любым методом определяется {f1}j j-того приближения.

29.

Берем { f *} j 1 { f1} j и опять расчет {A}j+1 и т.д. до достижения
необходимой точности.
{ f 1}Тконеч [ M ]{ f 1}конеч
1 jконечн
{ f '}Ткон { f '}кон
p1 1 , форма - {f1}конечн
Количество машинных операций пропорционально
1. Схема обратных итераций.
2
n
p
,
{
f
}
Позволяет получать n
Все то же самое, только
{ A} j [ M ]{ f *} j (правая часть уравнения).
n3
mитераций
6

30.

или
f M f f L f
a f M a f a f L a f ,
a - некоторый коэффициент для каждой компоненты формы,
который подбирается так, чтобы
a f M a f 1 .
Оказывается, что при этом
2
a f L a f p .
Действительно, для нашего примера
1
1
f1 ; f 2 .
1,05
0,5
Подберем коэффициенты а для обеих форм:
Форма {f1}:
m1 0 1
a 1 1,05
1
0 2m1 1,05
1
a12 3,205 m1 1; a12 0,312;
m1
2
1
a1
1
0,558
m1
.

31.

12 10,5 1
1
2
1 a1 1 1,05
a1 3,2 1
m1
10,5 12 1,05
2
Таким образом
p1 1
27
E J
3
33,75 l m1
.
Форма {f2}:
m1 0 1
a 1 0,5
1,
0 2m1 0,5
1
1
2
2
a2 1,5 m1 1; a2
0,667; a2
0,816,
m1
m1
2
2
12 10,5 1
1
2
2 a 1 0,5
a
25,5
17
.
2
m1
10,5 12 0,5
2
2
Таким образом
p2 17
27
E J
3
.
33,75 l m1
Новые формы колебаний:
1
1
0,558
f1
;
m1
1,05
1
1
0,816
f2
.
m1
0,5

32.

2.1.2.Свойства собственных форм и частот колебаний
Первое свойство собственных форм и частот колебаний вытекает
из предыдущих выкладок.
2
(2.31)
f M f 1; f L f p .
Если учесть все собственные частоты и формы, то
T
T
(2.32)
f
M
f
I
;
f
L f p2 .
Второе свойство собственных форм :
M - ортогональность и L - ортогональность.
f r M f k 0; f r L f k 0; при r ≠ k.

33.

Запишем
уравнение
(2.29)
для
собственных
соответствующих двум разным частотам
k M f k L f k ;
r M f r L f r .
Уравнение (2.33) слева умножим на f r
k f r M f k f r L f k ,
а уравнение (2.34) слева умножим на f k
r f k M f r f k L f r .
Последнее уравнение можно транспонировать
r f r M f k f r L f k .
форм,
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)

34.

Вычтем (2.37) из (2.35)
(2.38)
r k fr M fk 0 .
Следовательно,
f r M f k f r L f k 0 .
Таким образом M - и L -ортогональность в общем случае
представляется в следующем виде:
T
f
(2.39)
M f I ;
f L f p 2 .
T
(2.40)
Колебания упругой системы согласно собственным формам
называются главными колебаниями.

35.

f M f f L f 0 .
Учитывая зависимости (2.39) и (2.40), получим
T
T
I p 2 0 ;
(2.41)
(2.42)
k pk2 k 0, (k 1,2....n) .
или
(2.43)
Уравнение (2.43) представляет собой уравнение с одной степенью
свободы, т.е. сложное движение представлено в виде суммы простых
гармонических движений:
k ck1 cos pk t ck 2 sin pk t .
(2.44)
Продифференцировав (2.44), получим
k ck1 pk sin pk t ck 2 pk cos pk t .
(2.45)

36.

Значения произвольных постоянных могут быть определены из
начальных условий:
t 0; q q0 ; q q0 ;
При
q f , то q0 f 0 и q0 f 0 .
Так как
Тогда
f M q0 f M f 0 ;
или
f k M q0 f k M f k k 0 .
С учетом (2.39)
T
f M q0 0 ;
T
T
f k M q0 k 0 .
(2.46)

37.

.
f k M q0 f k M f k ko
Таким образом, с учетом (2.39):
f k M q0
f k M q0
k 0
f k M q0 .
1
f k M f k
k 0 f k M q0 .
Таким образом
ck1 k 0 f k M q0 ,
k 0 f k M q0
ck 2
.
pk
pk
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
(2.51)

38.

В рассмотренном примере общее решение однородного уравнения
динамического равновесия будет:
q1 f11
f12
где
(2.52)
1 t 2 (t ) ,
q2 f 21
f 22
1 (t ) f11
2 (t ) f12
f11
q
m
0
1 10
f 21
cos p1t
0 m2 q20
m1 0 q10
f 22
cos p2t
0 m2 q20
f12
m1 0
f 21
q
0
m
10
2
sin p1t ;
p1
q20
m1 0
f 22
q
0
m
10
2
sin p2t
p2
q20
Уравнение (2.52) представляет свободные колебания системы
без учета внутреннего демпфирования.

39.

k pk k pk2 k 0,
Тогда
0
k
k e
pk t
2
c1 cos pk t c2 sin pk t ;
.
n
(2.53)
.
2
Если при заданных начальных условиях q0 и q0
и 0 , то
k
0k
0k
2
k e
0k cos pk t
sin pk t .
pk
q f1 1 f 2 2 ... f k k ... f n n ,
pk t
2
или
q fk k f .
известны

40.

2.2.Вынужденные колебания линейной системы с « n »
степенями свободы без учета внутреннего и внешнего
демпфирования
Уравнение динамического равновесия системы, испытывающей
распределенное внешнее силовое воздействие, можно представить в
виде:
M q L q P (t )
Вектор P t по своей сути представляет функцию двух
переменных: зависит от декартовых координат узлов, где присутствуют
обобщенные координаты, а также и от времени.
В общем случае вектор P t представляют: P t Pi Si t .
Этот вектор применительно к нашей двухстепенной системе
можно представить в виде:
q1
q2
P(t ) P1 S1 (t ) P2 S2 (t ) ;
P1
0
m2
m1
где P1 ; P2 .
0
P2
P1∙S1(t)
P2∙S2(t)
Рис.2.11
Таким образом для этой системы:
M q L q P1 S1 (t ) P2 S2 (t )
.

41.

q f f1 1 (t ) f 2 2 (t ) .
M f L f P1 S1 (t ) P2 S2 (t )
.
Умножив это уравнение на f , получим:
T
I p 2 f P1 S1 (t ) f P2 S2 (t )
T
T
или
1 p12 1 B11 S1 (t ) B21 S2 (t ) ;
2 p22 2 B12 S1 (t ) B22 S2 (t ) ,
где
B11
T
f P1;
B12
B21
T
f P2
B22
.
, (2.54)

42.

Далее решаются уравнения:
1 p12 1 B11 S1 (t );
1 p12 1 B21 S2 (t );
2 p22 2 B12 S1 (t ); 2 p2 2 B22 S2 (t ).
С учетом малого внутреннего демпфирования последние
уравнения записывают в виде:
1 p1 1 p12 1 B11 S1 (t );
1 p1 1 p12 1 B21 S2 (t );
2 p2 2 p22 2 B12 S1 (t );
2 p2 2 p22 2 B22 S2 (t ).

43.

P∙Sin ωt
m1
m2
Рис.2.12
Уравнение динамического равновесия:
m1 0 q1 l11 l12 q1 P
sin t ,
0 m q
l21 l22 q2 0
2 2
q1 f11 f12 1
,
q2 f 21 f 22 2
(2.55)
f11 f 21
f
f
f
12 22
(2.57)
T
.
(2.56)

44.

1 p12 1 f11 P sin t ;
(2.58)
2 p 2 f12 P sin t.
Решение уравнения (2.58) :
1 A1 sin t; 1 A1 2 sin t ;
2
2
(2.59)
2 A2 sin t; 2 A2 sin t.
Подстановка (2.59) в (2.58) позволяет получить
2
1
f11 P
sin t;
2
2
p1
2
f12 P
sin t
2
2
p2
.
(2.60)

45.

f112
f122
q1 f11 1 f12 2 2
2
P sin t ;
2
2
p2
p1
f 21 f11
f 22 f12
q2 f 21 1 f 22 2 2
2
P sin t.
2
2
p2
p1
Рассмотрим решение (2.61) (уравнение 1).
Построим график q1 ( ) рис.2.13, рис.2.14.
q
(2.61)
|q|
γ≠0
Ω
р2
ω
р1
ω
Ω
Рис.2.13
Рис.2.14

46.

Формально антирезонансные колебания соответсвуют схеме:
P∙Sin ωt
Рис.2.15
P·Sin ωt
c1
c2
m2
m1
Рис.2.16
c2
m2

47.

Если рассмотреть балку с 3-мя степенями свободы , рис.2.17,
pп1, pп2, pп3 – парциальные частоты.
pп1
pп2
pп3
Рис.2.17

48.

2.3.Использование МКЭ и метода статической конденсации
при формировании приведенных матриц [M], [L] и
вектора сил {P}
Согласно методу конечных элементов (МКЭ) балка с
распределёнными параметрами может быть описана расчетной схемой
рис.2.18, где справа показана приведенная система, q1, q2 – выделенные
координаты, Q1, Q2 - приведенные силы.
ω1
ω3
ω4
ω6
m1
1
q1
2
ω2
3
q2
4
ω5
q1
Q1
q2
Q2
m2
m3
m4
X
Рис.2.18

49.

v q .
(2.62)
Пусть вдоль всех векторов по направлению оси Х приложены
силы, которые одинаково зависят от времени, рис.2.19.
ω 1 W1=0
ω3 W3=0
ω 4 W4=0
ω 6 W6=0
m4
1 q 1 Q1
1)
2 ω 2 W2
2)
3 q 2 Q2
3)
4 ω 5 W5
4)
Рис.2.19
X

50.

V Q1 Q2 W1 W2 W3 W4 W5 W6 ;
Q1 Q2 0 W2 0 0 W5 0 .
Вектор обобщенных сил соответствует вектору обобщенных
координат:
q
v q1 q2 1 2 3 4 5 6
|
|
|
вектор исключаемых обобщенных координат
вектор выделяемых обобщенных координат
Матрица жесткости системы в целом может быть составлена из
конечных элементов (согласно методу перемещений):
q Q
*
L ;
(2.63)
W
T
L* T K T ;
(2.64)
где: K - матрица жесткости КЭ на изгиб,
T - матрица преобразования локальных обобщенных координат
КЭ в обобщенные координаты системы, т.е. T - матрица

51.

ω4
j
ω6
ω5
ω1
i
ω3
ω2
Рис.2.20

52.

Уравнение (2.63) можно, согласно распределению обобщенных
координат, разделить на блоки:
L11 L12 q Q
.
(2.65)
L21 L22 W
Используя правило умножения матрицы на вектор, последнее
уравнение можно представить в виде:
L11 q L12 Q,
(2.66)
L21 q L22 W
Q и W - заданные векторы сил, а q и - неизвестные искомые
значения
узловых
перемещений,
являющихся
обобщенными
координатами.

53.

Используя второе уравнение системы (2.66), получим связь между
и q W :
L22 L21 q W ;
1
1
L22 L21 q L22 W
(2.67)
Подставив (2.67) в первое уравнение системы (2.66) получим:
1
1
L11 q L12 L22 L21 q L12 L22 W Q ; (2.68)
или
L11 L12 L22 L21 q L12 L22 W Q ; (2.69)
1
1
(2.70)
L11 L12 L22 L21 L
- приведенная матрица жесткости.
Она конденсирует (собирает) в себя распределенные жесткостные
характеристики стержневой системы.
где
1

54.

Выражения (2.69) и (2.70) позволяют представить уравнение
статического равновесия системы в виде:
(2.71)
L q P ;
где в данном случае P Q L12 L22 W
.
(2.72)
Соотношение (2.72) определяет значение вектора амплитуд
приведенных сил.
Так как все действующие силы изменяются во времени, то
необходимо учесть и инерционные силы. Т.е. правая часть по Даламберу
будет в этом случае представлять собой следующее:
P M q ,
(2.73)
где M - приведенная к выделенным обобщенным координатам
матрица масс стержневой системы.
Матрица M должна учитывать массы всех стержней, а также
присоединенные массы в узлах системы.
1

55.

*
M ст
T m T ,
где m - матрица масс отдельного КЭ.
T
(2.74)
x
mст/2
ω5
В узлах сосредотачивается
половина массы
призматического стержня.
k
mст/2
ω2
Рис.2.20a
Таким образом
mст
2 0
m
.
0 mст
2
(2.75)

56.

Учитывая то, что локальные линейные координаты (как впрочем и
угловые) совпадают по направлению с обобщенными координатами
сиcтемы, т.е. с компонентами вектора v , то как и в (2.64), например
для стержня (3), получим:
ω2
\
0 0 0 0 0 0 1 0
v .
(2.76)
T
0 0 0 0 1 0 0 0
ω5/ q1 ω1 ω2 ω3 q2 ω4 ω5 ω6

57.

m1
m
3
0
M 11 0
m
T
2
*
M T m T
0
0 M 22 .
0
m4
0
q1 q2 1 2 3 4 5 6
Кинетическая
соотношением:
энергия
стержневой
(2.77)
системы
определяется
M 11 0 q
1
.
K q
2
0 M 22
(2.78)

58.

ω1
q1
W2
W2
ω2
q2
W5
W5
ω5
Рис.2.21
Рис.2.22

59.

M 11 q 1
1
K q
q M 11 q M 22 . (2.79)
2
M 22 2
В (2.79) подставим (2.67), исключив из последнего предварительно
1
L
22
W :
1
1
1
K q M 11 L12 L22 M 22 L22 L21 q .
2
(2.80)

60.

Если выражению (2.80) приравнять выражение кинематической
энергии в виде:
1
(2.81)
K q M q ,
2
то приведенная матрица масс M будет определяться выражением:
M M 11 L12 L22 M 22 L22 L21 .
1
Матрица M является заполненной.
1
(2.82)

61.

2.4.Вынужденные колебания линейной системы с « n »
степенями свободы при кинематическом гармоническом
воздействии с учетом малого внутреннего
демпфирования
Рассмотрим движение транспортного средства с ракетой по
железнодорожному пути, рис.В.1.
Демпфированием в подвесках ходовых тележек пренебрегаем.
Схема ходовой тележки вагона приведена на рис.2.23, где: 1 – шкворень;
2 – поперечная балка; 3 – комплект пружин; 4 – рама; 5 – ходовое колесо;
6 – колесная ось; 7 – фиксаторы балки в раме; 8 – опорный круг балки для
опирания вагона. Плоская схема тележки – на рис.2.24.
7
3
1
5
8
6
2
4
Рис.2.23
Рис.2.24

62.

a
a
Y
V
b
b
x
b
b
X
Y
Рис.2.25
L
X
А
Рис.2.26

63.

Пренебрегая сдвигом фазы будем считать, что y A sin x , где
- пространственная частота.
2
.
(2.83)
L
Каждое из 4-х колес двигаются в вертикальном направлении по
одному и тому же закону, но со сдвигом по фазе. Если горизонтальную
декартовую координату центра транспортной тележки принять за х,
отметить характерные горизонтальные размеры тележки а и b, то:
y1 A sin ( x a b);
y2 A sin ( x a b);
y3 A sin ( x a b);
y4 A sin ( x a b).
y1 , y2 , y3 , y4 - перемещения осей тележек.
(2.84)

64.

Выражения (2.84) перепишем в виде:
y1 A sin x d1 , y2 A sin x d 2 ,
(2.85)
y3 A sin x d3 , y4 A sin x d 4 .
Для анализа динамики системы необходимо перейти от
пространственной функции воздействия к временной.
Так как x v t , a dr v tr , r 1,2,3,4 то с учетом (2.83)
можно (2.85) представить в виде:
2
yr A sin
v t tr , r 1,2,3,4 ,
(2.86)
L
2
v - временная частота воздействия.
где
(2.87)
L

65.

С учетом (2.87) выражение (2.86) приводится к виду:
yr A sin ( t r ), r 1,2,3,4 ,
(2.88)
dr
где r tr , tr .
(2.89)
v
Ходовые тележки играют роль внешних упругих связей. Если их
мысленно удалить, то действие тележек можно заменить реакциями,
рис. 2.27:
qi
Обобщенные координаты
q1 и q2 назначены в узлах
q1
q2
контакта тележек для
удобства
дальнейших
R1
R2
выкладок.
Рис.2.27

66.

Реакции R 1 и R2 определяются жесткостью пружин ходовых
тележек «С» и их удлинением (укорочением). Из рис.2.28 видно, что
изменение длины пружины левой тележки можно определить так:
q1
y1 y2
(2.90)
q1 .
2
Соответственно для правой:
y y
(2.91)
2 3 4 q2 .
2
y y2
R1 c 1
q1 ,
2
. (2.92)
y y4
R2 c 3
q2
2
1
y1
y2
Таким образом:
Рис.2.28

67.

M q L q Ф1 R1 Ф2 R2 ,
(2.93)
1
0
0
1
0
0
где Ф1 . , Ф 2 . - векторы, характеризующие
.
.
.
.
0
0
положение реакции ходовой тележки относительно системы.

68.

A c
sin( t 1 sin( t 2 ))
2
A c
Ф 2
sin( t 3 ) sin( t 4 ) . (2.94)
2
c Ф1 q1 c Ф 2 q2
M q L q Ф1
В полученном уравнении q1 и q2 являются компонентами вектора
q . Каждая из этих компонент может быть выражена через вектор
q следующим образом:
q1 Ф1 q 100...0 q1q2 ....qn
(2.95)
.
q2 Ф 2 q 010...0 q1q2 ...qn

69.

c Ф1 q1 c Ф2 q2 c Ф1 Ф1 Ф2 Ф2 q
с
с
0
0
q c q.
0
...
0
(2.96)
С учетом (2.96) уравнение имеет вид:
М q L q c q M q L c q
A c
sin t 1 sin t 2 .
2
A c
Ф 2
sin t 3 sin t 4
2
Ф1
(2.97)

70.

Решение однородного уравнения
M q L c q 0
позволяет найти матрицы собственных форм
значений р 2 .
Представив
q f
и
(2.98)
f
q f ,
и собственных
подставив
эти
выражения в (2.97), умножив это уравнение на f и учтя свойства
«М» и «L» ортогональности собственных форм колебаний, получим:
р 2
, (2.99)
D1 sin( t 1 ) sin t 2 D2 sin t 3 sin( t 4
T
где
A c
D1 f Ф1
,
2
T
A c
D2 f Ф2
.
2
T
(2.100)

71.

Дифференциальное уравнение (2.99), как указывалось выше,
распадается на «n» независимых уравнений, позволяющих оценить
вклад в общую картину динамических перемещений узлов системы
колебаний, соответствующих той или иной форме.
(2.101)
к pк к pк2 к
.
Dк1 sin t 1 sin t 2 ) Dк 2 sin t 3 sin t 4
В уравнении (2.101) учтено внутреннее демпфирование
коэффициентом неупругого сопротивления .
A c
A c
,
Dк1 f1к
; Dк2 f 2к
2
2
где f1к и f 2к - первая и вторая компоненты вектора формы f к
соответственно.

72.

Значение к можно определить как сумму значений от каждого
воздействия в отдельности вида
D sin t .
к
Как и в случае рассмотрения колебаний одностепенной системы
P sin t , наше воздействие
на гармоническое воздействие вида
Dк ei ( t ) .
также можно рассматривать мнимой частью воздействия
к Dк W ( pк ) sin t к ,
Значение
(2.102)
к
1
.
, к ; к
где W pк
2
2
1 к
pк
1 2 2 2
к
к

73.

Полное решение для четырех воздействий будет
к Dк1 W ( pк ) sin( t 1 к ) sin t 2 к
Dк 2 W pк sin t 3 к sin t 4 к ,
или
к Bк1 sin t 1 sin t 2
Bк 2 sin t 3 sin t 4 .
(2.103)

74.

Перемещение узла вдоль qi можно определить так:
к fiк fiк Bк1 (sin( t 1 ) sin t 2 )
fiк Bк 2 sin t 3 sin t 4 ;
к fiк
fiк Bк1 cos t 1 cos t 2
;
fiк Bк 2 cos( t 3 cos t 4 )
к fiк
fiк Bк1 sin t 1 sin t 2
2
.
fiк Bк 2 sin t 3 sin t 4
(2.104)
(2.105)
(2.106)

75.

Bk2*fik
B*k*fik
B*3*fi3
B*4*fi4
B*2*fi2
Bk1*fik
B*1*fi1
χ' k* fik/ω
φ2 φ1 φ3
χ” k*fik/ω2
φ4
φ1 φ4 φ3
Рис.2.29
χ” k*fik/ω2
χ' k* fik/ω
φ2
Рис.2.30

76.

Для каждой компоненты спектра воздействий, после определения
матриц f к и рк2 , все вычисления перед построением векторных
сумм могут быть сведены в таблицу вида:
рк
p1
p2
p3
..
λк
|W(рк)|
εк
1
2
3
4
fiк·Bк1
fiк·Bк2

77.

к
рк
;
W pк
Bк1 f1к
r
dr
к ;
v
1
(r 1,2,3,4) ;
1
2 2
к
2
А c
W pк ;
2
2
к
;
к
к arctg
1 к2
Bк2 f 2к
A c
W pк .
2
Таким образом, рис.2.30:
fiк Bк1 sin 1 sin 2 fiк Bк 2 sin 3 sin 4
B fiк
; (2.107)
2
fiк Bк1 (cos 1 cos 2 ) fiк Bк 2 (cos 3 cos 4 )
2
*
к
fik Bk1 sin 1 sin 2 fik Bk 2 sin 3 sin 4
.
k arctg
fik Bk1 cos 1 cos 2 fik Bk 2 cos 3 cos 4
(2.108)