Лекция 3. Аналитическая механика. Уравнения лагранжа

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ЛЕКЦИЯ 3:
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА

2. 1. Случай консервативных сил. Функция Лагранжа

d T T
Уравнения Лагранжа dt q q Q j
j
j
Консервативность сил
j 1, 2,
(q, t )
Qj
q j
d T T
dt q j q j
q j
Функция Лагранжа
L T
Уравнения Лагранжа для
консервативных сил
d L L
0
dt q j q j
Инвариантность
уравнений Лагранжа
T T q, q , t
Q j Q j q, q, t
,s
L L f (t )
j 1, 2,
j 1, 2,
,s
,s
L cL

3. 2. Лагранжев формализм

Лагранжев формализм = последовательность действий, позволяющая,
действуя стандартным образом, выписать уравнения движения
1.
2.
3.
4.
5.
Определить число степеней свободы и ввести обобщенные
координаты q1 , q2 , , qs
Вычислить кинетическую энергию T , определив ее через
обобщенные координаты q и обобщенные скорости q
Определить потенциальную энергию через обобщенные
координаты, если система потенциальна
Найти обобщенные силы системы
Выполнить указанные в уравнениях Лагранжа действия

4. 3. Пример 1

Составить уравнения плоского движения материальной точки в полярных
координатах
1) Обобщенные координаты
y
q1 r , q2
r
2) Обобщенные силы
q1 r , q2 0
Ar F cos r
Q1 Ar r F cos Fr
q1 0, q2
A F sin r
Q2 A Fr sin M O (F)
3) Кинетическая энергия
Способ 1
Способ 2
T m
v
2
2
x
v 2y m
v
2
2
r
v 2
F
vr r q1 , v r q1q2
T m q12 q12 q22
2
d
vx x r cos r cos r sin
dt
d
v y y r sin r sin r cos
dt
x

5. 4. Пример 1

4) Дифференцирование T m 2 q12 q12 q22
T
T
T
T
mq1q22 ,
0,
mq1 ,
mq12 q2
q1
q2
q1
q2
d T
d T
mq1 ,
mq12 q2 2mq1q1q2
dt q1
dt q2
d T T
Qj
dt q j q j
5) Окончательный результат
mq1 mq1q22 Fr
mq12 q2 2mq1q1q2 M O (F)
r
q1
Случай движения в поле тяготения
L T m q12 q12 q22
2
q1
2
mq1 mq1q2 2
q1
mq12 q2 2mq1q1q2 0
d L L
0
dt q j q j

6. 5. Пример 2

Составить уравнение движения центробежного регулятора
m -массы точечных грузов 1 и 2 M -масса муфты А
1 степень свободы
Обобщенная координата
x1 l cos
x2 l cos
x A 2l cos
y1 l sin cos t
y2 l sin cos t
y2 0
z1 l sin sin t
z2 l sin sin t
z2 0
v12 x12 y12 z12 l 2 2 sin 2 l 2 2 cos2 cos2 t l 2 2 sin 2 sin 2 t
l 2 2 cos 2 sin 2 t l 2 2 sin 2 cos 2 t l 2 2 l 2 2 sin 2
v22 l 2 2 l 2 2 sin 2
v32 4l 2 2 sin 2
T l 2 m 2M sin 2 2 ml 2 2 sin 2
T
2l 2 m 2M sin 2 ,
T
4Ml 2 2 sin cos 2ml 2 2 sin cos

7. 6. Пример 2

A mg x1 mg x2 mg xA 2mgl sin 2Mgl sin
Q 2 gl m M sin
m 2M sin 2 2M 2 sin cos m 2 sin cos
Равновесие
g
cos
m M
lm 2
0
2
g
m M
lm
g
m M sin
l

8. 7. Выражение для кинетической энергии

Задача: выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты и
обобщенные скорости
1 n
2
T mi ri
2 i 1
2
n
s
s
ri
ri
1
1 s s
T mi
qj
Amp qm q p Bm qm T0
2 i 1 j 1 q j
t
2 m 1 p 1
m 1
2
n
n
n
ri ri
ri ri
ri
Amp mi
, Bm mi
, T0 mi
q
q
q
t
t
i 1
i 1
i 1
p
m
m
T T2 T1 T0
T2 Однородный многочлен 2-й степени от обобщенных скоростей
T1 Однородный многочлен 1-й степени от обобщенных скоростей
T0 Не зависит от обобщенных скоростей
ri
ri ri (q)
0 T T2
Стационарные связи
t

9. 8. Структура ур-й Лагранжа

d T T
Q j (q, q, t )
dt q j q j
s
1 s s
T Amp qm q p Bm qm T0
2 m 1 p 1
m 1
- функция, зависящая от
Q j ,
T
,
q j
s
A
m 1
q, q, t
d T
d s
s
Ajm qm B j Ajm qm
dt q j dt m 1
m 1
q ,
jm m
j 1, 2,
,s
Основная теорема лагранжева формализма : Определитель, составленный
из коэффициентов Amp q, t отличен от нуля при любых q, t
- Уравнения Лагранжа можно разрешить относительно вторых производных,
сведя их к форме Коши q j G j q, q, t
- При заданных начальных данных существует единственное решение систем
ДУ типа Коши
Ур-я Лагранжа удовлетворяют требованиям детерминированности движения

10. 9. Док-во основной теоремы лагранжева формализма

Обобщенные координаты q1 , q2 ,
qs независимы
Среди 3n функций x1 (q, t ), y1 (q, t ), z1 (q, t ), xn (q, t ), yn (q, t ), zn (q, t )
ровно s независимых
Ранг матрицы Якоби J ровен s
x1
y
1
z1
J
xn
yn
z
n
Векторы
Ранг матрицы I ровен s
m1 x1
m1 y1
q1
q1
m1 z1
I
q1
mn xn
q1
mn yn
q1
mn zn
u1 , u s линейно независимы
u1
q1
x1 qs
y1 qs
z1 qs
xn qs
yn qs
zn qs
q1
q1
q1
q1
q1
q1
m1 x1 qs
m1 y1 qs
m1 z1 qs
mn xn qs
mn yn qs
mn zn qs
us

11. 10. Док-во основной теоремы лагранжева формализма

Составленный из u1 , u 2 ,
u s определитель Грама отличен от нуля
u1 u1 u1 u 2
det
u u u u
n
2
n 1
u1 u n
0
u n u n
xi xi yi yi zi zi n
ri ri
u j u k mi
mi
i 1
q j qk q j qk q j qk i 1 q j qk
n
u j u k Ajk
det A 0

12. 11. Теорема об изменении кинетической энергии

s
s
s
dT
T
T
T
T d T
qj
qj
dt j 1 q j
t j 1 q j dt q j
j 1 q j
d s T
T
qj
q j
dt j 1 q j
t
s
s
T2
T1
T
q
q
q j q j q q j 2T2 T1
j 1
j 1
j 1
j
j
j
s
T T2 T1 T0
d
T
dT d T1 2T0
qj 2
dt j 1 q j
dt
dt
s
dT
dT d T1 2T0 T
Q j q j 2
dt
dt
dt
t
j 1
s
s
d T1 2T0 T
dT
Qjq j
dt
dt
t
j 1
Консервативная Q (q )
j
система
q j
Формула Эйлера для
однородных функий
Стационарные связи
s
s
d
d
q j Q j q j
dt
j 1 dq j
j 1
T h

13. 12. Интеграл Якоби

Интеграл Якоби = обобщенный интеграл энергии
(q, t )
Консервативная система Q j
q j
s
s
d
qj
Q j q j
dt
t
t
j 1 q j
j 1
s
d T1 2T0 T
dT
d d T1 2T0 T
Qjq j
dt j 1
dt
t
dt
dt
t
t
Если кинетическая и потенциальная энергия не зависят явно от времени, то
имеет место интеграл Якоби
Интеграл
T 2T0 T1 const T2 T0 const
Якоби
Если, кроме того, все связи стационарны, то
T h

14. 13. Гироскопические и диссипативные силы

s
s
dT
Т-ма об изменении
Q j q j Q j q j
кинетической энергии, dt
j 1
j 1
стационарные связи
d T
dt
s
s
*
Q
jqj
j 1
Потенциальные Непотенциальные
Q*j q j
s
j 1
*
Q
jq j 0
Обобщенно-гироскопические силы – те, для которых
j 1
Для таких сил имеет место закон сохранения энергии
s
Гироскопические силы – те, для которых Qi* ij (q, t )q j , ij ji , ii 0
s
s
s
s
s 1 j 1s
*
2
Q
q
q
q
q
j j ji i j jj j
j 1
j 1 i 1
j 1
ij ij qi q j 0
j 1 i j 1
Обобщенно-диссипативные силы – те, для которых
Для таких сил механическая энергия рассеивается
Диссипативные силы – те, для которых
s
Qi* ij (q, t )q j , ij ji
j 1
Матрица ij
s
*
Q
j q j 0 T
j 1
положительно определена

15. 14. Обобщенный потенциал

Обобщенные силы называются обобщенно потенциальными в том случае,
когда существует функция V (q, q, t ) (обобщенный потенциал), такая, что
Qj
d V V
dt q j q j
d T T
d L L
Qj
0
dt q j q j
dt q j q j
1) Если V не зависит от обобщенных скоростей, то обобщенный
потенциал обращается в обычный
L T V
2) В общем случае V может зависеть от обобщенных скоростей только
линейно
2
2
s
Q j q, q, t
d V V
V
qk
dt q j q j k 1 q j qk
s
V ( q , t ) j ( q, t ) q j
j 1
V
0
q j qk

16. 15. Обобщенный потенциал

d V V d j
s
Qj
q
k k
dt q j q j
dt
q j k 1
s
s
j
k
j
qk
qk
t
q j
k 1 qk
k 1 q j
s j k
q j k 1 qk
q j
j
j
s
jk qk
,
jk kj
qk
t
q j k 1
t
Если обобщенный потенциал П не зависит явно от времени , то
обобщенные силы складываются из потенциальных и гироскопических.
При этом
T V const (!)
E T const
Теорема : Сумма переносных и кориолисовых сил инерции всегда
имеет обобщенный потенциал

17. 16. Уравнения Лагранжа в подвижной системе координат

Рассуждения 1-го неинерционного наблюдателя.
1) Составляю полную кинетическую энергию в абсолютном движении
2) Выражаю ее через «свои» относительные координаты и скорости,
рассматривая переносные скорости «своей» системы как заданные функции
времени
3) Пользуюсь уравнениями Лагранжа в их обычной записи.
Не надо вводить сил инерции! Лагранжев формализм все сделает сам!
Рассуждения 2-го неинерционного наблюдателя.
1)Добавляю к приложенным силам переносную и кориолисову силы инерции
После добавления сил в «моей» системе отсчета верен второй закон Ньютона,
а, значит и уравнения Лагранжа.
2) Выписываю уравнения Лагранжа в своей системе отсчета, подсчитывая
кинетическую энергию через свои (относительные!) скорости. При подсчете
обобщенных сил принимаю во внимание работу сил инерции на виртуальных
перемещениях в относительном движении
Оба пути приводят к одному и тому же результату

18. 17. Пример 2: сравнение подходов

Составить уравнение движения центробежного регулятора
m -массы точечных грузов 1 и 2 M -масса муфты А
Кинетическая энергия
Путь 1
Путь 2
m 2M sin
T l 2 m 2M sin 2 2 ml 2 2 sin 2
T l2
2
2
Обобщенная сила
Путь 1 Q 2 gl m M sin
гравитация
Путь 2 Q 2 gl m M sin 2ml 2 2 sin cos гравитация+центробежная
x1 l cos
x2 l cos x A 2l cos
цб
цб
2
A
2
F
y
2
m
l sin l cos
2
y1 l sin
y2 l sin y A 0
m 2M sin 2 2M 2 sin cos m 2 sin cos
g
m M sin
l

19. 18. Док-во теоремы

z
Для простоты записей – одна материальная точка
Y
Путь 1
r
y
m
m
A
v абс v абс
v пер v отн v пер v отн Tотн V
x
2
2
O
X
m
m
Tотн v отн v отн , V v пер v пер mv пер v отн
2
2
Z
vпер v A (t ) ω(t ) r
Tотн (q, q, t ), V (q, q, t ) q1 x, q2 y, q3 z
v отн ( x, y, z ), r ( x, y, z )
T
d L L
0
dt q j q j
L Tотн V
Путь 2 T
отн
Qпер mw пер
Qкор 2m ω v отн
d Tотн Tотн d V V
dt q j
q j
dt q j q j
d Tотн Tотн
Qпер Qкор
dt q j
q j
Qпер Qкор
d V V
dt q j q j