Плоскость в пространстве

1. Плоскость в пространстве

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Угол между двумя плоскостями
Расстояние от точки до плоскости

2. Общее уравнение плоскости

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax By Cz D 0
(1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы
Общее уравнение плоскости
одно отлично от нуля.
Пусть точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости:
Ax0 By 0 Cz0 D 0 (2)
Вычтем из уравнения (1) тождество (2):
A x x0 B y y 0 C z z0 0
Общее уравнение плоскости
(3)

3. Общее уравнение плоскости

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Произвольная точка М(x; y; z) лежит на
плоскости, если ее координаты
удовлетворяют уравнению (3):
N
М0
М
A x x0 B y y 0 C z z0 0
Уравнение (3) является условием
перпендикулярности двух векторов:
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 и
N A; B;C
Таким образом, точка М лежит в плоскости, если
M0M N .
Значит N перпендикулярен любому вектору, лежащему в
плоскости и, следовательно, самой плоскости.
Нормальный вектор
Общее уравнение плоскости называется полным,плоскости
если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.

4. Общее уравнение плоскости

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Виды неполных уравнений:
D 0;
2) A 0;
1)
Ax By Cz 0 Плоскость проходит через точку О.
By Cz D 0 ll (OX )
z
3)
B 0;
Ax Cz D 0
4)
C 0;
Ax By D 0 ll (OZ )
ll (OY )
A 0; B 0 Cz D 0 ll ( XOY )
6) B 0; C 0 Ax D 0 ll (YOZ )
5)
By D 0 ll ( XOZ )
8) B 0; C 0; D 0 Ax 0 x 0
7)
A 0; C 0
A 0; C 0; D 0
10) A 0; B 0; D 0
9)
By 0 y 0
Cz 0 z 0
0
x
(YOZ )
( XOZ )
( XOY )
y

5. Уравнение плоскости в отрезках

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ
Рассмотрим полное уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0
Ax By Cz
1
D D D
Уравнение плоскости
в отрезках
Ax By Cz D
x
y
z
1
aD bD cD
A
B
C
a
c
b
Уравнение в отрезках
используется для построения
плоскости, при этом a, b и с –
отрезки, которые отсекает
плоскость от осей координат.
z
с
0
x
a
b
y

6. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ
Пусть точки М1(х1 ; у1 ; z1 ), М2(х2 ; у2 ; z2 ) и М3(х3 ; у3 ; z3 ) не лежат
на одной прямой.
Тогда векторы: M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
и
M1M3 x3 x1; y 3 y1; z3 z1
Точка М(х ; у ; z ) лежит в
одной плоскости с точками
М1 , М2 и М3 только в том
случае, если векторы:
M1M2 ; M1M3
и
1
2
не коллинеарны.
М3
М1
М
М2
M1M x x1; y y 1; z z1 компланарны.
M M M M M M
1
1
3
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z2 z1 0
x 3 x1
y 3 y1
z3 z1

7. Угол между двумя плоскостями

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ
ПЛОСКОСТЯМИ
Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:
p1 : A1x B1y C1z D1 0
p2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
Углом между этими плоскостями называется угол между
нормальными векторами к этим плоскостям.
N1
N2
p2
N1 A1; B1; C1
N2 A2 ; B2 ; C2
N1 N2
cos
N1 N2
p1
A1 A2 B1 B2 C1 C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

8. Угол между двумя плоскостями

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ
ПЛОСКОСТЯМИ
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
аналогичны условию параллельности и перпендикулярности
нормальных векторов:
N2
p2
N1
p1
A1 B1 C1
N1 ll N2
A2 B2 C2
N1
N2
p2
p1
N1 N2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0

9. Расстояние от точки до плоскости

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО
ПЛОСКОСТИ
Пусть точка М (x ; y ; z ) – основание перпендикуляра, опущенного
1
1
1
1
из точки М0(x0; y0; z0) на плоскость p : Ax By Cz D 0
М0
d M1M0
d
p
М1
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A2 B 2 C 2

10. Пример

ПРИМЕР
Найти длину высоты тетраэдра ABCD , опущенной из точки A.
Координаты вершин: A(1; 1; 1), B(0; 2; 5), C(3; -1; 4), D(4; 2; 1)
A
Уравнение плоскости BCD:
x 0
y 2
z 5
3 0 1 2 4 5 0
4 0 2 2 1 5
3
0
1 0
4
B
D
С
x y 2 z 5
3
4
h
x
12 x 8 y 2 12( z 5 ) 0
3 1
0
4
y 2
3 1
4 4
( z 5)
3 x 2 y 3 z 19 0
3 3
4
0
0

11. Пример

ПРИМЕР
Расстояние от точки A до плоскости BCD:
h
3 1 2 1 3 1 19
9 4 9
A
h
B
D
11
h
2.34
22
С

12. Прямая в пространстве

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Каноническое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой, как линии пересечения двух
плоскостей
Угол между двумя прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Условие принадлежности двух прямых одной
плоскости
Точка пересечения прямой и плоскости

13. Каноническое уравнение прямой

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ПРЯМОЙ
Пусть прямая L проходит через данную точку М0(x0; y0; z0)
параллельно вектору: q m; n; p
Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в
том случае, если векторы
q m; n; p и
q
L
М0
М
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 коллинеарны
По условию коллинеарности двух векторов:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
Каноническое уравнение
прямой
q m; n; p - направляющий вектор прямой

14. Каноническое уравнение прямой

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ПРЯМОЙ
Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ; z1 ) и М2(х2; у2 ; z2 ).
q
М2
L М1
Тогда в качестве направляющего
вектора в каноническом уравнении
можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x x1
y y 1 z z1
y 2 n y1 z2 p z1
mx1
x2
Уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

15. Параметрическое уравнение прямой

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ПРЯМОЙ
При решении многих практических задач используют
параметрическое уравнение прямой, которое получается из
канонического уравнения:
x x0 y y 0 z z0
t
m
n
p
x mt x 0
y nt y 0
z pt z
0
x x0
m t
y y
0
t
n
z z0 t
p
Параметрическое уравнение
прямой

16. Уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Пусть две непараллельные плоскости заданы общими уравнениями:
p1 : A1x B1y C1z D1 0
p2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
N1
p2
q
N2
p1
Эти плоскости определяют
единственную прямую в
пространстве:
A1x B1y C1z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Уравнение прямой, как
линии пересечения двух
плоскостей
L
q N1
q N2
q N1 N2

17. Пример

ПРИМЕР
2x 3y z 2 0
Написать каноническое уравнение прямой:
x y z 3 0
Найдем точку, принадлежащую прямой, то есть
удовлетворяющую системе уравнений.
Пологая z равному любому числу, например, z = 0, получим:
2 x 3 y 2 0
x y 3 0
x 11
y 8
Точка M0(11; -8; 0) –
принадлежит прямой
Найдем координаты направляющего вектора прямой:
i
j
q N1 N2 2 3
k
1 4i 3 j k
1 1 1
x 11 y 8
z
4
3
1

18. Угол между прямыми

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x x 2 y y 2 z z2
L2 :
m2
n2
p2
x x1 y y 1 z z1
L1 :
m1
n1
p1
Углом между этими прямыми называется угол между
направляющими векторами к этим прямым.
q1 m1; n1; p1
q2 m2 ; n2 ; p2
cos
q2
q1
L1
L2
m1 n1 p1
L1 ll L2
m2 n2 p2
q1 q2
q1 q2
m1 m2 n1 n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0

19. Угол между прямой и плоскостью

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И
ПЛОСКОСТЬЮ
x x
y y
Пусть прямая L задана
каноническим уравнением:
0
m
Плоскость p задана общим уравнением:
0
n
z z0
p
Ax By Cz D 0
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой
и проекцией этой прямой на плоскость.
2
q
N
р
q N
cos(q , N ) cos( ) sin
2
q N
m A n B p C
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
L
m n p
L p
A B C
L ll p m A n B p C 0

20. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДВУХ
ПРЯМЫХ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
Две прямые в пространстве могут
пересекаться,
быть параллельными,
совпадать,
и скрещиваться.
В первых трех случаях прямые лежат в одной плоскости.

21. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДВУХ
ПРЯМЫХ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x x 2 y y 2 z z2
L2 :
m2
n2
p2
x x1 y y 1 z z1
L1 :
m1
n1
p1
Для принадлежности двух прямых
одной плоскости необходимо и
достаточно, чтобы три вектора:
q1 m1; n1; p1
q1
L1
q2
М1
L2
q2 m2 ; n2 ; p2
M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x 2 x1
y 2 y1
z2 z1
m1
n1
p1
m2
n2
p2
0
М2
были компланарны.
Условие
принадлежности
двух прямых одной
плоскости

22. Точка пересечения прямой и плоскости

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ И
ПЛОСКОСТИ
При вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости
L:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
p:
Ax By Cz D 0
следует совместно решить систему уравнений:
Ax By Cz D 0
x x
y y 0 z z0
0
m
n
p
При этом необходимо:
Записать уравнение прямой в
параметрическом виде:
К
x mt x 0
y nt y 0
z pt z
0

23. Точка пересечения прямой и плоскости

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ И
ПЛОСКОСТИ
Подставить в уравнение плоскости вместо x; y; z:
A(mt x0 ) B(nt y 0 ) C( pt z0 ) D 0
Решить полученное уравнение относительно t:
Ax0 By 0 Cz0 D
t0
Am Bn Cp
Подставить t0 в параметрическое уравнение прямой:
x K mt0 x 0
y K nt 0 y 0
z pt z
0
0
K
K ( xK ; y K ; zK )

24. Пример

ПРИМЕР
Найти точку пересечения прямой и плоскости.
x 1 y z 2
3
5
1
y 5z 6 0
Напишем параметрическое уравнение прямой:
Подставим в уравнение плоскости:
5t 5(t 2) 6 0
x 3t 1
y 5t
z t 2
10t 16 0 t 0 1.6
Подставим в уравнение прямой:
x 3 ( 1 . 6 ) 1
y 5 ( 1 . 6 )
z 1 . 6 2
x 3 .8
y 8
z 0 .4
K ( 3.8; 8; 0.4)