Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве

1. § 4. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве

Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения
любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .
Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют
одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями
системы
A 1x B 1 y C 1z D1 0,
(1)
A x B y C z D 0.
2
2
2
2
Систему (1) называют общими
пространстве.
уравнениями
прямой
в

2.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве –
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору
{m; n; p}
Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют
направляющим вектором этой прямой.

3.

систему уравнений
x x 0 t m ,
y y0 t n ,
z z 0 t p.
(2)
называют параметрическими уравнениями прямой
в
пространстве
(в векторной и координатной форме
соответственно).
Пусть в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из
координатных осей (т.е. m 0 , n 0 и p 0 ).
x x0
y y0 z z0
Уравнения
(3)
p
m
n
называют каноническими
уравнениями
прямой
в
пространстве.

4.

Частным
случаем
канонических
уравнений
являются
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ
ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.
Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .
M1
M2
x x1
y y1
z z1
Уравнения
(4)
x 2 x 1 y 2 y1 z2 z1
называют уравнениями прямой, проходящей через две
точки M 1 ( x 1, y1, z1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z2 ) .

5. 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:
A 1x B 1 y C 1z D1 0,
(1)
A x B y C z D 0.
2
2
2
2
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения
этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и
координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор [ N1 , N 2 ]
где N1 { A1; B1; C 1} и N 2 { A 2 ; B2 ; C2 } – нормальные
векторы к плоскостям 1 и 2 , уравнения которых входят
в общие уравнения прямой.
N1
1

6. 3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:
x x 1 y y1 z z1
x x 2 y y 2 z z2
1 :
, 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны:
1
1
2
2
Получаем: прямые параллельны их направляющие
2 {m 2 ; n2 ; p2 }
1 {m 1 ; n 1 ; p 1 }
векторы
и
коллинеарные, т.е. выполняется условие:
m 1 n 1 p1
.
m2 n2
p2
(6)

7.

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:
1
2
1
M1
M2
2
Получили: прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются они не
параллельны и для них выполняется условие
(7*)
M 1 M 2 , 1, 2 0 ,
или, в координатной форме,
x 1 x 2 y 1 y2 z 1 z2
m1
n1
p1 0 .
(7)
m2
n2
p2
3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7)
((7*)), то прямые скрещиваются.

8. 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

Возможное расположение прямых в пространстве приводит к
следующим задачам:
1) параллельные прямые
расстояние между прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?
Пусть даны две прямые:
x x 1 y y1 z z1
x x 2 y y2 z z2
1 :
и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
i {m i ; n i ; p i } – направляющий вектор прямой i ,
M i ( x i , y i , z i ) i ( i 1,2 ).

9.

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися
(скрещивающимися) прямыми в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися
прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и
проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через
прямую ℓ1 .
2
2
1
2
1
1
2
Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между
двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Получаем:
m 1m 2 n1n 2 p1 p 2
( 1, 2 )
cos 1,2
1 2
m 12 n 12 p12 m 22 n 22 p22
где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для
тупого.

10.

x x0 y y 0 z z 0
Пусть дана прямая :
и M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) –
p
m
n
точка, не принадлежащая этой прямой.
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
Обозначим: {m; n; p} – направляющий вектор прямой ,
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) – точка на прямой ,
d – расстояние от точки M 1 до .
M1
d
M0
Получаем:
d
, M M
0
1
.

11.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые:
x x 1 y y1 z z1
x x2
y y 2 z z2
1 :
и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
i {m i ; n i ; p i } – направляющий вектор i ,
M i ( x i , y i , z i ) i
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися
прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
M2
d
2
d
M1
1
1
2
Получаем:
Ax 2 By 2 Cz 2 D
d
A2 B 2 C 2
где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ ,
M2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

12.

M2
2
d
1
1
M1
2
Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M2.
Следовательно:
1
1, 2 , M1M 2
3 Vпир 3 6 1, 2 , M1M 2
d
1
Sосн
1, 2
1, 2
2

13.

Пусть даны две пересекающиеся прямые
x x1 y y1 z z1
x x2
y y 2 z z2
1 :
и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) –
решение системы уравнений
x x1 y y1 z z1
m n p ,
1
1
1
x x
y y2 z z 2
2
,
m2
n2
p2
или
x x1 t m1 ,
y y1 t n1 ,
z z1 t p1 ,
x x m ,
2
2
y y2 n2 ,
z z2 p2 .

14. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они
могут 1) быть параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
x x0 y y 0 z z 0
Пусть : Ax By Cz D 0 и :
.
p
m
n
Тогда N { A; B; C} – нормальный вектор плоскости,
{m ; n; p} – направляющий вектор прямой.

15.

N
N
N
а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит
плоскости, то
N , 0
(10)
или в координатной форме
Am Bn Cp 0 .
(11)
Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и
плоскость пересекаются в одной точке.
б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой
ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и,
следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,
где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

16.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной
точке является перпендикулярность прямой и плоскости
N
В этом случае N
A B C
т.е.
.
m n p

17.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ
называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на
плоскость λ .
Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью
всегда острый.
1
N
M0
Следовательно,
sin cos
N,
N