L_10

1. Прямая в пространстве

1. Уравнения прямой в пространстве
Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения
любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .
Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют
одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями
системы
A 1x B 1 y C 1z D 1 0 ,
(1)
A x B y C z D 0.
2
2
2
2
Систему (1) называют общими
пространстве.
пропустить 10 клеточек
уравнениями
прямой
в

2.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве –
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно вектору s {m; n; p}
Помнить!
направляющий вектор
пропустить 15 клеточек
Уравнение
r r0 t s
(2*)
x x0 t m ,
и систему уравнений y y0 t n ,
(2)
z z0 t p .
называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме).
пропустить 10 клеточек

3.

Уравнения
x x0 y y0 z z0
p
n
m
(3)
называют каноническими уравнениями прямой
Частный случай канонических уравнений
Пусть прямая проходит через точки
M1
M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .
M1M 2 s {x2 x1; y2 y1; z2 z1}.
M2
x x1
y y1
z z1
Уравнения
(4)
x 2 x 1 y 2 y1 z2 z1
называют уравнениями прямой, проходящей через две точки
Примеры
пропустить 15 клеточек

4. 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:
A 1x B 1 y C 1z D 1 0 ,
(1)
A x B y C z D 0.
2
2
2
2
Ннеобходимо найти ее направляющий вектор и координаты
какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор s [N1 , N 2 ],
где N̄1 = {A1; B1; C1} и N̄2 = {A2; B2; C2} – нормальные
векторы к плоскостям L1 и L2 , уравнения которых входят в
общие уравнения прямой.
пропустить 20 клеточек

5. 3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:
x x 1 y y1 z z1
x x 2 y y 2 z z2
1 :
, 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
пропустить 1.5 страницы

6. 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

расстояние между прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?
1) параллельные прямые

7.

Пусть даны 2 прямые:
x x1 y y1 z z1
1 :
m1
n1
p1
2 :
s i {m i ; n i ; p i }
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
Mi(xi;yi;zi) ℓi
ЗАДАЧА 2. Найти угол между скрещивающимися прямыми.
ОПР. Углом между двумя
скрещивающимися прямыми
ℓ1 и ℓ2 называется угол между
прямой ℓ1 и проекцией прямой
ℓ2 на плоскость, проходящую
через прямую ℓ1 параллельно ℓ2 .
s 22
s 11
s2
1
11
2 2
2
ℓ'2
s 22
Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между
двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
cos 1,2
( s1 , s2 )
m1m 2 n1n 2 p 1 p 2
,
m n p m n p
знак плюс - для острого угла, а знак минус – для тупого.
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

8.

Пусть 1 :
x x1 y y1 z z1
- прямая и точка M1(x1;y1;z1) ℓ
m1
n1
p1
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки М1 до прямой ℓ .
M1
Построим на векторах s и
М0М1 параллелограмм
S
h
|s|
h
s
M0
[ M 0 M1 , s ]
1
|s|
Пусть заданы две прямые 1 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
2 :
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ℓ1 и ℓ2 .
ОПР. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми
называется длина их общего перпендикуляра.
пропустить 1.5 страницы

9.

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых.
Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений
x x1 y y1 z z1
m n p ,
1
1
1
x x
y y2 z z 2
2
,
m2
n2
p2
пропустить 20 клеточек
или
x x1 t m1 ,
y y1 t n1 ,
z z1 t p1 ,
x x m ,
2
2
y y2 n2 ,
z z2 p2 .

10. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут
1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
x x0 y y0 z z0
,
m
n
p
Тогда N̄ = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ,
s {m; n; p} – направляющий вектор прямой ℓ .
Пусть L: Ax + By + Cz + D = 0 и :
N
1)
2)
N
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) L
3)
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) L
N , s 0,
N , s 0,
Ax
By
Cz
D
0;
0
0
0
Ax0 By0 Cz0 D 0.
N
N , s 0.
быть

11.

ОПР. Углом между прямой ℓ и плоскостью L называется угол
φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость L .
Из определения: угол между прямой и плоскостью всегда
острый.
ℓ1
N ψ
s
L
M0
N, s
sin cos
.
N s