Прямая в пространстве

1.

Лектор Буганова С.Н.
Прямая в
пространстве
Дисциплина Математика 1
Лекция 6
2016-17 учебный год

2.

План лекции
1. Основные уравнения
2. Взаимное расположение прямых в
пространстве
3. Расстояние от точки до прямой в
прост
4. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве

3. 1. Прямая в пространстве. Основные уравнения

1. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) параллельно заданному вектору
s m; n; p
x x0 y y0 z z0
m
n
p
- канонические уравнения
s m; n; p - направляющий вектор
2. Параметрические уравнения
x x0 y y0 z z0
t,
m
n
p
s m; n; p
x mt x0
y nt y
0
z pt z0
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 )
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z 2 z1
s M 1M 2
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )

4. Прямая в пространстве. Основные уравнения

4. Общее уравнение прямой в пространстве
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
а) Направляющий вектор
i
j
k
s N1 N 2 A1 B1 C1
A2 B2 C 2
s m; n; p
N1 A1 ; B1 ; C1
N 2 A2 ; B2 ; C2
A1 x B1 y C1 z0 D1
б) Нахождение точки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) на прямой
A2 x B2 y C2 z0 D2
x x0 y y0 z z0
m
n
p
- канонические уравнения прямой

5. Взаимное расположение прямых в пространстве

.
1 Нахождение угла между прямыми.
Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это угол между направляющими векторами
( s1 s2 )
m1m2 n1n2 p1 p2
cos
2
2
s1 s2
m1 n12 p12 m2 n22 p22
s2
s1
2. Проверка условий параллельности и
перпендикулярности прямых
Условие параллельности прямых
s1 || s2
m1 n1 p1
m2 n2 p 2
s2
s1
Условие перпендикулярности прямых
s1
s2
( s1 s2 ) 0
m1m2 n1n2 p1 p2 0
s2
s1

6. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Задача о нахождении расстояния от точки
до прямой
x x0 y y0 z z0
m
n
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
p
решается так же, как в векторной алгебре находилась высота
параллелограмма, построенного на двух известных векторах.
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
На векторах
d
M 0 M1 x1 x0 ; y1 y0 ; z1 z0
и s m; n; p строим
параллелограмм.
s
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние.
Высоту находим как отношение площади параллелограмма
к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного
произведения векторов, а длина основания – это длина вектора s
d
M
0
M1 s
s

7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1. Условие параллельности прямой и плоскости
N A; B; C
s m; n; p
s
( N s) 0
N
Am Bn Cp 0
Ax0 By 0 Cz0 D 0
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
s m; n; p
N A; B; C
N || s
A B C
m n p

8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

3. Нахождение угла между прямой и плоскостью
s m; n; p
N A; B; C
Углом между прямой и плоскостью
считается угол между этой прямой
и ее ортогональной проекцией на
эту плоскость. На рисунке это угол
Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.
Косинус угла между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы и в сумме дают 90 градусов, а значит
cos sin
Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус угла в данной ситуации может быть только положительным
sin
| ( N s) |
N s
| Am Bn Cp |
A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
.

9.

Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно
составить систему из уравнений прямой и плоскости
x x0 y y0 z z0
t
m
n
p
Ax By Cz D 0
Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид
x mt x0
y nt y
0
z pt z0
Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости
A(mt x0 ) B(nt y0 ) C ( pt z0 ) D 0
Из этого уравнения находим параметр t и подставляем его значение
в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения

10.

Задание на СРС
1. Линии второго порядка на плоскости. Реферат[1,3]
2. Уравнение линии второго порядка в пространстве.[3,6]
Задание на СРСП
1. ИДЗ-3.1 [1- стр. 97].
Глоссарий
№
Қазақша
Русский
English
1.
Түзу
Прямая
Line
2.
Канондық
Каноническое
Canon
3.
Параметрлік
Параметрическое
Parameter
4.
Өту
Переход
Passage
Литература:
Основная
А.П. Рябушко. Индивидуальные задания по высшей математике, т.1.- Мн.: Выш. Школа, 2011.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов.
- М.: Оникс, 2007.
Дополнительная
Буганова С.Н. Математика для технических специальностей с применением прикладных программ.
- Алматы: КазГАСА, 2015, с.108.
Сыдыкова Д.К. «Курс Математики- I», Модуль I, II для дистанционного обучения. Электронный
учебник.-Алматы: КазГАСА, 2012.
www.studentlibrary.ru
http://sferaznaniy.ru/vysshaya-matematika.