Уравнение поверхности F(x,y,z)=0

1.

Уравнение
поверхности
F(x,y,z)=0
.

2. Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Положение плоскости в пространстве
можно определить, задав какую-либо
точку М0 на плоскости и какой-либо
нормальный вектор . Нормальным
вектором плоскости называется любой
вектор, перпендикулярный к этой
плоскости.

3.

Пусть точка М0(х0,у0,z0) лежит в плоскости.
Введем в рассмотрение произвольную точку
плоскости М(х,у,z).
z
n (A,B,C)
M
y
M0
x

4.

Векторы n( A, B, C ) и M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 )
ортогональны.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору.

5.

Пример 1:
Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку М(2,3,-1)
перпендикулярно вектору n(1,2, 3)
Решение:
По формуле : 1(х-2)+2(у-3)-3(z+1)=0
или х+2у-3z-11=0

6.

Пример 2:
Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку М(1,0,0)
перпендикулярно вектору n(2,0,1) .
Решение:
Получаем: 2(х-1)+0(у-0)+1(z-0)=0
или 2х+z-2=0.

7. Общее уравнение плоскости

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, раскроем в нем
скобки и обозначим –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Приведем уравнение рассматриваемой
плоскости к виду:
Ax+By+Cz+D=0 - общее уравнение плоскости.
Коэффициенты А,В,С являются
координатами нормального вектора
плоскости.

8. Частные случаи общего уравнения плоскости

1. Пусть А=0, В,С,D≠0. Тогда : By+Cz+D=0.
Нормальный вектор плоскости n(0, B, C )
перпендикулярен оси ОХ и, следовательно,
плоскость параллельна оси ОХ.
z
y
x

9.

Уравнения Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0
выражают плоскости, параллельные осям ОУ
и OZ.
2. D=0, А,В,С≠0. Уравнение плоскости:
Ax+By+Cz=0. Точка О(0,0,0) удовлетворяет
уравнению плоскости. Уравнение задает
плоскость, проходящую через начало
координат.
3. А=0, D=0, В,С≠0. Уравнение плоскости:
By+Cz=0. Плоскость одновременно
параллельна оси ОХ и проходит через начало
координат, т.е. проходит через ось ОХ.

10.

Аналогично уравнения Ax+Cz=0 и Ax+By=0
выражают плоскости, проходящие через оси
OY и OZ.
4. А=0, В=0, С,D≠0. Уравнение плоскости:
Cz+D=0. Плоскость одновременно
параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. координатной
плоскости ОХУ. Аналогично уравнения
By+D=0, и Ax+D=0 выражают плоскости,
параллельные координатным плоскостям OXZ
и OYZ.

11.

Пример:
Z=3
z
3
y
x

12.

А=0, В=0, D=0, С≠0.
Уравнение плоскости: Cz=0 или z=0. Это
плоскость одновременно параллельная
координатной плоскости ОХУ , т.е. сама
координатная плоскость ОХУ. Аналогично:
у=0 и х=0 – уравнения координатных
плоскостей OXZ и OYZ.

13. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Три точки, не лежащие на одной прямойM1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – произвольная точка плоскости.
z
M2
М1
М3
М

14.

Векторы M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
компланарны. Их смешанное
произведение равно нулю.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Это искомое уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки.

15.

Пример . Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Решение: Используя полученное
уравнение, имеем:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Или 4х+11у+5z-31=0

16. Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0 и
A2x+B2y+C2z+D2=0. Их нормальные
векторы n1 ( A1 , B1 , C1 ) , n2 ( A2 , B2 , C2 )
Углом между двумя плоскостями
называется угол между их нормальными
векторами
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

17.

Если плоскости перпендикулярны, то их
нормальные векторы тоже
перпендикулярны, и поэтому их
скалярное произведение равно нулю:
А1·А2+В1·В2+С1·С2=0.
Если плоскости параллельны, то
параллельны их нормальные векторы, а
значит, выполняются соотношения:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

18.

Пример: Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку M(0,1,4)
параллельно плоскости 2х-4у-z+1=0.
Решение: Вектор нормали данной
плоскости будет являться нормальным
вектором и для искомой плоскости.
Используем уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору:
2(х-0)-4(у-1)-(z-4)=0 или 2х-4у-z+8=0.

19. .Расстояние от точки до плоскости

найти расстояние от точки М(х0,у0,z0) до
плоскости: Ax+By+Cz+D=0. Опустим из точки
М перпендикуляр МК на плоскость (d).
z
M
n
K
x
y

20.

Пусть точка К имеет координаты х1,у1,z1
n KM n KM d n
Или n KM А(х0-х1)+В(у0-у1)+С(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Точка К лежит в плоскости, ее
координаты удовлетворяют уравнению
плоскости, то есть Ax1+By1+Cz1+D=0.

21.

Учитывая это, получаем: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Тогда: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

22.

Пример:
Найти расстояние от точки М (-1,2,3) до
плоскости 2х-6у-3z+2=0.
Решение:
Воспользуемся формулой и подставим в
уравнение плоскости координаты
заданной точки:
d
2 ( 1) ( 6) 2 3 ( 3) 2
2 2 ( 6) 2 32
21
=
=3
7

23. Общие уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве рассматривается
как линия пересечения двух плоскостей.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Система задает прямую в том случае, если
плоскости не являются параллельными,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2

24. Канонические уравнения прямой в пространстве

Положение прямой L в пространстве
однозначно определено, если известна
какая-нибудь точка М0(х0,у0,z0), лежащая на
прямой L, и задан направляющий вектор
S (m, n, p)
S
M
M0

25.

М(х,у,z) – произвольная точка на этой
прямой. Тогда векторы
M 0 M =(х-х0, у-у0, z-z0) и S (m, n, p)
будут коллинеарны:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
- канонические уравнения прямой в
пространстве или уравнения прямой по
точке и направляющему вектору.

26.

Пример 1:
Написать уравнение прямой L, проходящей
через точку М(1,2,3), параллельно прямой
x 1 y 7 z
2
5
3
Решение:
Так как прямые параллельны, то S (2,5,3)
является направляющим вектором и искомой
прямой. Следовательно:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

27.

Пример 2:
Написать уравнение прямой L, проходящей
через точку М(1,2,3), и имеющей
направляющий вектор S (2,0,5)
Решение:
Воспользуемся формулой:
x 1 z 3
и
2
5
у-2=0,
то есть 5х-2z+1=0 и у=2. Это означает, что
прямая лежит в плоскости у=2

28. Уравнения прямой в пространстве по двум точкам

Заданы две точки М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2).
Написать уравнение прямой, проходящей
через две точки.
М1
М2

29.

Прямая проходит через точку М1 и имеет в
качестве направляющего вектора M 1M 2
Уравнение имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Пример: Написать уравнение прямой,
проходящей через точки М1(1,4,-3) и
М2(2,1,1).
Решение: Воспользуемся формулой
x 2 y 1 z 1
1
3
4

30. Параметрические уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим канонические уравнения
прямой: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Введем параметр t :
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

31.

Получим:
x x0
t
y m y
0
t
n
z z0 t
p
или
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
параметрические уравнения прямой в
пространстве. В таком виде их часто
используют в механике и физике, параметр t,
обычно, время.

32. Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Заданы общие уравнения прямой в
пространстве
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Привести их к каноническому виду
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

33.

Для решения задачи нужно:
1. найти координаты (х0,у0,z0) какой-либо
точки, лежащей на прямой,
2. найти координаты (m,n,p) направляющего
вектора этой прямой.
Чтобы найти координаты точки М0 придадим
одной из координат произвольное численное
значение, например полагаем х=х0. Внеся его
в систему (1), получаем систему двух
уравнений с неизвестными у и z. Решаем ее.
В результате на прямой найдена точка
М0(х0,у0,z0).

34.

В качестве направляющего вектора примем
вектор, который является результатом
векторного произведения нормальных
векторов двух плоскостей.
S (m, n, p ) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

35.

Получаем координаты направляющего
вектора:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Общие уравнения прямой, записанные в
каноническом виде:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

36.

Пример: Записать каноническое уравнение
прямой
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Решение: Положим z0=0. Тогда:
x 2 y 5
x y 1
Отсюда: : у0=-6, х0=7. Точка М0, лежащая на
прямой, имеет координаты : (7,-6,0).

37.

Найдем направляющий вектор. Нормальные
векторы плоскостей имеют координаты
n1 (1,2, 1)
Тогда
n2 (1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Канонические уравнения прямой имеют вид:
x 7 y 6 z
3
2
1

38. Угол между двумя прямыми в пространстве, условие перпендикулярности и параллельности прямых

прямые L1 и L2 заданы в каноническом виде с
направляющими векторами
S 1 (m1 , n1 , p1 ) и S 2 (m2 , n2 , p2 )
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

39.

Углом между двумя прямыми называется угол
между их направляющими векторами.
S1 S 2
cos ( L1 , L2 ) cos( S1 , S 2 )
S1 S 2
cos( L1 , L2 )
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

40.

Прямые перпендикулярны, если
перпендикулярны их направляющие векторы:
То есть S1 S2 0 , или
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Прямые параллельны, если параллельны их
направляющие векторы:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

41.

Пример: Найти угол между прямыми
x 2 y 7
z
1
3
2
и
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Решение: Направляющие векторы прямых
имеют координаты: (1,3,-2) и (4,1,2).
Следовательно,
1 4 3 1 ( 2) 2
3
cos( L1 , L2 )
1 9 4 16 1 4 7 16
3
( L1 , L2 ) arccos
7 16

42. Угол между прямой и плоскостью

Задана плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0, и
прямая L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

43.

Углом между прямой и плоскостью
называется угол φ между прямой и проекцией
ее на плоскость.
ω - угол между нормальным вектором
плоскости и направляющим вектором
прямой. ω=π/2-φ. Тогда sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Но cosω=cos ( n, S )
Тогда
n S
sinφ= cos ( n, S )
n S

44.

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Пример: Найти угол между прямой:
x 2 y 1 z
3
2
6
и плоскостью: 2х+у+2z-5=0.
Решение: Нормальный вектор плоскости
имеет координаты: (2,1,2), направляющий
вектор прямой имеет координаты: (3,2,-6).
sin
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

45. Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
Задана прямая L:
и плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0.
Если прямая параллельна плоскости, то
направляющий вектор прямой
перпендикулярен нормальному вектору
плоскости.
S
n
L

46.

Следовательно, их скалярное произведение
равно нулю: A·m+B·n+C·p=0.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то
эти векторы параллельны.
S
n
Р
L
В этом случае:
A B C
m n p

47.

Пример:
Написать уравнение прямой,
проходящей через точку М(1,2,-3),
перпендикулярно плоскости
4х+2у-z+5=0.
Решение:
Так как плоскость перпендикулярна
прямой, то нормальный вектор и
направляющий вектор параллельны:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

48.

Разберем типовую задачу.
Даны вершины пирамиды ABCD: А(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Найти:
1. Длину и уравнение ребра АВ,
2. Уравнение и площадь грани АВС,
3. Уравнение и длину высоты, опущенной
из вершины D на грань АВС,
4. Угол между ребром AD и гранью АВС,
5. Объем пирамиды.

49.

Чертеж:
z
D
C
B
A
x
y

50.

1. Введем в рассмотрение вектор AB . Его
координаты: (0-1;2-0;0-0), или (-1;2;0). Длина
ребра АВ равна модулю вектора .
АВ= 1 4 0 5
Уравнение прямой АВ (уравнение прямой по
двум точкам):
x 1 y
1 2
Или 2х+у-2=0

51.

2. Уравнение грани АВС (уравнение
плоскости по трем точкам):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Отсюда: (х-1)∙6-у∙(-3)+z∙2=0,
или 6х+3у+2z-6=0.
Площадь треугольника АВС найдем с
помощью векторного произведения
векторов AB и AC

52.

Координаты вектора AB =(-1;2;0),
вектора AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= AB AC
кв.единиц.
2
Векторное произведение:
i
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

53.

Тогда
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 êâ.åä.
2
2

54.

Уравнение высоты - уравнение прямой по
точке D(2,3,4) и направляющему вектору. В
качестве направляющего вектора –
нормальный вектор грани АВС: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Для нахождения длины высоты используем
формулу:
Ax0 By 0 Cz0 D
d
A2 B 2 C 2

55.

Получим:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Угол между ребром AD и гранью АВС.
Уравнение грани АВС: 6х+3у+2z-6=0,
нормальный вектор имеет координаты:
(6,3,2). Напишем уравнения прямой,
проходящей через точки А(1,0,0) и D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

56.

Эта прямая имеет направляющий вектор с
координатами:(1,3,4). Тогда
sin
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arcsin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

57.

5. Объем пирамиды равен 1/6 объема
параллелепипеда, построенного на
векторах, как на сторонах. Используем
смешанное произведение векторов.
Координаты векторов: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ Vпараллелепипеда
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vпирамиды=23/6 куб.ед.