Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1.

Взаимное расположение
прямой и плоскости в
пространстве.

2.

Цель обучения:
11.2.6 - знать взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве.
Цель урока:
- рассмотреть взаимное расположение прямой и плоскости
в пространстве;
- применять изученные понятия при решении задач.

3. Повторим! Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая L проходит через данную точку М0(x0; y0; z0)
параллельно вектору: q m; n; p
Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в
том случае, если векторы
q m; n; p и
q
L
М0
М
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 коллинеарны
По условию коллинеарности двух векторов:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
Каноническое уравнение
прямой
q m; n; p - направляющий вектор прямой

4. Повторим! Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ; z1 ) и М2(х2; у2 ; z2 ).
q
М2
L М1
Тогда в качестве направляющего
вектора в каноническом уравнении
можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x x1
y y 1 z z1
y 2 n y1 z2 p z1
mx1
x2
Уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

5. Повторим! Параметрическое уравнение прямой

При решении многих практических задач используют
параметрическое уравнение прямой, которое получается из
канонического уравнения:
x x0 y y 0 z z0
t
m
n
p
x mt x0
y nt y 0
z pt z
0
x x0
m t
y y
0
t
n
z z0 t
p
Параметрическое уравнение
прямой

6. Повторим! Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова
система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с
тремя переменными x y z определяет относительно этой системы
плоскость.
Ax By Cz D 0
(1)
A; B; C; D – некоторые постоянные, причем из чисел A; B; C хотя бы
Общее уравнение плоскости
одно отлично от нуля.
Пусть точка М0(x0; y0; z0) принадлежит плоскости:
Ax0 By 0 Cz0 D 0 (2)
Вычтем из уравнения (1) тождество (2):
A x x0 B y y 0 C z z0 0
Общее уравнение плоскости
(3)

7. Повторим! Общее уравнение плоскости

Произвольная точка М(x; y; z) лежит на
плоскости, если ее координаты
удовлетворяют уравнению (3):
N
М0
М
A x x0 B y y 0 C z z0 0
Уравнение (3) является условием
перпендикулярности двух векторов:
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 и
N A; B;C
Таким образом, точка М лежит в плоскости, если
M0M N .
Значит N перпендикулярен любому вектору, лежащему в
плоскости и, следовательно, самой плоскости.
Нормальный вектор
Общее уравнение плоскости называется полным,плоскости
если все
коэффициенты А; B; C; D отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.

8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ .
Они могут быть 1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Пусть λ: Ax + By + Cz + D = 0 и
x x0 y y0 z z0
:
,
m
n
p
Тогда N̄= {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ,
– направляющий вектор прямой ℓ .
{m; n; p}

9.

N
N
N
а)Если прямая параллельна
принадлежит плоскости, то
плоскости
или
прямая
(1)
или в координатной форме
Am + Bn + Cp = 0 .
(2)
Если условие (1) (условие (2)) не выполняется, то
прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
б)Если прямая принадлежит плоскости, то координаты
любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и,
следовательно, кроме условия (1) ((2)) выполняется
условие
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,
где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

10.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной
точке является перпендикулярность прямой и плоскости
N
В этом случае N
A B C
т.е.
.
m n p

11. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Две прямые в пространстве
могут пересекаться,
быть параллельными,
совпадать,
и скрещиваться.
В первых трех случаях прямые лежат в одной плоскости.

12. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x x1 y y 1 z z1
L1 :
m1
n1
p1
x x 2 y y 2 z z2
L2 :
m2
n2
p2
Для принадлежности двух прямых
одной плоскости необходимо и
достаточно, чтобы три вектора:
q1 m1; n1; p1
M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
y 2 y1
n1
n2
L1
q2
М1
L2
q2 m2 ; n2 ; p2
x 2 x1
m1
m2
q1
z2 z1
p1 0
p2
М2
были компланарны.
Условие
принадлежности
двух прямых одной
плоскости

13. Точка пересечения прямой и плоскости

При вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости
L:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
p:
Ax By Cz D 0
следует совместно решить систему уравнений:
Ax By Cz D 0
x x
y y 0 z z0
0
m
n
p
При этом необходимо:
Записать уравнение прямой в
параметрическом виде:
К
x mt x0
y nt y 0
z pt z
0

14. Точка пересечения прямой и плоскости

Подставить в уравнение плоскости вместо x; y; z:
A(mt x0 ) B(nt y 0 ) C( pt z0 ) D 0
Решить полученное уравнение относительно t:
t0
Ax0 By 0 Cz0 D
Am Bn Cp
Подставить t0 в параметрическое уравнение прямой:
xK mt0 x0
y K nt 0 y 0
z pt z
0
0
K
K ( xK ; y K ; zK )

15. Пример

Найти точку пересечения прямой и плоскости.
x 1 y z 2
3
5
1
y 5z 6 0
Напишем параметрическое уравнение прямой:
Подставим в уравнение плоскости:
5t 5(t 2) 6 0
x 3t 1
y 5t
z t 2
10t 16 0 t 0 1.6
Подставим в уравнение прямой:
x 3 ( 1.6) 1
y 5 ( 1.6)
z 1.6 2
x 3.8
y 8
z 0 .4
K ( 3.8; 8; 0.4)

16. Упражнение 1

Определите взаимное расположение прямой, задаваемой
уравнениями
x 1 5t ,
y 1 4t ,
z 1 7t ,
и плоскости, задаваемой уравнением x – 3y + z +1 = 0.
Ответ: Перпендикулярны.

17. Упражнение 2

Найдите координаты точки пересечения плоскости
2x – y + z – 3 = 0 и прямой, проходящей через точки A(-1, 0, 2)
и B(3, 1, 2).
5 3
(
, , 2).
Ответ:
7 7

18.

Подведи итог
• что узнал?
• чему научился?
• что осталось непонятным?
• над чем необходимо работать?