Лекция 6

1. Лекция 6

2.

Для вычисления при больших n вероятности того,
что число успехов в n испытаниях Бернулли
находится между m1 и m2 , используется
интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если
вероятность успеха в каждом испытании р, p (0;1)
постоянна, то при n для любых a, b
m np
1
P(a
b)
e
npq
2 a
b
x2
2
dx
На основании интегральной теоремы МуавраЛапласа для вычисления вероятности события
a
m np
b
при больших n и npq 9 используют
x2
приближенную формулу
npq
2
e
m np
1
P(a
b)
e dx (x)dx, где (x)
.
2
npq
2 a
a
b
x2
2
b

3.

b
Значения (x)dxможно найти, воспользовавшись
таблицами функции Лапласа Ф(х)
Покажем это:
a
b
b
a
a
х
1
е
2
t 2
2
dt .
(x)dx= (x)dx (x)dx Ф(b) Ф(а) ,
т.е. при больших n,
m np
1
P(a
b)
e
npq
2 a
b
x2
2
dx Ф(b) – Ф(а)
(1)
Значения функции Лапласа приведены в таблицах
для х 0. Для того, чтобы вычислить значения
функции
для
отрицательных
х
надо
воспользоваться следующей теоремой.

4.

Теорема. Ф(x) + Ф(-x) = 1.
Доказательство. (x) – чётная, так как (x) = (-x).
Тогда x
(рис.1).
(x)dx (x)dx
x
х
-х
Рис. 1
Следовательно, по интегральной теореме МуавраЛапласа
x
x
x
x
( x) ( x) ( x)dx ( x)dx ( x)dx ( x)dx ( x)dx
P( .
m np
npq
) 1
1
x2
2
e dx
2
(2)

5.

В некоторых источниках Ф(х) определяется как
2
x x
1
2
( x)
e
dx . В этом случае Ф(-x) = -Ф(x).
2 0
Событие m1 m m2 эквивалентно событию
m1 np
npq
m np
npq
m2 np
.
npq
Поэтому, учитывая (1) для вычисления вероятности
того, что число успехов в n испытаниях Бернулли
заключено в пределах от m1 до
m2 , можно
использовать формулу
m1 np m np m2 np
1
P(m1 m m2 ) P
e dx Ф( х 2) Ф( х1)
npq
npq
npq
2 x1
x2
x1
m1 np
npq
x2
m 2 np
npq
x2
2
(3)

6.

Формула (3) хорошо работает, если n < 50. При
больших значениях n лучше взять
m1 np 0,5
m2 np 0,5
и
.
x1
x2
npq
npq
Обозначим через вероятность того, что
относительная частота наступления успеха в n
испытаниях Бернулли отклонится от вероятности
успеха p не более чем на 0, т.е. P m p .
n
Покажем, что при достаточно больших n с
помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа
можно определить вероятность .
m np n n m np n
m
m np
P
P p P
n P
npq
pq
pq
npq
pq
n
n
n n
n
2
1.
pq pq
pq

7.

Следовательно, получим
(4)
n
m
1.
P
p 2
pq
n
Формула содержит четыре параметра: n, p, , .
Если известны любые 3, то можно определить
четвертый параметр.
Если известны , , то n можно найти по формуле
n
2
x
1
4
2
,
(5)
где x 2 – это квадрат числа х , такого, что
1
Ф(х) =
2

8.

Теорема Бернулли: Пусть m число успехов в n
испытаниях по схеме Бернулли, вероятность
успеха в каждом испытании равна p, тогда
>0, lim P m p 1 .
n
Доказательство.
n
m np
m
Р
lim P
p ε lim
n
n
npq
n
pq
1
n
m
np
n
lim P
e dx 1
2
n
pq
pq
npq
см.(2).
x2
2

9.

Пример 1. Вероятность того, что случайно
выбранный прибор нуждается в дополнительной
настройке равна 0,05. Если при выборочной
проверке партии приборов обнаруживается, что
не менее 6% отобранных приборов нуждаются в
регулировке, то вся партия возвращается для
доработки. Определить вероятность того, что
партия будет возвращена, если для контроля из
партии выбрано 500 приборов.
Пример 2. Определить, сколько надо отобрать
изделий, чтобы с вероятностью 0,95 можно было
утверждать,
что
относительная
частота
бракованных изделий будет отличаться от
вероятности их появления не более чем на 0,01.

10.

m1 np m np m2 np
1
P(m1 m m2 ) P
e dx Ф( х 2) Ф( х1)
npq
npq
npq
2 x1
x2
x1
m1 np
npq
x2
m 2 np
npq
x2
2