Схема Бернулли

1.

ПОНЯТИЕ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. ЛОКАЛЬНАЯ И
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛЫ МУАВРА –
ЛАПЛАСА

2.

Схема Бернулли
• Если производится n независимых
испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события А равна
p, а вероятность его не появления равна
q=1-p, то вероятность того, что событие А
произойдет m раз определяется
формулой Бернулли:
Pn (m) Cnm p m q n m

3.

Полиномиальная формула
• Если в серии из n независимых опытов, в каждом из
которых может произойти одно и только одно из k
событий A1, A2, …,Ak с соответствующими
вероятностями p1, p2, …,pk, то вероятность того, что в
этих опытах событие A1 появится m1 раз, событие A2 –
m2 раз,…, событие Ak – mk раз, вычисляется по
формуле:
n!
Pn (m1 , m2 ,.., mk )
p1m1 p2m2 ... pkmk
m1!m2!...mn !
• где
m1 m2 .. mk n

4.

Наивероятнейшее число наступлений
событий
• Число наступлений события А называется
наивероятнейшим, если вероятность наступления
события данное число раз в этой серии испытаний
наибольшая по сравнению с вероятностями других
исходов.
• Пусть n число независимых испытаний, р –
вероятность наступления события в отдельном
испытании. Тогда наивероятнейшее число
наступлений события m0 удовлетворяет неравенству
np q m0 np p
• где q=1-p.

5.

Локальная теорема Муавра –
Лапласа
• В тех случаях, когда число испытаний n велико, а
вероятность р не близка к нулю для вычисления
вероятностей используют теоремы Муавра – Лапласа.
• Локальная теорема Муавра – Лапласа: Если
вероятность p наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а
число независимых испытаний достаточно велико, то
вероятность Pn (m) может быть вычислена по
приближенной формуле
Pn (m)
1
npq
1
e
2
x2
2
m np
x
npq

6.

Функция Гаусса
• Выражение, записанное ниже, называется
функцией Гаусса и определяется по таблицам
значений
( x)
1
e
2
x2
2

7.

Интегральная теорема Муавра –
Лапласа
• Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
Если вероятность p наступления события А в
каждом испытании постоянна и отлична от
нуля и единицы, то вероятность Pn (k1 m k2 )
может быть найдена по приближенной
формуле
Pn (k1 m k 2 ) ( x2 ) ( x1 )
x1
k1 np
npq
k2 np
x2
npq

8.

Функция Лапласа
• Функция Лапласа Ф(х) нечетная и
определяется по таблице значений.
• Также справедливы неравенства
1
Pn (m k 2 ) ( x2 )
2
1
Pn (m k1 ) ( x1 )
2