Повторные независимые испытания (лекция 3)

1.

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Теория вероятностей и математическая статистика
лектор Макеева О.В.
Лекция 3
Повторные
независимые
испытания
1. Формула Бернулли
2. Формула Пуассона
3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
5. Следствия интегральной теоремы

2.

Пролог
На практике часто проводятся серии экспериментов,
независимых относительно некоторого события А. Это
означает, что вероятность наступления события А в
каждом отдельном эксперименте не зависит от исходов
других экспериментов серии. В результате каждого
эксперимента событие А может либо наступить, либо не
наступить. Пусть вероятность наступления события А
для всех экспериментов серии одинакова и равна p.
Значит, вероятность наступления противоположного
события Ā тоже постоянна для всех экспериментов
серии и равна q = 1 p. Поставим задачу: найти
вероятность того, что в серии из n независимых
испытаний событие А наступило ровно m раз и,
следовательно, не наступило n m раз.
Лекция 3. Повторные независимые испытания
2

3.

§1. Формула Бернулли
Теорема.
Вероятность того, что событие А наступит m
раз в n независимых испытаниях равна
Pn m Cnm p m q n m .
(1)
Доказательство.
Лекция 3. Повторные независимые испытания
3

4.

Пример 1
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=5 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов).
m=3 – число бракованных деталей среди отобранных на
проверку (число наступлений события А).
Pn m Cnm p m q n m
5!
P5 3 C 0, 2 0,8
0, 008 0, 64
3! 2!
10 0, 008 0, 64 0, 0512
3
5
3
2
Ответ: 0,05
Лекция 3. Повторные независимые испытания
4

5.

§1. Формула Бернулли
Формула Бернулли
названа в честь её автора –
выдающегося математика,
одного из основателей
теории вероятностей и
математического анализа
Якоба Бернулли.
Он является старшим
представителем
знаменитой швейцарской
династии учёных.
Якоб Бернулли
(1655-1705)
Лекция 3. Повторные независимые испытания
5

6.

§1. Формула Бернулли
Определение.
Наивероятнейшим
числом
наступления
события А в серии n независимых экспериментов
называется число m0 для которого вероятность
наступления события А не меньше чем для остальных
событий серии экспериментов и определяется условием
np q m0 np p.
(2)
Доказательство.
Pn m0 Pn m0 1 ,
Pn m0 Pn m0 1 .
Лекция 3. Повторные независимые испытания
6

7.

§1. Формула Бернулли
Доказательство.
Pn m0 Pn m0 1 ,
Pn m0 Pn m0 1 .
n!
n!
m0 n m0
m0 1 n m0 1
p
q
p
q
m ! n m !
m0 1 ! n m0 1 !
0
0
n!
n!
m0 n m0
p q
p m0 1q n m0 1
m0 ! n m0 !
m0 1 ! n m0 1 !
1
1
n m q m 1 p
0
0
1
1 p
q
m0
n m0 1
m0 q p np q
np p m0 q p
np q m0 np p
Лекция 3. Повторные независимые испытания
7

8.

Пример 2
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=? – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов).
m0=3 – наивероятнейшее число бракованных деталей
среди отобранных на проверку (наивероятнейшее число
наступлений события А).
np q m0 np p
n 4
n 1
3 ,
5 5
5 5
n 19
Ответ: от 14 до 19
n 14 Лекция 3. Повторные независимые
8
испытания

9.

§2. Формула Пуассона
Теорема.
Если при неограниченном увеличении числа
испытаний n вероятность р наступления
события А в каждом испытании стремится к
нулю,
а
произведение
np
стремится
к
постоянному числу λ , то вероятность того, что
событие А наступит m раз в n независимых
испытаниях удовлетворяет равенству
lim Pn m
n
m
m!
e .
(3)
При постоянных и малых p, когда λ = np 10 из
теоремы вытекает формула Пуассона
Pn m
m
m!
e .
(4)
Лекция 3. Повторные независимые испытания
9

10.

§2. Формула Пуассона
Доказательство.
Pn m
Pn m Cnm p m q n m
n n 1
m
m!
e
n m 1 p m 1 p n 1 p m
m!
1
n 1
n
Pn m
m
m 1
n
m
1
m
n
1 1
m!
n n n
1
lim Pn m
1
n
m ! n /
m
n/
m
e
1
m!
Лекция 3. Повторные независимые испытания
10

11.

Пример 3
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 02 – мало; q P A =1 p 0,98.
n=50 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов) – велико.
m=3 – число бракованных деталей среди отобранных на
проверку (число наступлений события А).
np 50 0, 02 1 10,
13 1
P50 3 e 0, 0613
3!
Pn m
m
m!
e
Ответ: 0,06
Лекция 3. Повторные независимые испытания
11

12.

§2. Формула Пуассона
В 1837 году была
опубликована работа
французского математика
Пуассона «Исследования
о вероятности приговоров
в уголовных
и гражданских делах».
В ней было введено
дискретное распределение
с плотностью вероятности
Симеон Дени Пуассон
(1781-1840)
P Y m
m
m!
e .
Лекция 3. Повторные независимые испытания
12

13.

§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Теорема.
Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1,
то вероятность того, что событие А наступит m
раз в n независимых испытаниях при
достаточно большом числе n, приближённо
равна
f x
Pn m
1
e
где f x
2
x2
2
,
(5)
npq
m np
- функция Гаусса, x
.
npq
Лекция 3. Повторные независимые испытания
13

14.

§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
1
Свойства функции Гаусса f x
e
2
x2
2
:
1) f x f x , функция чётная;
2) lim f x 0, функция убывая стремится к нулю.
x
Замечание 1. f x 0 при x 4.
Замечание 2.
При npq 20 приближённые значения вероятности
принимают на практике как точные.
Лекция 3. Повторные независимые испытания
14

15.

Пример 4
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов) – велико.
m=20 – число бракованных деталей среди отобранных
на проверку (число наступлений события А).
npq 200 0, 2 0,8 32 20,
P200 20
f 3,54
32
f x
m np
Pn m
,x
.
npq
npq
0, 0008
0, 0001
5, 66
Ответ: 0,01%
Лекция 3. Повторные независимые испытания
15

16.

§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Абрахам де Муавр
(1667-1754)
Английский математик
французского
происхождения Абрахам
де Муавр в 1738 году во
втором издании работы
«Доктрина случайностей»
впервые ввёл функцию
нормального
распределения и доказал
первый частный случай
центральной предельной
теоремы.
Лекция 3. Повторные независимые испытания
16

17.

§3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Пьер Симон Лаплас
(1749-1827)
Большинство результатов
де Муавра вскоре были
перекрыты трудами
французского математика
Пьера Симона, маркиза де
Лапласа. После обобщения
Лапласом в 1812 году
теорема получила
название теоремы МуавраЛапласа. Степень
возможного влияния де
Муавра на Лапласа неясна.
Лекция 3. Повторные независимые испытания
17

18.

§4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Теорема.
Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1,
то вероятность того, что число m наступлений
события А в n независимых испытаниях
заключено в диапазоне от a до b, при достаточно
большом числе n приближённо равна
1
Pn a m b Ф x2 Ф x1 , (6)
2
x
t2
2
2
где Ф x
e
dt функция Лапласа,
2 0
a np
b np
x1
, x2
.
npq
npq
Лекция 3. Повторные независимые испытания
18

19.

§4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
x
t2
2
2
Свойства функции Лапласа Ф x
e dt :
2 0
1) Ф x Ф x , функция нечётная;
2) lim Ф x 1, функция возрастая стремится к единице.
x
Замечание 1. Ф x 1 при x 4.
Замечание 2.
При npq 20 приближённые значения вероятности
принимают на практике как точные.
Лекция 3. Повторные независимые испытания
19

20.

Пример 5
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов) – велико.
0 m 20 – число бракованных деталей среди
отобранных на проверку (число наступлений события А)
npq 200 0, 2 0,8 32 20,
1
a np
b np
Pn a m b Ф x2 Ф x1 , x1
, x2
2
npq
npq
Лекция 3. Повторные независимые испытания
20

21.

Пример 5
1
Pn a m b Ф x2 Ф x1
2
a np 0 40
x1
7, 07; Ф x1 Ф 7, 07 1
npq
32
b np 20 40
x2
3,54; Ф x2 Ф 3,54 0,9996
npq
32
1
P200 0 m 20 0,9996 1 0, 0002
2
Ответ: 0,02%
Лекция 3. Повторные независимые испытания
21

22.

§5. Следствия интегральной теоремы
Следствие 1.
Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1,
m – число наступлений события А в серии n
независимых испытаний, то при достаточно
большом значении n при ε>0 справедливо
приближённое равенство
Pn m np Ф
.
npq
(7)
Лекция 3. Повторные независимые испытания
22

23.

Пример 6
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов) – велико.
30 m 50 – число бракованных деталей среди
отобранных на проверку (число наступлений события А)
npq 200 0, 2 0,8 32 20,
1
a np
b np
Pn a m b Ф x2 Ф x1 , x1
, x2
2
npq
npq
Лекция 3. Повторные независимые испытания
23

24.

Пример 6
np 200 0, 2 40,
30 m 50 10 m 40 10 m 40 10,
1
Pn a m b Ф x2 Ф x1
2
Pn m np Ф
, 10
npq
10
1, 77; Ф
Ф 1, 77 0, 0833
npq
32
npq
P200 30 m 50 0,0833
Ответ: 0,08
Лекция 3. Повторные независимые испытания
24

25.

§5. Следствия интегральной теоремы
Следствие 2.
Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1,
m – число наступлений события А в серии n
независимых испытаний, то при достаточно
большом
значении
n
справедливо
приближённое равенство
m
1
Pn Ф z2 Ф z1 , (8)
n
2
m
p
p
, z2
.
где
– частость события А, z1
n
pq
pq
n
n
Лекция 3. Повторные независимые испытания
25

26.

Пример 7
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов) – велико.
m
0,3 0,5 – доля бракованных деталей среди
n
отобранных на проверку (частость события А).
npq 200 0, 2 0,8 32 20,
1
a np
b np
Pn a m b Ф x2 Ф x1 , x1
, x2
2
npq
npq
Лекция 3. Повторные независимые испытания
26

27.

Пример 7
m
1
Pn Ф z2 Ф z1
n
2
p
0,3 0, 2
z1
3,54; Ф z1 Ф 3,54 0,9996
pq / n
0,0008
z2
p
0,5 0, 2
10,61; Ф z2 Ф 10,61 1
pq / n
0,0008
m
1
P200 0,3 0,5 Ф 10, 61 Ф 3,54
n
2
1
1 0,9996 0, 0002
Ответ: 0,02%
2
27
Лекция 3. Повторные независимые испытания

28.

§5. Следствия интегральной теоремы
Следствие 3.
Если вероятность р наступления события А в
каждом испытании постоянна, отлична от 0 и 1,
m – число наступлений события А в серии n
независимых испытаний, то при достаточно
большом значении n при ε>0 справедливо
приближённое равенство
m
,
Pn p Ф
pq
n
n
(9)
m
где
– частость события А.
n
Лекция 3. Повторные независимые испытания
28

29.

Пример 8
Эксперимент: выбрать наугад деталь для проверки
качества.
Событие А : выбрана бракованная деталь.
p P A 0, 2; q P A =1 p 0,8.
n=200 – число выбранных для проверки деталей (число
всех проведённых экспериментов) – велико.
m
0,1 0,3 – доля бракованных деталей среди
n
отобранных на проверку (частость события А).
npq 200 0, 2 0,8 32 20,
1
a np
b np
Pn a m b Ф x2 Ф x1 , x1
, x2
2
npq
npq
Лекция 3. Повторные независимые испытания
29

30.

Пример 8
m
1
Pn Ф z2 Ф z1
n
2
m
m
m
0,1 0,3 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0,1
n
n
n
m
Pn p Ф
n
0,1
3,54; Ф
pq / n
0, 0008
, 0,1
pq / n
Ф 3,54 0,9996
pq / n
m
P200 0,1 0,3 0,9996
Ответ: 100%
n
30
Лекция 3. Повторные независимые испытания

31.

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Теория вероятностей и математическая статистика
лектор Макеева О.В.
Продолжение следует…