Схема независимых испытаний Бернулли

1.

§4. Схема независимых
испытаний Бернулли
п.1. Формула Бернулли.
Пусть проводится серия независимых
испытаний, в каждом из которых возможно
лишь 2 исхода:
либо некоторое событие A наступит (с
вероятностью p),
либо событие A не наступит (с вероятностью
q 1 p ).
Такие испытания впервые были изучены
Бернулли.

2.

Пример. Производится 4 выстрела по мишени.
Вероятность попадания при каждом выстреле
равна 0,7. Найти вероятность того, что
мишень поражена 2 раза.
Решение. Пусть
П {попадание при одном выстреле};
H {промах при одном выстреле};
A {2 попадания при четырех выстрелах}.
Тогда
A ППНН ПНПН ПННП
НППН НПНП ННПП .

3.

Так как испытания независимы, то
P( ППНН ) 0,7 0,7 0,3 0,3 0,7 0,3 0,0441;
2
2
P( ПНПН ) 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,0441;
2
2
и т.д.
Кроме того события ППНН, ПНПН, …, ННПП
несовместны. Поэтому, по свойству
вероятности
P( A) 6 0,0441 0,2646.
Заметим, что количество слагаемых в сумме:
2
4
C .

4.

Теорема 1.
Вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие A появится ровно m раз,
если вероятность появления события A в
каждом из них равна p, находится по
формуле:
m m n m
Pn (m) Cn p q
— формула Бернулли.

5.

Доказательство.
Рассмотрим событие, состоящее в том, что A
появится в первых m испытаниях и не
появится в остальных n m испытаниях:
AA
... A A A ... A.
n m
m
Так как испытания независимы, то по теореме
умножения вероятность этого события равна
pp... p qq...q p m q n m .
m
n m
Кроме того, вероятность появления события A
снова m раз но в другом порядке будет той же:
m
p q
n m
.

6.

Число таких исходов (в n испытаниях событие
A появится m раз в определенном порядке)
равно количеству способов разместить m
множителей равных p по n местам, т.е.
m
n
C .
Так как рассматриваемые исходы
несовместны, то по свойству сложения
вероятностей искомая вероятность равна:
n m
n m
n m
Pn (m) p q p q ... p q C p q
m
m
C nm
m
m
n
m
n m
.

7.

Замечание.
Вероятность того, что событие A появится от k1
до k 2 раз включительно, равна:
Pn (k1 m k 2 ) Pn (k1 ) Pn (k1 1) ... Pn (k 2 )
k2
C
m k1
m
n
m
p q
n m
.
Пример. Вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,7. Найти вероятность того,
что при 5 выстрелах мишень поражена не
менее 3 раз.
Решение.
P5 (3 m 5) C53 0,7 3 0,32 C54 0,7 4 0,3 C55 0,7 5 0,84.

8.

Пусть в схеме Бернулли проводится n
испытаний.
Вероятность наступления события A в каком
количестве испытаний будет самой высокой?
(Какое наивероятнейшее число появлений
события A?).
Найдем отношение:
m 1
n
m 1 n ( m 1)
Pn (m 1) C p q
m m n m
Pn (m)
Cn p q
( n m) p
.
(m 1)q
Pn (m 1) Pn (m) (n m) p (m 1)q;
np mp (m 1)q;

9.

np m(1 q ) (m 1)q;
np m mq mq q;
np q m.
фиксированное
меняется
При увеличении m от 0 до n вероятность Pn (m)
сначала растет, а затем убывает.
Таким образом, существует такое число
m0 {0,1,..., n},
при котором вероятность Pn (m) достигает
максимального значения (наивероятнейшее
число).

10.

Если
то
Если
то
np q Z,
m0 np q, m0 ' np p.
np q Z,
m0 [np q ] 1.
Пример. Бросаем 10 раз кубик. Рассмотрим
событие A {выпало более 4 очков}.
Найти наивероятнейшее число появлений
события A.
Решение.
1
2
10 2
n 10, p , q , m0 1 3.
3
3
3 3

11.

Замечание.
Пусть проводится n независимых испытаний, в
каждом из которых возможно наступление
равно одного из k событий A1 , A2 ,..., Ak , причем
в каждом испытании
P ( A1 ) p1 , P ( A2 ) p2 ,..., P( Ak ) pk .
Тогда вероятность того, что A1 появится m1 раз,
Ak
A2
m
m
появится
раз,
…,
появится
раз,
2
k
находится по формуле
n!
mk
m1 m2
Pn (m1 , m2 ,..., mk )
p1 p2 ... pk ,
m1!m2 !... mk !
m1 m2 ... mk n.

12.

п.2. Предельные теоремы в схеме
Бернулли.
6! 720, 10! 3628800,
100! 933262154439441526816992388562
66700490715968264381621468592963895
21759999322991560894146397615651828
625369792082722375825118521091 68640
00000000000000000000000
Вычисления в схеме Бернулли при больших n
проводятся с помощью приближенных
формул.

13.

Теорема 2 (Пуассона).
Пусть в схеме Бернулли
число испытаний n неограниченно возрастает,
n ,
вероятность p неограниченно уменьшается,
p 0,
произведение a np является постоянной
величиной.
Тогда для любого фиксированного m
m
справедлива формула
a
lim Pn (m)
n
— формула Пуассона.
m!
e
a

14.

Доказательство. Так как
a
p ,
n
то
n m
a
Pn (m) C p q
1
n
n
m
m
n(n 1)(n 2)...(n m 1) a a a
1 1 .
m
n
m! n n
m
n
m
n m
n!
a
m!(n m)! n
m
Заметим, что
n(n 1)(n 2)...(n m 1)
lim
1,
m
n
n

15.

n
a
a
a
lim 1 e , lim 1
n
n
n
n
m
1.
Поэтому,
a m a
a m a
lim Pn (m) 1 e 1
e .
n
m!
m!
Замечание.
Из теоремы 2 следует приближенная формула
m
a a
Pn (m)
e .
m!
Ее обычно применяют, когда n велико, p мало,
np 10.

16.

Пример. В грузовике перевозится 1000
бутылок. Вероятность того, что в дороге
разобьется одна бутылка равна 0,001. Найти
вероятность того, что: 1) разобьются равно 3
бутылки, 2) разобьется не более 3 бутылок.
Решение. n 1000, p 0,001, a np 1 10.
Применим формулу Пуассона.
3
1) m 3,
1
P1000 (3)
2)
1
3!
e 0,06.
P1000 (m 3) P1000 (0) P1000 (1) P1000 (2) P1000 (3)
0
1
2
3
1 1 1 1 1 1 1 1
e e e e 0,98.
0!
1!
2!
3!

17.

Потоком событий называют
последовательность событий, наступающих в
случайные моменты времени.
Пример.
Поток посетителей ресторана,
поток звонков на телефонную станцию,
поток обслуживания абонентов.
Интенсивностью потока (t ) называют
среднее число событий, появляющихся в
единицу времени.

18.

Потоком называют стационарным, если его
интенсивность является постоянной
величиной, т.е.
(t ) .
Потоком называют ординарным, события
появляются не группами, а по одиночке.
Говорят, что потоком обладает свойством
отсутствия последствия, если вероятность
появления событий на любом участке
времени не зависит от того, сколько событий
появилось на любом другом,
непересекающимся с ним участке («будущее»
не зависит от «прошлого»).

19.

Поток стационарный, ординарный поток
событий с отсутствием последствий
называется простейшим (пуассоновским).
Вероятность появления m событий
простейшего потока за время t
продолжительностью находится по формуле
( t ) m t
Pt (m)
e .
m!

20.

Пример. Среднее число заказов такси,
поступающих на диспетчерский пункт за одну
минуту, равно 3. Найти вероятность того, что
за 2 минуты поступит 4 вызова.
Решение.
3, t 2, m 4.
(3 2) 3 2
P2 (4)
e 0,135.
4!
4

21.

Теорема 3 (Локальная теорема Муавра–
Лапласа).
Пусть в схеме Бернулли
число испытаний n неограниченно возрастает,
n ,
вероятность p (0,1) постоянна.
Тогда
1
Pn (m)
где
m np
x
,
npq
npq
( x),
1
( x)
e
2
x2
2
— функция Гаусса.

22.

Замечание.
Значения функции (x) находят по
специальной таблице, при этом учитывая, что
( x) ( x);
( x) 0 при x 4.
Пример. Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,7. Найти вероятность того,
что при 200 выстрелах мишень будет
поражена 160 раз.
Решение. n 200, m 160, p 0,7, q 0,3.
160 200 0,7
x
3,09; (3,09) 0,0034;
200 0,7 0,3
0,0034
P200 (160)
0,0005.
200 0,7 0,3

23.

Теорема 4 (Интегральная теорема Муавра–
Лапласа).
Пусть в схеме Бернулли
число испытаний n неограниченно возрастает,
n ,
вероятность p (0,1) постоянна.
Тогда
x
x2
1
Pn (k1 m k 2 )
2
k1 np
x1
,
npq
2
e
2
dx,
x1
k 2 np
x2
.
npq

24.

Замечание.
Рассмотрим функцию
1
0 ( x)
2
x
e
t2
2
dt
0
— нормированная функция Лапласа.
Значения этой функции находят по
специальной таблице, при этом учитывая, что
0 ( x) 0 ( x);
0 ( x) 0,5 при x 5.

25.

Тогда
1
2
x2
e
x2
2
x1
1
2
x2
1
dx
2
e
0
Поэтому,
x2
2
0
e
x2
2
x1
1
dx
2
x1
1
dx
2
e
x2
2
x2
e
x2
2
dx
0
dx 0 ( x2 ) 0 ( x1 ).
0
Pn (k1 m k 2 ) 0 ( x2 ) 0 ( x1 ),
k1 np
x1
,
npq
k 2 np
x2
.
npq

26.

Пример. Цех в среднем выпускает 4% брака.
Приемщик проверяет партию из 200 изделий.
Если в ней окажется более 10 бракованных
изделий, то вся партия бракуется. Какова
вероятность того, что партия будет принята?
Решение.
n 200, k1 0, k 2 10, p 0,04, q 0,96.
0 200 0,04
x1
2,89;
200 0,04 0,96
10 200 0,04
x2
0,72.
200 0,04 0,96
P200 (0;10) 0 (0,72) 0 ( 2,89) 0 (0,72) 0 (2,89)
0,2642 0,4981 0,7623.

27.

Замечание.
Пусть событие A в n испытаниях появилось m
раз.
Тогда вероятность отклонения относительной
частоты m / n от вероятности p можно найти
по формуле:
m
Pn p 2 0
n
n
.
pq

28.

Доказательство. Рассмотрим неравенство
m
m
p p np n m np n .
n
n
Тогда
m
Pn p Pn np n m np n .
n
Применим теорему 4:
np n np
n
x1
npq
npq
n
; x2
pq
n
;
pq
m
Pn p 0
n
n
2 0
pq
n
.
pq
n
0
pq

29.

Замечание.
Переходя к пределу при n в равенстве
m
Pn p 2 0
n
n
pq
получим
0
m
lim Pn p 1
n
n
— закон больших чисел (одна из
формулировок).