Свободные затухающие и вынужденные колебания

1.

Лекция №2
Свободные затухающие колебания.
Вынужденные колебания

2.

1. Свободные затухающие колебания
1.1. Дифференциальное уравнение
1.2. Основные характеристики
колебаний
2. Вынужденные колебания
2.1. Дифференциальное уравнение
2.2. Амплитуда и фаза
2.3. Резонанс и резонансные кривые.

3.

Колеба́ния — это повторяющийся во времени
процесс, в ходе которого система изменяет свое
состояние около точки равновесия.
Колебательные процессы широко распространены
в природе и технике (качели, натянутая струна,
переменный электрический ток и т.д.).
Физическая природа колебаний может быть
разной, поэтому различают колебания
механические, электрические, электромагнитные и
др. Однако различные колебательные процессы
описываются одинаковыми характеристиками и
одинаковыми уравнениями. Поэтому существует
единый подход к изучению колебаний различной
физической природы.

4.

Колебания могут происходить только в том
случае, если при отклонении системы от
положения равновесия возникает сила (или
процесс), возвращающая систему в положение
равновесия. Такое равновесие называют
устойчивым. В точке устойчивого равновесия
возвращающая сила равна нулю.
FУПР ( x) kx
FУПР (0) 0

5.

Образец подзаголовка
14.03.2026

6.

Второй закон Ньютона для затухающих колебаний вдоль
оси x примет вид :
max kx r x
где kx – возвращающая сила, r x – сила трения.
После несложных преобразований имеем:
r
k
x x x 0
m
m
Введем обозначения:
k
2
0
m
квадрат
собственной
частоты
незатухающих
колебаний
r
2m
коэффициент
затухания

7.

Дифференциальное уравнение свободных
затухающих колебаний:
x 2 x x 0
2
0
2
Решение этого уравнения (при δ << 0 ) имеет вид:
t
cos( t )
Частота колебаний:
x А0 e
Период:
2
0
2
2
2
T
,
2
2
0

8.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому
затухающие колебания, вообще говоря, не являются
периодическими и в строгом cмыcле к ним неприменимо
понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало,
то можно условно
пользоваться понятием
периода как промежутка
времени между
двумя последовательными максимумами
(или минимумами)
колеблющейся
физической величины.

9.

Зависимость
x А0 e t cos( t )
(на рисунке показана
сплошной линией) можно
рассматривать как
гармоническое колебание с
амплитудой,
изменяющейся во времени
по закону:
A(t ) А0 e
t
Здесь А0 - начальное значение амплитуды.
Зависимость A(t ) на рисунке показана штриховыми
линиями.

10.

Основные параметры (характеристики)
затухающих колебаний
Время релаксации - τ - время, за которое амплитуда
уменьшается в е раз. Это условие выражается следующим
1
образом:
A( ) А0 e
A0 е
1 / , то есть 1 /
Из последнего равенства
Следовательно, коэффициент затухания
– есть
физическая величина, обратная времени, в течение
которого амплитуда уменьшается в е раз.

11.

Число колебаний N e - число колебаний, по истечении
которых, амплитуда уменьшается
раз.
N eT
e
N e T 1 T
Логарифмическим декрементом затухания d
называется натуральный логарифм отношения
амплитуд, следующих друг за другом через период Т.
A(t )
d ln
ln e T T
A(t T )
d T
d 1 Ne
Логарифмический декремент характеризует, насколько
убывает амплитуда колебаний за период
Логарифмический декремент колебаний (декремент затухания) —
безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение
амплитуды колебательного процесса.

12.

Добротность Q является важнейшей
характеристикой колебательной системы, которая
при малых значениях коэффициента затухания
0
равна
Q Ne
d
T0 2
Добротность обратна логарифмическому декременту затухания
Физический смысл добротности выявляется из
рассмотрения энергии колебательной системы. Можно
показать, что добротность пропорциональна отношению
средней энергии <E>, запасенной осциллятором, к средним
потерям энергии <-ΔE> за период.
E
Q 2
E

13.

r
2m
02 2
Когда
сопротивление
становится
равным
критическому r rкр , 0 , круговая частота
обращается в нуль
0 T
(колебания прекращаются)
Такой процесс называется апериодическим
r rкр ,
0
0
T

14.

Отличия
апериодического
процесса
от
рассмотренных
затухающих
колебаний
в
следующем.
При колебаниях, тело, возвращающееся в
положении
равновесия,
имеет
запас
кинетической энергии. В случае апериодического
движения энергия тела при возвращении в
положение
равновесия
оказывается
израсходованной
на
преодоление
сил
сопротивления трения.

15.

Вынужденные колебания гармонического
осциллятора
Чтобы в реальной колебательной системе получить
незатухающие колебания, надо компенсировать потери
энергии. Такая компенсация возможна с помощью какоголибо периодически действующего фактора X(t)
,
изменяющегося по гармоническому закону:
X (t ) X 0 cos( t )
Если рассматривать механические колебания, то роль X(t)
играет внешняя вынуждающая сила
X (t )
F (t ) F0 cos( t )
Колебания под действием вынуждающей силы
называют вынужденными

16.

Дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний под действием гармонической силы
Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (– kx)
и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная
периодическая сила. Уравнение колебательного процесса
max kx r x Fx
где F F cos t.
x
0
С учетом обозначений для собственной частоты колебаний
системы и коэффициента затухания приходим к уравнению:
x 2 x 02 x ( F0 m) cos t

17.

Решение этого уравнения в общем случае имеет сложный
вид, но для t >> 1/δ решение представляется в виде
x B cos( t )
где
- частота вынуждающей силы, а
соответственно формулами:
B
F0 m
( ) 4
14.03.2026
2
0
2 2
2
2
B и задаются
2
arctg 2
0 2
Следовательно, в установившемся режиме вынужденные
колебания происходят с частотой
ω и являются гармоническими.
Амплитуда B и фаза φ колебаний существенно зависят от
частоты.

18.

B
F0 m
( 02 2 ) 2 4 2 2
Видно, что амплитуда колебаний имеет максимум при
некоторой частоте, которую называют резонансной
рез
Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти
минимум подкоренного выражения в знаменателе.
Продифференцировав подкоренное выражение по
и
приравняв его нулю, получим условие, определяющее рез .
рез 2
2
0
2
Значение резонансной амплитуды:
B рез
F0 m
2 02 2

19.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных
колебаний при приближении частоты вынуждающей
силы к частоте, равной или близкой собственной
частоте колебательной системы, называется
механическим резонансом.
На рисунке
представлены
резонансные кривые ,
то есть зависимости
амплитуды
вынужденных
колебаний от частоты
для разных
коэффициентов
затухания.

20.

При малом затухании: 2 02 ,
F0 m
Bрез
2 0
Разделим полученную резонансную амплитуду на
статическое смещение системы из положения равновесия
под действием постоянной силы той же величины
Bст F0 m 02
F0
m 02 0
Q
Bст
m2 0 F0
2
Bрез
Добротность показывает, во сколько раз
амплитуда в момент резонанса превышает
статическое смещение системы при
одинаковой силе.

21.

Зависимость сдвига фазы вынужденных колебаний
относительно частоты вынуждающей силы для
различных коэффициентов затухания :
2
arctg 2 2
0
1.
0 0
2.
рез
2
рез arctg
рез 0 2
2
2
0
3.
0 рез 0
2