Лекция 14. Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

Определенный интеграл, как предел
интегральной суммы
Геометрический смысл определенного
интеграла
Физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона – Лейбница
Свойства определенного интеграла
Замена переменной в определенном интеграле
Интегрирование по частям

2. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Выполним
следующие действия:
С помощью точек x0 = a; x1; x2;…;xn = b разобьем отрезок
[a; b] на n частичных отрезков:
с1 с2
a
сn
сi
x1 x2 … хi -1 хi
…
xn - 1
b
В каждом частичном отрезке [xi - 1; xi] выберем
произвольную точку:
ci xi 1; xi
и найдем значение функции в ней, то есть величину f(ci ).
Умножим найденное значение функции f(ci ) на длину
соответствующего частичного отрезка xi xi xi 1:
f (ci ) xi

3. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы

Составим сумму всех таких произведений
n
Sn f (c1) x1 f (c2 ) x2 f (cn ) xn f (c i ) x i
i 1
Обозначим длину
наибольшего
Интегральная
суммачастичного отрезка: max xi
функции y = f(x) на [a; b]
Найдем предел интегральной суммы, когда n , так что
0
Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные
отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется
определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и
обозначается:
b
n
a
n
( 0 ) i 1
f ( x )dx lim f (c ) x
i
i

4. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы

Верхний предел
интегрирования
b
f ( x )dx
a
[a; b] - область (отрезок)
интегрирования
Нижний предел
интегрирования
Теорема (существования определенного интеграла)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] , то
определенный интеграл
b
f ( x )dx существует.
a
Непрерывность функции является достаточным условием ее
интегрируемости. Однако определенный интеграл может
существовать и для некоторых разрывных функций ( например
для ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное
число точек разрыва)

5. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть непрерывная неотрицательная функция y = f(x) задана на
отрезке [a; b].
Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу
– осью OX , сбоку прямыми x = a; x = b , называется
криволинейной трапецией.
Найдем площадь этой трапеции.
Составим для функции f(х) интегральную сумму на отрезке [a; b].
n
Sn f (c i ) x i
i 1
Найдем геометрический смысл этой суммы.
:

6. Геометрический смысл определенного интеграла

y
Произведение f (ci ) xi
равно площади
прямоугольника с
основанием x i и высотой
x i
f (ci )
S f (ci )
с1 с2
0
a
сi
f(ci )
сn
x1 x2 … хi -1 хi … xn - 1 b x
Сумма таких произведений: Sn
n
f (c ) x
i 1
i
i
(интегральная сумма) равна площади ступенчатой фигуры и
приближенно равна площади криволинейной трапеции: S Sn

7. Геометрический смысл определенного интеграла

С уменьшением величин
x i точность формулы
Sn S увеличивается.
y
S
0
a
b
Поэтому за точное
значение площади S
криволинейной трапеции
принимается предел, к
которому стремится
площадь ступенчатой
x фигуры Sn, когда n
неограниченно возрастает.
n
b
n
( 0 ) i 1
a
S lim Sn lim f (ci ) xi f ( x )dx
n
( 0 )

8. Физический смысл определенного интеграла

Пусть материальная
точка М перемещается под воздействием
силы F , направленной вдоль оси OX и имеющей переменную
величину F F (x )
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси
OX из точки
х = а в точку х = b .
F
a М
сi
x1 x2 … хi -1 хi
…
xn - 1
b
Сила, действующая на отрезке [xi - 1; xi] меняется от точки к точке.
Но если длина отрезка xi xi xi 1 достаточно мала, то силу
на этом отрезке можно считать постоянной, равной значению
функции в произвольно выбранной точке ci xi 1; xi
Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
равна:
Ai F (ci ) xi
xi 1; xi

9. Физический смысл определенного интеграла

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b]:
n
A F ( c i ) x i
Точное значение работы А :
i 1
n
b
n
( 0 ) i 1
a
A lim F (ci ) xi F ( x )dx
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному
b
интегралу от скорости:
S v (t )dt
a
Масса неоднородного стержня на отрезке [a; b]
равна определенному интегралу от плотности:
b
m ( x )dx
a

10. Формула Ньютона - Лейбница

Теорема
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) какая
либо ее первообразная, то имеет место формула:
b
f ( x )dx F (b) F (a)
a
Формула Ньютона Лейбница
Доказательство:
Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a; b] :
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
a
x1 x2 … хi -1 хi
…
xn - 1 b
F (b) F (a) F ( xn ) F ( xn 1) F ( xn 1) F ( xn 2 )
n
F ( x1 ) F ( x0 ) F ( x i ) F ( x i 1 )
i 1

11. Формула Ньютона - Лейбница

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа:
f (b ) f (a ) f (c )( b a )
c [a; b]
n
n
n
i 1
i 1
i 1
F (b ) F (a ) F (c i )( x i x i 1 ) F (c i ) x i f (c i ) x i
Переходя к пределу при
max xi 0 , получим:
b
n
F (b ) F (a ) lim f (c i ) x i f ( x )dx
0
i 1
a
sin xdx cos x cos ( cos 0)
1 ( 1) 2
0
0

12. Свойства определенного интеграла

a
b
b
a
a
Cf ( x )dx C f ( x )dx
f ( x )dx 0
a
b
b
b
a
a
a
f ( x ) ( x ) dx f ( x )dx ( x )dx
b
a
a
b
f ( x )dx f ( x )dx
Если функция f интегрируема на каждом из отрезков [a, c] и
[c, b] ( a < c < b), то она интегрируема на [a, b] и
b
c
b
a
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx

13. Свойства определенного интеграла

Теорема о среднем
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] то существует
b
точка c [a; b] такая, что
f ( x )dx f (c )(b a)
a
Это свойство имеет при f(x) > 0 следующий геометрический смысл:
b
Значение определенного интеграла S
y
равно при некотором c [a; b]
S
0
a
с
b
f ( x )dx
a
площади прямоугольника с высотой f(c) и
x основанием b – a.
b
1
называется средним значением
Число: f (c )
f
(
x
)
dx
функции f(x) на отрезке [a, b] .
b a a

14. Свойства определенного интеграла

Если функция f сохраняет знак на отрезке [a, b] то интеграл
на этом отрезке имеет тот же знак, что и функция:
b
f (x) 0
f ( x )dx 0
a
Оценка интеграла: если m и М – соответственно наименьшее и
наибольшее значения функции f(х) на отрезке [a, b] то :
b
m(b a)
M (b a )
a
y
S
М
m
0
f ( x )dx
a
b
x
Площадь криволинейной трапеции
заключена между площадями
прямоугольников, основания которых есть
отрезок [a, b] , а высоты равны m и М.

15. Свойства определенного интеграла

Производная определенного интеграла по переменному
верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой
переменная интегрирования заменена этим пределом:
x
f (t )dt
a
Доказательство:
f (x )
х
По формуле Ньютона – Лейбница:
x
f (t )dt
a
F ( x ) f ( x )
F ( x ) F (a )
х
х
Это означает также, что определенный интеграл с переменным
верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной
функции.

16. Замена переменной в определенном интеграле

b
Пусть для вычисления интеграла
f ( x )dx от непрерывной
a
функции сделана подстановка: x (t )
Теорема
Если:
1) Функция x = φ(t) и ее производная непрерывны при t [ ; ];
2) Множеством значений функции x = φ(t) при t [ ; ]
является отрезок [a; b] ;
3) ( ) a; ( ) b, то
b
f ( x )dx f ( (t )) (t )dt
a
Замечания: 1) при вычислении определенного интеграла методом
подстановки возвращаться к старой переменной не нужно.
2) Иногда вместо подстановки x = φ(t) применяют подстановку
t = q(x)

17. Замена переменной в определенном интеграле

x 2 sint
dx 2 cos t dt
2
2
2
x
4
x
dx
x 0 2 sint 0 t 0
0
x 2 2 sin t 2 t
2
2
2
4 sin2 t 4 4 sin2 t 2 cos t dt 16 sin2 t cos2 t dt
0
0
2
1
4 sin2 2t dt 2 1 cos 4t dt 2t sin 4t
2
0
0
0
1
1
sin 2 0 sin 0
2
2
2
2

18. Интегрирование по частям

Теорема
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [a; b] , то имеет место формула:
b
b
udv u v vdu
b
a
a
a
u ln x
dx
x
ln
xdx
1
du
x
dv xdx x 2 ln x e e x 2 dx
x2
v
2 1 1 2 x
2
e
2
2
2
e
e ln e 1 ln 1 x
e2 e2 1
2
2
4 1
2
4 4