Определенный интеграл
Элементы интегрального исчисления
Определенный интеграл, его свойства и вычисление
Понятие определенного интеграла
Геометрическое изображение определения
Определение интегральной суммы
Определение определенного интеграла
Геометрический смысл определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Теорема о среднем значении функции
Формула Ньютона-Лейбница.
Методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Замена переменной
Интегрирование по частям
Вспомогательная таблица для интегрирования по частям
Основные приложения определенного интеграла.
264.59K
Category: mathematicsmathematics

Определенный интеграл

1. Определенный интеграл

2. Элементы интегрального исчисления

1.Определение определенного
интеграла
2.Основные свойства определенного
интеграла
3.Формула Ньютона-Лейбница
4.Методы интегрирования
5.Геометрические приложения
определенного интеграла
6.Несобственные интегралы.

3. Определенный интеграл, его свойства и вычисление

4. Понятие определенного интеграла

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную
и ограниченную на отрезке [a,b]. Разобьем
[a,b] на n элементарных отрезков ∆xi
произвольной длины, возьмем на каждом
отрезке ∆xi произвольную точку ci и
вычислим значение функции f(ci) в этих
точках.

5. Геометрическое изображение определения

6. Определение интегральной суммы

Интегральной суммой для функции y=f(x)
на отрезке [a,b] называется сумма
произведений длин элементарных
отрезков ∆xi на значения функции f(ci) в
произвольных точках этих отрезков
n
S n f ( с i ) x i
i 1

7. Определение определенного интеграла

Определенным интегралом от функции f(x) на
отрезке [a,b] называется предел (если он
существует) интегральной суммы для функции f(x)
на отрезке [a,b], не зависящий от способа
разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ci,
найденный при условии, что длины
элементарных отрезков (включая и
максимальный ∆xmax) стремятся к нулю.
b
f ( x)dx lim
a
Sn
max{ xi } 0
n
lim f (сi ) xi
max{ x i } 0 i 1

8. Геометрический смысл определенного интеграла

9. Основные свойства определенного интеграла

10
Величина определенного интеграла не зависит от
обозначения
переменной
интегрирования
(инвариантность):
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt
20
При
перестановке
пределов
определенный интеграл меняет
обратный (перестановочность):
a
интегрирования
свой знак на
b
a
f ( x)dx 0
a
b
a
f ( x)dx f ( x)dx

10. Основные свойства определенного интеграла

30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное
число частичных промежутков, то определенный
интеграл, взятый по промежутку [a,b], равен сумме
определенных интегралов, взятых по всем его частичным
промежуткам (аддитивность):
a, b a, c c, b
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

11. Основные свойства определенного интеграла

40 Определенный интеграл от
алгебраической суммы конечного числа
непрерывных функций равен такой же
алгебраической сумме определенных
интегралов от этих функций (линейность):
k
f
x
dx
k
f
x
dx
a i 1 i i i 1 i a i
b
n
n
b

12. Основные свойства определенного интеграла

50. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке
интегрирования сохраняет постоянный знак, то
определенный интеграл представляет собой
число того же знака, что и функция, при условии
b>a (монотонность):
b
если sgn(f(x))=const, то и sgn
f ( x)dx
= sgn(f(x)).
a
60. Модуль интеграла функции не превосходит интеграл
от модуля функции (неравенство по модулю)
b
b
f ( x)dx
a
a
f ( x) dx

13. Основные свойства определенного интеграла

70. Определенный интеграл от непрерывной
функции равен произведению значения
этой функции в некоторой промежуточной
точке x=c отрезка интегрирования [a,b] на
длину отрезка b-a (теорема о среднем
значении функции):
b
f ( x)dx f (c)(b a)
a
b
1
f (c )
f ( x)dx
b a a
Значение f(c) называется средним
значением функции на отрезке [a,b]

14. Теорема о среднем значении функции

15. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл равен разности
значений первообразной подынтегральной
функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.

16. Методы интегрирования

17. Непосредственное интегрирование

.
Непосредственное интегрирование
Этот способ основан на использовании свойств
определенного интеграла, приведении
подынтегрального выражения к табличной форме
путем тождественных преобразований и
применении формулы Ньютона-Лейбница.
2
Вычислить определенный интеграл:
1 x dx
0
0
2
( x 1) 2
( x 1) 2
1
1
x
dx
(
1
x
)
dx
(
x
1
)
dx
(
x
1
)
dx
(
x
1
)
dx
(1 1) 1
0
0
1
1
1
2 1
2 1 2
2
1
2
0
2

18. Замена переменной

.
Вычислить
2
0
dx
4 x

19. Интегрирование по частям

b
b
udv
(
uv
)
vdu
b
a
.
a
a
2
Вычислить
ln
xdx
1
2
2
1
1
dx
2
2
ln
xdx
x
ln
x
x
2
ln
2
ln
1
x
1
1
x
2 ln 2 (2 1) 2 ln 2 1

20. Вспомогательная таблица для интегрирования по частям

21. Основные приложения определенного интеграла.

Площадь плоской фигуры
b
c
b
S f
( x) f
( x) dx f ( x) f ( x) dx f ( x) f ( x) dx
ниж
1
2
2
1
верх
a
a
c
English     Русский Rules