Интегральное исчисление
Определенный интеграл.
Определенный интеграл
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл.
Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования.
Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
Связь определенного и неопределенного интегралов
Первое доказательство.
Второе доказательство.
Формула Ньютона-Лейбница.
762.50K
Category: mathematicsmathematics

Интегральное исчисление. Определенный интеграл

1. Интегральное исчисление

Определенный интеграл

2. Определенный интеграл.

Определение.
Криволинейной трапецией называется фигура
на плоскости, ограниченная сверху графиком
функции y f (x) , снизу отрезком a , b OX ,
с боков вертикальными прямыми x a и x b .
y
o
y f (x)
a
b
x

3. Определенный интеграл

Частные случаи криволинейной трапеции.
у
у
y f (x)
y f (x)
0
b
a
0
х
у
y f (x)
0
a
b
х
a
b
х

4. Определенный интеграл.

Задача о площади
криволинейной трапеции.
y
o
f ( Pi )
y f (x)
x0 a
x1 x 2 x3
xi xi 1
xn b
x
Si S f ( Pi ) xi
S f ( P ) x
n
S
xi Pi xi 1
n
i
i 1
i
i 1
i

5. Определенный интеграл.

Определение.
f (P ) x
n
Выражение
i
i
i 1
называется интегральной суммой.
Рассматриваем всевозможные разбиения
криволинейной трапеции на части такие,
что max( x ) 0
i
Составляем интегральные суммы
и переходим к пределу при 0
f (P ) x
n
Sтрапеции lim
0
i
i 1
i

6. Определенный интеграл.

Определение.
Определенным интегралом
от функции
по отрезку
f (x)
называется предел интегральных сумм
n
f (P ) x
i
i
i 1
когда наибольший из участков разбиения
стремится к нулю:
b
a
a, b
max( xi )
f (P ) x
n
f ( x) d x lim
0
i
i
i 1
Геометрический смысл.
f ( x) 0 на a , b
b
a
f ( x)dx S трапеции

7. Определенный интеграл.

Когда существует предел?
Когда предел не зависит от способа разбиений?
Теорема..
Если f (x ) непрерывна на
то она интегрируема
[ a, b] ,
(то есть существует предел интегральных сумм
и он не зависит от способа разбиений )

8. Определенный интеграл.

Свойства.
1. Линейность.
b
b
( f ( x) g ( x))dx
a
b
a
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
a
b
.
(k1 f ( x) k 2 g ( x))dx
a
b
Cf ( x)dx C
b
f ( x)dx
a
( C const 0 )
k1
a
b
f ( x)dx k 2 g ( x)dx
a
( k1 , k 2 const 0 )

9. Определенный интеграл.

Доказательство свойства (для суммы).
1. Возьмем разбиение
P1 , P2 ,..., Pn
2. Составим интегральную сумму: ( f ( Pi ) g ( Pi )) xi
n
i 1
n
3.
n
n
( f ( P ) g ( P )) x f ( P ) x g ( P ) x
i 1
x0 a x1 ... xn b
на n частей:
и выберем в каждой части точку:
[ a, b]
i
i
i
i
i 1
i
i 1
i
i
[ a, b]
4. Рассматриваем всевозможные разбиения
на части такие,
что все xi уменьшаются , составляем интегральные суммы
и переходим к пределу при max( xi ) 0
n
n
lim
0
( f ( P ) g ( P )) x
i 1
то есть
i
i
i
lim
0
n
f ( P ) x lim
g ( P ) x
i 1
i
i
b
b
b
a
a
a
0
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
i 1
i
i

10. Определенный интеграл.

2. Перестановка пределов интегрирования.
b
a
a
3. Аддитивность.
Пусть
тогда
f ( x)dx f ( x)dx
b
a , b a , c c, b
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

11. Определенный интеграл.

4. О знаке интеграла.
a) f ( x) 0 на a , b
b
f ( x)dx 0
a
b) f ( x) 0 на a , b
b
a
c) f ( x) g ( x) на a , b
f ( x)dx 0
b
a
b
f ( x)dx
g ( x)dx
a
Доказать свойства
самостоятельно

12. Определенный интеграл.

Теорема (об оценке).
m f ( x) M
x [a, b]
y
b
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
y f (x)
Геометрический смысл.
Если
f ( x ) 0 , x [ a, b]
M
, то
S m S трапеции S M
m
0
a
b
x

13. Определенный интеграл.

Доказательство.
1.
f ( x) m 0 x [a, b]
b
( f ( x) m)dx 0
a
b
b
a
a
f ( x)dx m dx 0
b
f ( x)dx m(b a)
a
b
2. Аналогично:
M f ( x) 0 M (b a) f ( x)dx
a

14. Определенный интеграл.

Определение.
Средним значением функции
f (x) на [ a, b]
b
f ср.
называется число
Теорема (о среднем).
f ( x)dx
a
b a
f ( x) непрерывна на [a, b]
P0 [a, b] : f ( P0 ) f ср.
b
a
f ( x)dx f ( P0 )(b a )

15. Определенный интеграл.

Геометрический смысл.
b
f ( x)dx f ( P )(b a)
0
a
у
y f (x)
f ( P0 )
0
Если
a
P0
f ( x ) 0 , x [ a, b]
b
, то
х
S трапеции S P0

16. Определенный интеграл.

Доказательство.
1. Из непрерывности
m f ( x) M
f (x)
где
x [a, b]
m min f ( x) , M max f ( x)
[ a ,b ]
[ a ,b ]
b
2. Из теоремы об оценке
m(b a) f ( x)dx M (b a)
a
b
1
m
f ( x)dx M
b a a
m f ср. M
3. Из непрерывности
f (x)
P0 [a, b] : f ( P0 ) f ср.

17. Определенный интеграл.

Объем тела с известной площадью поперечных сечений.
a
x
b
S S ( x ) ; x [ a, b]
x
b
V S ( x)dx
a
Доказать самостоятельно.

18. Определенный интеграл.

Следствие: объем тела вращения.
y f (x)
y
b
a
x
x
b
S r ( f ( x)) ; x [a, b]
2
2
V ( f ( x)) dx
2
a

19. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования.

t
f ( x)dx (t ) , где
Рассмотрим
a
( t – переменная).
t [ a , b]
Теорема (Барроу).
Если f (x ) - непрерывная на
[ a, b]
t
то
(t ) f ( x)dx
- дифференцируемая
a
a
t
и
f ( x)dx f (t )

20. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

Следствие.
t
(t ) f ( x)dx
- первообразная для
f (t )
a
Доказательство теоремы Барроу.
1. Возьмем t , t1 [a, b] : t1 t t
t1
(t1 ) (t ) f ( x)dx
t
t
1 1
f ( x)dx f ( P0 ) где P0 [t , t1 ]
t t t
4. t 0 P t
(t ) lim
f (t )
0
t 0 t
2. Тогда

21. Связь определенного и неопределенного интегралов

Формула Ньютона - Лейбница.
f (x)
Пусть
- непрерывная на
F (x) - первообразная для f (x)
a , b ;
Тогда
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
b
a
b
f ( x) dx F ( x) a
F ( x) a F (b) F (a)
b

22. Первое доказательство.

1. Возьмем разбиение
2.
[ a, b] :
a x0 , x1 , x2 ,..., xn b ; xi xi xi 1.
F (b) F (a)
( F ( xn ) F ( xn 1 )) ( F ( xn 1 ) F ( xn 2 )) ... ( F ( x1 ) F ( x0 ))
n
( F ( xi ) F ( xi 1 ))
i 1
3. По теореме Лагранжа
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( Pi ) xi f ( Pi ) xi
n
F (b) F (a) f ( Pi ) xi
i 1
4. Рассматриваем всевозможные разбиения [ a , b ] на части такие, что все
уменьшаются, составляем интегральные суммы и переходим к пределу при
lim ( F (b) F (a)) lim
0
0
n
f ( P ) x
i 1
i
i
b
xi
max( xi ) 0
F (b) F (a) f ( x)dx
a

23. Второе доказательство.

Пусть
Тогда
F (x)
- какая-либо первообразная для
x
( x) f (t )dt
f (x) .
- также первообразная для
f (x)
a
( x) F ( x) C
При х=a
a
(a ) f (t )dt 0
a
0 F (a ) C
b
При х=b
C F (a)
(b) f (t )dt F (b) F (a)
a

24. Формула Ньютона-Лейбница.

Примеры.
4 2
2
x
1.
1 x dx 4
3
1
4
4
2 1
3
3
4 4
4
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
b
b
b
udv uv vdu
a
a
Пример:
1
1
a
xe dx xde
x
0
0
x
xe
x1
0
1
e dx e e
x
0
x1
0
e e 1 1
English     Русский Rules