Определенный интеграл: основные понятия

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Математический анализ»,
часть 11
Оренбург 2017

2. Определенный интеграл: основные понятия

3. Определенный интеграл: основные понятия

4. Определенный интеграл: основные понятия

Y
y=f(x)
C
B
0 A
D
a
n
S ABCD f i xi
i 1
n
S ABCD lim f i xi
d 0 i 1
b
X

5.

Определенный интеграл: основные понятия
b
n
a
i 1
f i xi
f x dx dlim
0

6.

Определенный интеграл: основные понятия
Y
y=f(x)
C
B
0 A
D
a
b
X

7.

Определенный интеграл: основные понятия
Решение. 1 способ (по определению)
xi
i
i
xi , i 1, n
n
i
, i 0,1,...,n
n
xi xi xi 1
i i 1 1
, i 1, n
n
n
n
d 0 xi 0, i 1,n n
i 1
1 n
1
lim f i xi lim lim 2 i lim 2 1 2 ... n
d 0 i 1
d 0 i 1 n n d 0 n i 1
n n
n
n
1 n
1 1 n
1 1 1
lim 2
n lim
lim .
n n
2
n 2 n n 2 n 2 2
2 способ (на основании геометрического смысла).
1
xdx S ОАВ
0
1
1
1 1
2
2

8.

Определенный интеграл: простейшие свойства
Доказательство. 2)
b
b
n
n
a
a
i 1
i 1
f i xi f i 1 lim xi lim b a b a.
dx f x dx dlim
0
d 0
d 0

9.

Определенный интеграл: простейшие свойства
Доказательство. 3)
n
n
i 1
i 1
I Cf xi , i Cf i xi C f i xi C I f xi , i
n
n
b
lim Cf i xi C f x dx
f x I a ,b lim f i xi f x dx
d 0 i 1
b
d 0 i 1
a
b
b
a
a
Cf x dx C f x dx
Доказательство. 4) Проведите самостоятельно.
a

10.

Определенный интеграл: теоремы об оценках
Доказательство.
n
I f xi , i f i xi 0
i 1
.
b
n
f x I a ,b lim f i xi f x dx
d 0 i 1
Доказательство.
x g x f x
b
b
b
a
a
a
x dx g x dx f x dx;
a
b
f x dx 0
a
x I a ,b x 0, x a;b
b
b
b
g x dx f x dx 0,
a
a
a
x dx 0;

11.

Определенный интеграл: теорема о среднем
Доказательство.
m f x M , x a ,b
b
b
m b a f x dx M b a ,
m
a
b
a;b :
f
a
f x dx
b a
f x dx
a
b a
b
,
M.
f x dx f b a
a

12.

Определенный интеграл: геометрический смысл теоремы о среднем
Y
y=f(x) )
K
C
L
B
А
D
a
b
Х

13.

Определенный интеграл:
свойства

14. Интеграл с переменным верхним пределом

x a;b f x I a; x ,
x
f ( t )dt
a
x
F x f t dt , x a;b
a
Доказательства теорем 7 и 8 изучите самостоятельно.

15. Правила вычисления определенных интегралов: формула Ньютона-Лейбница

Доказательство.
C R : x F x C , x a;b ,
.
.
x
x f t dt C , x a; b
a
x
x f t a , x a; b
a
b
f t dt b a
a

16.

Правила вычисления определенных интегралов:
формула Ньютона-Лейбница, примеры
Решение.
2
x
x ,
2
Решение.
1
x2
xdx 2
0
1
x ,
x
2
1
0
1
1
x2 dx x
1
1
1
0 .
2
2
2
1
3
1 .
2
2
1

17. Правила вычисления определенных интегралов: метод интегрирования по частям

Доказательство.
f x g x f x g x f x g x ,
b
x a;b ,
b
f x g x f x g x dx f x g x a
a
.
b
b
b
a
a
a
f x g x f x g x dx f x g x dx f x g x dx.
b
b
a
a
b
f x g x dx f x g x dx f x g x a ,
b
b
b
f x g x dx f x g x a f x g x dx.
a
a

18.

Правила вычисления определенных интегралов:
метод интегрирования по частям, примеры
u ln x
2
Решение.
ln xdx v x
1
2
2
x ln x x d ln x
1 1
2
2
1
2
2 ln 2 1ln1 x dx 2 ln 2 dx 2 ln 2 x 2 ln 2 1
1
x
1
1
Решение.
2
2
0
0
x sin xdx xd cos x
2
2
x cos x 2 cos x dx cos 0 cos 0 cos xdx sin x 2 sin sin 0 1
2
2
2
0
0 0
0

19.

Правила вычисления определенных интегралов:
метод интегрирования по частям, примеры
Решение.
1
0
1 2x
2
2
1 x dx x 1 x xd 1 x x
0 0
2 1 x2
0
21
1
0
.
1
0
1 x
2
1 x2
dx
1
0
1
1
1
x2
dx
dx
2
0 1 x
x2 1
1
dx
2
1 x2
1 x2
0 1 x
1
x2 1 1
.
1
1
0
2
dx 1 x dx arcsin x
2
1 x2
1
1
dx
0
1
1 x dx 1 x 2 dx
0
0
2
1
0
1 x 2 dx .
4
2
,
1
1 x 2 dx
0

20.

Правила вычисления определенных интегралов: метод замены
переменной
Доказательство.
.
b
f x dx b a .
a
Ф t
Ф t t f t t ,t ; ;
f t t dt Ф t b Ф a ,
b
a
f x dx f t t dt

21.

Правила вычисления определенных интегралов:
метод замены переменной, примеры
x t sin t , t 0;
2
Решение.
1
0
2
2
2
1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos t cos tdt
2
2
0
2
0
0
2
1 cos 2t
1 1
2
dt t sin 2t .
2
2 4
0 4
0
2
cos 2 tdt
0

22.

Правила вычисления определенных интегралов:
метод замены переменной, следствия
Доказательство.
a
0
a
a
a
0
x t t ,
f x dx f x dx f x dx
f t f t ,t a; a
0
0
0
0
a
a
a
a
a
0
f x dx f t 1 dt f t dt f t dt f t dt ,
a
a
0
0
f t dt f x dx,
a
a
a
a
a
0
0
0
f x dx f x dx f x dx 2 f x dx.
Решение.
1
1
1
1
0
0
x dx 2 x dx 2 xdx 2
21
x
2
0
1.

23.

Правила вычисления определенных интегралов:
метод замены переменной, следствия
Доказательство. Проведите самостоятельно.
Решение.
1
x 2 arcsin x
1
1 x
2
dx 0.
Решение.
x 7 x5 x 1
x7 x5 x
1
dx
dx
dx
2
2
2
x 2
x 2
2
2
2 x 2
2
2
0 2
0
2
2
1
1
x
dx
2
arctg
2
arctg
1
arctg
0
2
.
2
4 2 2
2
20
x 2
2

24. Правила вычисления определенных интегралов: метод замены переменной, следствия

Доказательство.
f t T f t , t R ,
0
a
0
T
a T
a
a
0
T
f x dx f x dx f x dx f x dx, a R.
x T t t ,
a
a T
0
f t dt f x dx f ( x )dx,
0
a
T a
a
a
T
0
0
a T
0
T
0
T
a
a
0
a
0
f x dx f T t dt f t dt ,
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
4
sin
Решение.
2
0
2
3
xdx
2
sin
0
4
3
2
xdx sin 3 xdx
2
3
3
3
3
2
sin
xdx
2
sin
sin
xdx
sin
xdx
xdx 0.
0
0
0

25. Список использованных источников

1 http://www.pm298.ru/opredelen3.php