Формули скороченого множення

1. Формули скороченого множення

Повторення

2. Множення різниці двох виразів на їх суму

( a – b )( a + b ) = a² – b²
Добуток різниці двох виразів та їх суми
дорівнює різниці квадратів цих виразів.
Приклади: a) (k – n)(k + n) = k² – n²;
b) (2х – 3у)(2х + 3у)=4x² – 9y².

3. Усні завдання

Вписати пропущені вирази, щоб отримати
правильну рівність:
(4a + 1)(4a – 1) = 16a² – …;
(2a – c)(2a + c) = … – c²;
(… + x)(… – x) = 4d² – …;
(a – c²)(a + c²) = … – c4;

4. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів

a² – b² = ( a – b )( a + b )
Різниця квадратів двох виразів дорівнює
добутку різниці цих виразів та їх суми.
Приклади: 1) 25x² – 9y² = (5х – 3у)(5х + 3у);
2) (х – 2)² - 36=(х – 2 – 6)(х – 2 + 6)=
= (х – 8)(х +4).

5. Усні завдання

Вписати пропущені вирази, щоб отримати
правильну рівність:
x² – m² = (x – m)(x + …);
a² – 9 = (a – 3)(… + 3);
b² – g4 = (… – g²)(b + …);
1 -16z² = (1 – …)(1 + 4z).

6. Квадрат суми двох виразів

( a + b )² = a² + 2ab + b²
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату
першого виразу плюс подвоєний добуток цих
виразів плюс квадрат другого виразу.
Приклади: a) (3 + a)² = 9 + 6a + a²;
b) (5x + 3y)² = 25x² + 30xy + 9y².

7. Квадрат різниці двох виразів

( a – b )² = a² – 2ab + b²
Квадрат різниці двох виразів дорівнює
квадрату першого виразу мінус
подвоєний добуток цих виразів плюс
квадрат другого виразу.
Приклади: a) (3 – a)² = 9 – 6a + a²;
b) (5x – 3y)² = 25x² – 30xy + 9y².

8. Куб суми двох виразів

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого
виразу плюс потроєний добуток квадрата першого
виразу і другого плюс потроєний добуток першого
виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу.
Приклади: 1) (2 + a)³ = 8 + 12a + 6a² + a³;
2) (x² + 3y)³ = x6 +9x4y +27x²y² +27y3.

9. Куб різниці двох виразів

( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого
виразу мінус потроєний добуток квадрата першого
виразу і другого плюс потроєний добуток першого
виразу і квадрата другого мінус куб другого виразу.
Приклади: 1) (2 - a)³ = 8 - 12a + 6a² - a³;
2) (x² - 3y)³ = x6 - 9x4y + 27x²y² - 27y3.

10. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці

a² + 2ab + b² = ( a + b )² ;
a² – 2ab + b² = ( a – b )² .
Приклади: 1) 9a² – 24ab + 16b² = (3a – 4b)²;
2) 0,25m² + 2mn + 4n² = (0,5m + 2n)².

11. Сума кубів двох виразів

a³ + b³ = ( a + b )(a² - ab + b²)
Сума кубів двох виразів дорівнює
добутку суми цих виразів і неповного
квадрата їх різниці.
Приклади: 1) a³ + 64 =(a + 4)(a² - 4a + 16);
2) 27m³ + 125n³ =(3m + 5n)(9m²-15mn+25n²).

12. Різниця кубів двох виразів

a³ - b³ = ( a - b )(a² + ab + b²)
Різниця кубів двох виразів дорівнює
добутку різниці цих виразів і неповного
квадрата їх суми.
Приклади: 1) a³ – 64 =(a – 4)(a² + 4a + 16);
2) 27m³–125n³=(3m–5n)(9m²+15mn+
+25n²).

13.

Спростити вираз:
(х – 3)2 – (х – 1)(х – 4) + (х – 2) (х + 2)

14.

.
Спростити вираз та знайти його значення:
1
(а + 3) (а – 6) + (9 – 5а ) (а + 1), якщо а = - 2
4

15.

Розв’яжіть рівняння:
(2х – 3) (2х + 3) = 4х (х +1) – 1.

16.

Розв’яжіть рівняння:
3х 2 2 х 1 5 х
8
3
6

17.

Задача. В одному магазині було 195 кг печива, а в другому – 162 кг.
Перший магазин продавав щодня по 15 кг, а другий - по 18 кг. Через
скільки днів у другому магазині залишиться печива в 1,5 рази менше,
ніж у першому?

18.

19. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки

ab + ac = a(b + c)
Алгоритм
Розкласти кожен член многочлена на множники
так, щоб серед них був спільний множник.
2. Застосувати розподільний закон множення
відносно алгебраїчної суми: виділений спільний
множник помножити на суму множників, які
залишилися, записавши її в дужках.
1.
Приклади:
1) 4a + 12 = 4(a +3);
2) 12x³y – 18x²y² = 6x²y(2x – 3y);
3) 5b(a – c) + 7(a – c) = (a – c)(5b + 7).

20. Розкладання многочленів на множники способом групування

ax + ay + bx + by = a(х+y) + b(x+y) =
= (x + y)(a + b)
Алгоритм
1. Об'єднати члени многочлена в такі групи,
які мають спільний множник у вигляді
многочлена.
2. Винести цей спільний множник за дужки.
Приклади:
1) 6m – 6n + am – an = 6(m – n) +
+ a(m – n) = (m – n)(6 + a);
2) 3a²c + 6a² – 10bc – 5bc² = 3a²(c +2) –
–5bc(2 + c) = (c +2)(3a² – 5bc).

21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

Алгоритм
1. Винести спільний множник (якщо він є) за дужки.
2. Спробувати розкласти многочлен на множники за
допомогою формул скороченого множення.
3. Застосувати спосіб групування (якщо попередні
способи не привели до мети).

22. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

Приклади:
1. 7a²b² – 7b4 = 7b²(a² – b²) =
= 7b²(a – b)(a + b);
2. 6ac – 9c – 24abc + 36bc =
= 3c(2a – 3 – 8ab +12b) =
= 3c((2a–3) – 4b(2a–3)) =
= 3c(2a–3)(1–4b);

23. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

3. x² – 6x – 16 = x² – 6x + 9 – 9 –16 =
= (x – 3)² – 25 = (x–3–5)(x–3+5) =
= (x – 8)(x + 2);
4. x² – 2xy + y² – z² = (x–y)² – z² =
= (x – y – z)(x – y + z).

24.

25. Домашнє завдання

Повторити теоретичний матеріал та виконайте
завдання в зошиті:
1. Розв’яжіть рівняння:
1) 4 (2х – 1) – 3х = 5х – 4
2) (3х – 2)(3х + 2) = 9х (х – 1) + 5.
5х 2 2 х 1 4 х
3)
3
5
4
2. Спростити вираз:
(х + 5)2 – (х – 4)(х + 4) + (х – 3)(х + 7).
3. Спростити вираз та знайти його значення :
3
(2х – 3) (х – 1) + (х + 3) (3х + 1), если х = 5
4. В одному баку було 700л води, а в другому – 540л.Щохвилини з
першого бака виливається 25л, та якщо з другого – 30л. Через скільки
хвилин у другому баку води залишиться у 2,5 рази менше, ніж у
першому?