Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Основные формулы дифференцирования. Лекция № 4

1.

Лекция № 4.
Производная функции, ее
геометрический и
механический смысл.
Основные формулы
дифференцирования.

2.

Содержание

3.

2.1 Производная функции по ее аргументу.
Задача 3. Для произвольной функции y = f(x), непрерывной в рассматриваемой
области существования, найти аналитическое выражение предела
отношения ее приращения к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к нулю для любой точки М(х,у)у.
Решение: Пусть имеем функцию y = f(x) с графиком, изображенном на рисунке
24. Возьмем на графике заданной функции любую точку М, т.к. она любая,
т.е. текущая, то ей будет соответствовать абсцисса, равная аргументу х и
ордината у, равная f(x). Дадим аргументу х какое-нибудь приращение х, т.е.
получим новый аргумент х + х. Ему будет соответствовать новое значение
у(х + х) = f(x + x). Разность между полученным в результате приращения
аргумента значением функции f(x + x) и значением функции от аргумента
без этого приращения f(x) называется приращением функции — у, т.е.(28)
Теперь решим задачу 3 до конца. С учетом рассуждений
в задачах 1 и 2 и равенства (28) получим:

4.

(29)
В математике равенство (29) называют аналитическим выражением 1-й
производной функции у по ее аргументу х или
проще — производной от у по х.
Коротко производную обозначают:
читают: игрек штрих по икс или проще — игрек штрих.
По предложению немецкого математика Г.Лейбница (1646-1716)
(30)
читают: дэ игрек по дэ икс, где d — первая буква слова дифференциал —
differencial — разделитель.
Итак, аналитическое выражение производной (29) читается:
первой производной функции по своему аргументу называют
отношение приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.

5.

2.2 Дифференцирование
функции.
Найдем производную функции у = 3х + 5. По (29) с учетом (28)
будем иметь:
т.е
для функции у = 3х + 5 ее производная y' = 3.
Сам процесс нахождения производной, т.е. определение
приращения функции, деление его на приращение аргумента и
нахождение предела полученного отношения называется
математической операцией — дифференцированием.
По формуле (30) будем иметь:
т.к.
Т.е.

6.

2.3 Основные правила дифференцирования
1. (const)' = c' = 0.
Производная любого постоянного числа равна нулю.
Примеры: (5)' = 0; (–8)' = 0; (232)' = 0.
2. (х)' = 1.
Производная аргумента равна 1.
3. (c u)' = c u'.
Постоянное число можно выносить за знак производной.
Пример: (5 х)' = 5 x' = 5 1 = 5.
4. (u + v )' = u' + v'
Производная алгебраической суммы любого числа слагаемых равна этой же
алгебраической сумме производных слагаемых.
Примеры: (3x – 8)' = (3x)' – (8)' = 3 1 -– 0 = 3; (kx + b)' = k.
5. Если а , то — сложная функция и [u(v(x))]’=u’v
6. (un)' = n un–1 , где u — любая функция. Если u = x, то (xn)' = n x n–1.
Примеры: (х8)' = 8 x7; (x–3)' = –3 x–4;
((2x2 – 3x + 4)3)' = 3 (2x2 – 3x + 4)2 (4x – 3).

7.

7.
при u>0.
Примеры:
8. (sin u)' = u' cos u .
Если u = x, то (sin x)' = cos x .
Примеры: (3 sin x – 4x2)' = 3 cos x – 8x;
[sin(5x2 – 4)]' = (5x2 – 4)' cos (5x2 – 4) = 10 x cos(5x2 – 4).
9. (cos u)' = – u' sin u.
Если u = x, то (cos x)' = – sin x.
Примеры: (2 sin x – 4 cos x)' = (2 sin x)' – (4 cos x)' = 2 cos x + 4 sin x;
[cos (– x3 + 8)]' = – (– x3 + 8)' sin (– x3 + 8) = 3 x2 sin (– x3 + 8).
10. (u v)' = u' v + v' u .
Примеры: (3x2 sin x)' = (3x2)' sin x + 3x2 (sin x)' = 6x sin x + 3x2 cos x;
(sin 5x cos2x)' = (sin 5x)' cos2x + sin 5x (cos2х)' =
= 5 sin 5x cos2x – 2 cos x sin x sin 5x.

8.

11.
Примеры:
12. (ex)' = ex
13.
т.е

9.

2.4 Механический смысл производной.
Задача 1. Определить в момент времени t1 скорость прямолинейно движущейся
точки М, если в каждый момент времени известно расстояние S от точки О,
лежащей на линии движения, т.е известен закон изменения расстояния со
временем в виде:
S = S(t). (20)
Решение: В момент времени t1 точка находится на расстоянии S1 = S(t1), а в
любой момент t2 > t1 на расстоянии S2 = S(t2) > S1,
( рис. 23)
Общеизвестно, что средняя скорость Vср точки на отрезке М1М2 = S2 – S1 будет
(21)
Обозначив S2 – S1 = ∆S — приращение пути и t1 – t2 = ∆t — приращение времени
( ∆— греческая буква дельта выражает слово "приращение"), получим
(22)

10.

т.е. средняя скорость прямолинейно движущейся точки всегда равна
отношению приращения пути к своему приращению времени.
Аналогично рассуждая, мы к этому же заключению придем и для случая
t2 < t1, т.е. S2 < S1. Для того, чтобы определить скорость в момент
времени t1, т.е. V = V(t1) — мгновенную скорость, будем
неограниченно уменьшать t за счет стремления t2 к t1, т.е. t1 t2, что
тоже самое, сделаем t бесконечно малой величиной. Очевидно, что
тогда S2 будет стремиться к S1 и Vср будет стремиться к V, т.е. при t
0, S2 S1 и Vcp V.
Все это на языке пределов можно выразить следующим образом:
или
(23)
т.к. моменты времени t1 и t2 выбраны произвольно, то формулу (23)
словами можно выразить так: мгновенная скорость прямолинейно
движущейся точки в любой момент времени есть предел отношения
приращения пути к своему приращению времени, стремящемуся к
нулю.

11.

Задача 2. Определить момент времени t1 ускорение прямолинейно движущейся
точки М, если в каждый момент известна скорость V этой точки, т.е. известна
функция V = V(t). (24)
Решение: Пусть в момент времени t1 точка движется со скоростью V1 = V(t1) и в
любой момент времени t2 — со скоростью V2 = V(t2). Общеизвестно, что
среднее ускорение прямолинейно движущейся точки будет
(25)
Обозначив V2 – V1 = V — приращение скорости и t2 – t1 = t — приращение
времени, получим:
(26)
т.е. среднее ускорение прямолинейно движущейся точки всегда равно
отношению приращения скорости к приращению времени, за которое это
приращение скорости получено. Для того, чтобы определить ускорение в
любой момент времени t1, т.е. а = а(t1) — мгновенное ускорение, будем
неограниченно уменьшать t за счет стремления t2 к t1, т.е. t2 t1, что тоже
самое, сделаем t бесконечно малой величиной. Очевидно, что тогда V2
будет стремиться к V1 и будет стремиться к а, т.е. t0, V2V1 и асра. Все это на
языке пределов можно выразить следующим образом:
или
(27)

12.

т.к. момент времени t1 и t2 выбраны произвольно, то формулу (27) словами можно выразить так:
мгновенное ускорение прямолинейно движущейся точки в любой момент времени есть предел
отношения скорости к своему приращению времени, стремящемуся к нулю.
Сравнивая аналогичные выражения (23) и (27) и их словесный смысл, можно видеть их схожесть.
Т.к. S = S(t) и V = V(t) есть функции своего аргумента t, то в общих случаях мы приходим к пределам
отношений приращений функций к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к
нулю. Установив это, рассмотрим задачи 1 и 2 с общих позиций для любой функции, могущей быть и
скоростью, и ускорением, и чем угодно еще. В задаче 1 мы получили
Теперь мы можем сказать, что это производная от пути по времени, т.е.
V = S' (t) (31) Аналогично из задачи 2 имеем: a = V '(t)
С учетом (31) ускорение можно записать в виде:
С позиции механики мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть первая
производная от пути по времени, а мгновенное ее ускорение есть первая производная от скорости
по времени или вторая производная от пути по времени.
Пример 1. Найти скорость спринтера через 2 с после старта, если его путь изменяется по формуле:
Решение:
(м/с), т.е. на 2-й секунде бега спринтер имеет скорость 2,5 м/с.
Пример 2. По условию примера 1 найти ускорение спринтера в начале бега, т.е. при t0 = 0.
Решение:
(м/с2), т.е. в начале бега спринтер имел ускорение 2,25 м/с2

13.

2.5 Геометрический смысл производной.
Пусть в точке М (x; f(x)) кривой y = f(x) существует касательная КТ к данной
кривой (рис.25). Дадим аргументу х приращение х и отметим на кривой точку
М1 (x + x; f(x + x)). Проведем секущую ММ1 и обозначим через 1 величину
угла, образованного секущей с положительным направлением оси ОХ. Из
треугольника ММ1А (прямоугольного) следует, что отношение Если точка М1
будет перемещаться вдоль кривой, приближаясь к точке М, то x0. При этом
секущая ММ1 и величина 1 меняются с изменением х. Предельным
положением секущей при х0 будет прямая КТ — касательная к кривой в точке
М, образующая с положительным направлением оси ОХ некоторый угол, его
величину обозначим через.
Так как то т.е. y' (M) = tg . (31)
Итак, с позиции геометрии производная функции у в заданной ее точке М
есть тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке М, с
положительным направлением оси ОХ.

14.

Задача 4. Найти уравнение касательной к параболе y = 3x2 – 4x +5 в
точке М1 с абсциссой х1 = 2.
Решение: Будем искать уравнение касательной в виде уравнения
прямой с угловым коэффициентом, т.е. y = kx + b. Из уравнения (8)
известно, что k есть тангенс угла наклона прямой к положительному
направлению оси ОХ, т.е. k = y'(M1). Так как М1 принадлежит и
касательной и параболе, то ее координаты удовлетворяют их
уравнениям. Подставив х1 = 2 в уравнение параболы, найдем
ординату у1 точки М1:
Значит М(2,9). Найдем y' = (3x2 – 4x + 5)' = 6x – 4. В точке М1
y'(x1) = 6x1 – 4 = 6 2 – 4 = 8. Значит k = 8. Подставив значение k = 8; х1 =
2; у1 = 9 в уравнение прямой, найдем b: 9 = 8 2 + b; b = – 7. Значит
касательная к параболе y = 3x2 – 4x + 5 в точке М1(2,9) будет иметь
уравнение y = 8x – 7.

15.

2.6 Примеры непосредственного дифференцирования функций.
Пример 4. Найдите производную функции
2x 1
Решение: 1. y x 1
Вычислите y'(2).
Решение
(2 x 1) ( x 1) ( x 1) (2 x 1) 2 ( x 1) 2 x 1 2 x 2 2 x 1
( x 1) 2
( x 1) 2
( x 1) 2
3
( x 1) 2
y
Упражнения для самостоятельного решения.
2. Пользуясь определением производной, найдите производные следующих
функций:
а) f(x) = 3x + 1 в точке х = 5;
д) y(x) = ax2 + bx + c в точке х = 3;
б) (х) = 4х2 – 1, найдите (2);
е) f(x) = в точке t = 1;
в) h(x) = 5x2 +3x +8 в точке х = – 4;
ж) h(x) = в точке х = 3;
г) g(t) = в точке t = 9;
з) f(x) = в точке х = 2.
3. Найдите производную функции f(x) = 4x2 + 1 и докажите, что
4f'(x) – f(2) = 15.
4. Найдите производную функции f(x) = 5x2 + 6x и докажите, что f(2) + 2f'(–2) = 4.

16.

2.7 Примеры дифференцирования по формулам.
Пример 1. Найдите производную функции f(x) = x2 + x – 7 . Вычислите f'(–1),
f'(0), f'(3).
Решение: f'(x) = (x2 + x – 7)' = (x2)' + x' – 7' = 2x + 1 – 0 = –2x + 1
f'(-1) = 2 (-1) +1 = -1
f'(0) = 2 0 +1 = 1
f'(3) = 2 3 + 1 = 7
Пример 2. Найдите производную функции f(x) = x3 (x - 1).
Решение: f'(x) = (x3(x – 1))' = (x3)'(x – 1) + x3(x – 1)' =
= 3x2 (x – 1) + x3 (1 – 0) = 3x3 - 3x2 + x3 = 4x3 – 3x2.
Пример 3. Найдите производную функции
а)
Решение: '(y) =
б)
Решение:

17.

2.8 Производная сложной функции.
Производная сложной функции y = f((x)) находится по формуле y' = f'((x)) '(x) или
y'x = y'u u'x, где u = (x).
Пример 1. Найдите производную функции y = (3x2 - 1)5.
Решение: Обозначим 3x2 - 1 = u, тогда y = u5.
Воспользуемся формулой y'x = y'u u'x.
Найдем: y'u = (u5)' = 5u4
u'x = (3x2 - 1)' = 6x, тогда y'x = 5 (3x2 - 1)4 6x = 30x (3x2 - 1)4.
Пример 2. Найдите производную: y = (x2 +3x + 1)5.
Решение: y'x = ((x2 + 3x + 1)5)' = 5(x2 + 3x + 1)4 (2x + 3).
Пример 3. Найдите производную:
Решение:
Пример 4. Найдите производную функции
Решение:

18.

2.9 Дифференциал функции и дифференциал аргумента.
По определению производной
и по определению предела получим:
(32)
где — бесконечно малая величина (БМВ) при х 0. Умножая обе части (32) на х, получим:
(33) где х при х 0 тоже БМВ.
Лейбниц предложил обозначить
(34) и назвать это дифференциалом
функции. Тогда,
если у = х, то
т.е.
(35)
Откуда дифференциал аргумента — dx — равен приращению аргумента — х. Учитывая
(35) и (33)
можно (34) представить в виде:
(36)или
(36’)
Пример. Найти дифференциал функции у=2х + sin x.
Решение: По формуле (36) получим:
Отсюда формулами для нахождения дифференциала будут формулы для нахождения
производной, где вместо знака производной перед функцией будет стоять символ d.
Например:
(37)
(38)
и т.д. (39)

19.

2.10 Геометрический смысл дифференциала функции.
Подставляя (36) в (33), получим:
(37)
Так как
= БМВ, предел которой равен нулю при х 0, то
На рис. 27 рассмотрим геометрический смысл выражения (37).
Из прямоугольного ММ1А с учетом (36) и (37)
получим:
(39)
(38)
С учетом (37) и (39) можно сказать, что дифференциал функции в конкретной точке
отличается от приращения функции в этой точке на бесконечно малую величину,
соответствующую отрезку между точками пересечения вертикальной проекцией
приращенного аргумента с графиком функции и с продолжением касательной,
проведенной к графику в рассматриваемой точке.
Пример 1. Определить приближенное значение
Решение: Рассмотрим функцию
По формуле (38):
пусть х=2,25 х= – 0,25 , тогда
Значит

20.

Пример 2. Найти абсолютную погрешность средней скорости спринтера
в створе двух фотолучевых установок (ФЛУ), отстоящих друг от друга
на расстоянии 5 м, если спринтер пробегает это расстояние за 0,422
с и ошибка в расстоянии за счет вертикальных колебаний тела
составляет 20 см, а время определено с ошибкой 0,002с.
Решение: По условию примера мы имеем:
(м);
(c). Скорость
(м/с.).
Дифференциал скорости согласно (41) будет:
м/с, т.е.
м/с.
и скорость имеют значение

21.

Для самостоятельного решения.
Найти дифференциалы и вторые производные следующих функций: