Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл

1.

Государственное бюджетное профессиональное образовательное
Учреждение города Москвы
«Московский индустриальный колледж»
Открытый урок
Тема:
«Понятие о производной функции,
её геометрический и
физический смысл»
Кирхлярова Халида Мукаиловна,
преподаватель математики

2.

Цели урока:
ОБУЧАЮЩАЯ:
1) Ввести определение производной функции на основе задач физики,
рассматривая при этом физический смысл производной.
2) Выяснить геометрический смысл производной дифференцируемой
функции.
3) Научиться решать задачи на данную тему, используя полученные знания.
РАЗВИВАЮЩАЯ:
1) Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического
мышления, смысловой памяти и произвольного внимания.
2) Развитие навыков исследовательской деятельности.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:
1) Способствовать развитию творческой деятельности.
2)Развивать у учащихся коммуникативные компетенции, потребности к самообразованию.

3.

Вопросы:
1.
2.
3.
4.
История возникновения производной функции.
Понятие производной.
Геометрический смысл производной.
Физический (механический) смысл производной.

4.

1. История возникновения производной функции
Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к
исследованию
функций,
называется
дифференциальным
исчислением.
Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при
работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня
differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое
переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце 17в.,
т.е. при рождении нового метода.
Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского
слова deriveе, которое ввёл в 1797г. Ж. Лагранж, он же ввёл современные
обозначения у' , f'. Такое название отражает смысл понятия: функция f'(x)
происходит из f(x), является производным от f(x). И. Ньютон называл производную
функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г. Лейбниц говорил о
дифференциальном отношении и ввёл обозначение производной df/dx.
Слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum
переводится как наибольший, а minimum – наименьший.

5.

« – величественная пирамида математических наук»
Наполеон I Бонапарт
Рано изучил сочинения Евклида и Архимеда, Галлея (друга
Ньютона).
В 16 лет стал преподавать математику в Артиллерийском
училище в Турине.
В 19 лет стал профессором математических наук.
В 23 года стал академиком и иностранным членом Берлинской
академии наук.
Автор трудов по вариационному исчислению, математическому
анализу, теории чисел, алгебре, дифференциальным уравнениям.
Его работы по математике, астрономии и механике составляют
14 томов.
Император Франции сделал учёного сенатором, графом
империи и командором ордена Почетного легиона.
Выдающийся французский
современное обозначение.
математик,
ввел
термин
1736 - 1813
«ПРОИЗВОДНАЯ»
и
её

6.

7.

8.

9.

2. Понятие производной
Пусть х - произвольная точка, лежащая в
некоторой окрестности точки х0 (окрестность
точки х0 - это интервал (а; б), x0 (а; б)).
Разность
х-х0
называется
приращением
аргумента: ∆x=х-x0. Отсюда x=x0+∆x.
Разность
f(x)-f(x0)
называется
приращением
функции: ∆f=f(x)-f(x0) или ∆f=f(х0+∆x)–f(х0).
Отсюда, f(х0+∆x)=f(х0)+∆f.

10.

2. Понятие производной
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел
отношения
приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x,
стремящегося к «нулю»:
f
y` lim
x 0 x
f ( x0 x) f ( x)
y` lim
x 0
x

11.

2. Понятие производной
Четыре обозначения для производной:

12.

2. Понятие производной

13.

2. Понятие производной
Правило нахождения производной функции y=f(x) в точке х0:
1.
2.
3.
Найти значение функции в точке x0+∆x: f(x0+∆x)
Найти приращение функции: ∆f = f(x0+∆x) - f(x0)
Найти отношение приращения функции к приращению
аргумента:
f ( x0 x) f ( x0 )
f
x
x
4. Найти предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю:
f ( x0 x) f ( x0 )
y ' lim
x 0
x

14.

2. Понятие производной
Пример: Дана функция y=x2. Найти её производную в
произвольной точке и в точке х=3.
Решение:
1. f(x0+∆x)=(х+∆x)2;
2. ∆f=(х+∆x)2-х2=x2+2x∆x+(∆x)2-x2=2х∆x+(∆x)2;
3.
y
y ' Lim
Lim (2 x x) 2 x
x 0 x
x 0
4. при х=3 получим y’(3)=2*3=6.
Ответ: y’=2x; y’(3)=6
, т.е. y’=(x2)’=2x;

15.

Пример: Воспользовавшись определением производной,
найти производную функции y
3x 1
.
2x 5
Решение: Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y:
3 x x 1 3x 1 3x 3 x 1 2 x 5 3x 1 2 x 2 x 5
2 x x 5 2 x 5
2 x x 5 2 x 5
17 x
.
2 x 2 x 5 2 x 5
y
Так как
то
y
17 x
17
,
x x 2 x 2 x 5 2 x 5 2 x 2 x 5 2 x 5
y
17
17
lim
.
x 0 x
x 0 2 x 2 x 5 2 x 5
2 x 5 2
y lim
Ответ: y
17
.
2
2 x 5

16.

Таблица производных
f (x)
C
f ′(x)
0
f (x)
√x
f ′(x)
1/(2√x)
kx + b
k
ex
ex
x2
2x
ax
ax lna
xn
nxn–1
tg x
1/cos2x
1/x
– 1/x2
ctg x
-1/sin2x
sin x
cos x
ln x
1/x
cos x
– sin x
loga x
1/(x lna)
12.02.2024
16

17.

Правила нахождения производной
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в
этой точке производную, причем
(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С –
данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой
точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′
12.02.2024
17

18.

Правила нахождения производной
3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные,
то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке
производную, причем
(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x)
≠ 0, то функция также имеет в этой точке
производную, причем
v′
1 ′
=– 2
v
v
()
12.02.2024
18

19.

Правила нахождения производной
5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные и v(x) ≠ 0, то функция
также имеет
в этой точке производную, причем
u ′
u′v – uv′
=
v
v2
( )
12.02.2024
19

20.

Производная сложной функции
(f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)
Примеры:
1. ((5x – 3)3)′ = 3(5x – 3)2∙(5x – 3)′ =
= 3(5x – 3)2 ∙ 5 = 15(5x – 3)2
2. (sin(4x + 8))′ = cos(4x + 8)∙(4x + 8)′ =
= cos(4x + 8)∙4 = 4 cos(4x + 8)
Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х, то она
непрерывна в этой точке.
12.02.2024
20

21.

3. Геометрический смысл производной.
Это кто?
Лейбниц Г.В.
«Если
продолжить одно из
маленьких звеньев ломаной,
составляющей кривую линию,
то эта продолженная таким
образом
сторона
будет
называться
касательной
к
кривой»

22.

А
Повторение
4
С
А
A=7/4
tg A-? Tg A=3/ 3
В
7
B=4/7
tg В -? Tg B= 3/3
3
С
3
В
Вычислите tgα, если
α = 135°, 120°, 150°.
=-1
=- 3
=- 3/3

23.

Повторение
Угловой коэффициент прямой.
Прямая проходит через начало координат и
точку Р(3; -1). Чему равен ее угловой
коэффициент?
1 3k
1
k
3

24.

Повторение
Найдите угловые коэффициенты прямых:
2
1
1
4
2
3
3
4

25.

3. Геометрический смысл производной.

26.

3. Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ угол
наклона секущей.
y
М1
f(x+ Δx )
f(x )
x
φ
0
y
М
х
x+Δx
х
y f ( x x) f ( x)
tg
x
x
При x→0 в силу непрерывности функции y также стремится к нулю, поэтому
точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1
переходит в касательную.
lim lim tg tg
x 0
x 0

27.

3. Геометрический смысл производной.
f ( x x) f ( x)
tg k y
x 0
x
lim
y
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x)
в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y0 к ( x - x 0 )
Уравнение
касательной
f ' ( x0 )
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
1
1
kнорм
kкас f ' ( x0 )
1
y y0
( x x0 )
f ' ( x0 )

28.

Пример: Найти уравнение касательной и нормали для функции f(x)=x2 в
точке x0 = 3.
Решение:
1) y 3 f 3 x f 3 3 x 3 2 9 2 3 x x 2 9
2
6 x x 2 ,
2)
6 x x 2
x 6 x
f 3 lim
lim
lim 6 x 6.
x 0
x
0
x 0
x
x
y f x0 f x0 x x0 уравнение касательной
y f x0
3)
1
x x0 - уравнение нормали
f x0
y кас 9 6 x 3
y кас 6 x 9
Ответ:
12.02.2024
y кас 6 x 9
f x0 0 .
1
x 3
6
1
1
y норм x 9 .
6
2
1
1
y норм x 9 .
6
2
y норм 9

29.

3. Физический (механический) смысл
производной
Это кто?
Исаак
Ньютон
«Когда
величина
является
максимальной или минимальной,
в этот момент она не течет ни
вперед, ни назад»

30.

3. Физический (механический) смысл
производной
0
s
S(t) за время t
S’(t) V(t) V’(t) a(t)
S(t) - перемещение точки за время t
V(t) – скорость точки в момент t
a(t) – ускорение точки в момент t

31.

3. Физический (механический) смысл
производной
Пример: Точка движется прямолинейно по закону
S(t) = 2 t ³ - 3 t. Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение:
а)
v(t ) s (t ) (2t 3t ) 2 3t 3 1 6t 3
б)
v(2) 6 2 3 21( м / c)
3
2
2
2
Ответ: V(t)=6t2-3; V(2)=21 м/с

32.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример: Материальная точка движется по закону
9 2
S (t ) t 7t 6 (м).
2
В какой момент времени (с) скорость точки будет равна 12,8
м/c ?
Решение: S’(t) V(t)
S (t ) 9t 7 V (t ) V (t ) 12,8
9t 7 12,8
9t 19,8
Ответ: t = 2,2 (с).

33.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример:
Материальная точка движется прямолинейно по закону
х(t)=t³- 4t². Найдите скорость и ускорение в момент времени
t=5с.
Решение:
2
2
v(t ) ( x(t )) 3t 4 2t 3t 8t
v(5) 3 5 8 5 75 40 35( м / с)
2
a(t ) (v(t )) (3t 8t ) 6t 8
2
a(5) 6 5 8 22( м / с )
2
Ответ: V(5)=35 м/c; a(5)=22 м/с2

34.

3. Физический (механический) смысл производной
x(t ) (t 1) , где t 0;10
3
1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке
x(10) x(0) 93 ( 1) 3 730
cp
73 м с
10 0
10
10
2. Найти мгновенную скорость в момент времени t = 3 сек.
(t ) x' (t ) 3(t 1) 2
мгн (3) 3(3 1) 2 3 4 12 м с
3. Найти ускорение при t = 3 сек
a(t ) ' (t ) 6(t 1)а(3) 12 м 2
с
Ответ: Vср=73 м/с; V(3)=12 м/c; a(3)=12 м/с2

35.

S, км
B
45
III
C
3. Физический (механический) смысл
производной
Определите среднюю скорость
движения на каждом из
четырех участков :
II
IV
A
10
I
D
0
1
3
3,5
I : Vср
10 0 10
10 км
ч
1 0
1
II : Vср
45 30 15
7.5 км
ч
3 1
2
8
III : Vср
45 45
0
0 км
ч
3,5 3 0,5
IV : Vср
45 0 45
10 км
ч
8 3.5 4.5
t, ч

36.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример:
Две материальные точки движутся прямолинейно
по законам s1(t)
= 1 - 6t + 2,5t 2 и
s2(t) = -3+ 2t + 0,5t 2. Определить в какой момент
времени скорости их
будут равны.
Решение:
1) V1 (t ) (2.5t 2 6t 1)' 5t 6
(формула нахождения скорости движения 1 тела)
2) V2 (t ) (0.5t 2 2t 3)' t 2
(формула нахождения скорости движения 2 тела)
3) по условию в момент времени t 0
подсказка
v(t ) S (t )
Ответ: при t0 = 2 с
их скорости равны, т.е.
5t 0 6 t 0 2
t0 2

37.

3. Физический (механический) смысл производной
Задача по химии
Пример: Пусть количество вещества, вступившего в
химическую реакцию задается зависимостью
р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической
реакции через 3 секунды.
Решение:
1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,
2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6 (моль/сек)
подсказка
Ответ: 6 моль / сек
v(t ) Р (t )

38.

3. Физический (механический) смысл производной
Пример:
Тело, подброшенное вверх движется по закону st = 4+ 8t – 5t 2 Найдите:
1) скорость тела в начальный момент времени;
2) наибольшую высоту подъёма тела.
Решение:
1) v (t) = s’(t) = 8 – 10t - скорость тела;
2) t= 0, v(0) = s’(0) = 8 м/с – скорость тела в начальный
момент времени
3) s (0,8)= 4+ 8·0,8 – 5· 0,64 =7,2 м – максимальная
высота броска тела.
подсказка
Ответ: 8 м/с ; 7,2 м.
v(t ) S (t )

39.

УСТНО!
Задача по физике
Точка движется прямолинейно по закону
(St) = t3 – 2t2.
Выберите какой из формул задается
движения точки в момент времени t.
скорость
S (t ) v(t )
1) 3t2 – 2; 2) t2 – 4t; 3)3t2 – 4t; 4) t4 – 2t3
Ответ: 3

40.

УСТНО!
Задача по экономике
Объем продукции V цеха в течение дня
зависит от времени по
V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70.
Вычислите производительность труда П(t).
V (t ) П (t ).
Ответ: П(t) = -5t2+15t+50

41.

Подведём итог:
1.
2.
3.
4.
Что называется касательной к графику функции в точке?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения
касательной?
В чём заключается физический смысл производной?

42.

Используемая литература:
1.
Учебник Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа 10-11»
2.
Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. –
М.: Мнемозина, 2009.
3.
Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. –
М.: Мнемозина, 2009.
4.
Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. /
Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010
5.
ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и
И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010
6.
МАТЕМАТИКА СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ПЛАНУ ЕГЭ 2009. Учебно-методическое пособие.
под редакцией А. Г. Клово, Д. А. Мальцева; Ростов-на-Дону. НИИ школьных технологий