Математика. Лекция 11.
Дифференцирование обратной функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная функции, заданной параметрически.
Производные высших порядков
Механический смысл второй производной.
Правило Лопиталя.
Правило Лопиталя.
Дифференциал функции.
Дифференциал функции.
Геометрический смысл дифференциала функции.
Основные свойства дифференциалов.
Основные свойства дифференциалов.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функции.
306.00K
Category: mathematicsmathematics

Дифференцирование обратной функции

1. Математика. Лекция 11.

Дифференцирование.

2. Дифференцирование обратной функции.

Теорема. Пусть функция
y f ( x ) возрастает (или убывает) в некоторой окрестности
x g ( y ). Если в точке x0
и имеет непрерывную обратную функцию
функция y f ( x ) имеет производную y x f ( x0 ) 0, то обратная функция имеет
точки
x0
производную в соответствующей точке y0 f ( x0 ), причем
1
1
x y g ( y 0 )
или x y
.
f ( x0 )
yx
Производная функции y arctgx.
Функция y arctgx, определенная на бесконечной прямой x , является
обратной для функции x tgy, определенной на интервале y . Из формулы
2
2
следует, что
1
1
1
1
y x ( arctgx)
2
2
x y (tgy) 1 sin y cos y
2
2
cos y
cos y
1
1
2
2
.
tg y 1 x 1
1
Итак, ( arctgx)
.
2
1 x

3. Производная функции, заданной параметрически.

Теорема. Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана
параметрическими уравнениями:
x t ,
t ( a , b ),
y
t
,
где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Пусть функции t и
(t ) имеют производные в некоторой точке t ( a , b ) : yt t , xt t 0. Кроме
того, функция x (t ) в окрестности точки t имеет обратную функцию t g ( x ).
Тогда определенная параметрическими уравнениями функция y=f(x) также имеет
производную в точке x t , причем
y'
y' x t .
x' t

4. Производная функции, заданной параметрически.

Пример . Найти производную функции, заданной параметрически:
x t 3 5t ,
.
2
y t t 2.
Решение. Имеем: x't 3t 2 5,
Следовательно, производная равна:
y't 2t 1.
y' x
y't
2t 1
2
.
x' t 3t 5

5. Производные высших порядков

Если функция f(x) в каждой точке некоторого промежутка имеет производную, то
эта производная f '(x) является новой функцией на данном промежутке. Если функция
f '(x) тоже имеет производную, то её производная называется второй производной
или производной второго порядка и обозначается y" или f"(x). Таким образом, по
определению:
f ″(x) = (f '(x) )'.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется
третьей производной или производной третьего порядка и обозначается y"' (или f'"(x)):
f ″′(x) = (f ″(x))'.
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от
производной (n – 1) порядка:
f(n)(x) = (f(n-1)(x))'.
Начиная с производной четвёртого порядка, производные обозначают римскими
цифрами или числами в скобках (yIV или y(4) – производная четвёртого порядка).

6. Механический смысл второй производной.

Пусть закон движения материальной точки по некоторой прямой линии имеет вид
S = S(t). Известно , что первая производная S'(t) равна скорости точки в данный момент
времени t:
v(t) = S'(t).
По определению второй производной S"(t) = v'(t), а v'(t) – скорость изменения v(t)
в момент t. Как известно из механики, величина v′(t) является ускорением α в момент
времени t. Итак, вторая производная S"(t) от пути по времени есть ускорение
прямолинейного движения точки:
α(t) = S"(t).
1
Например, если S = gt 2 (g – постоянное ускорение свободного падения), то
2
скорость
v(t) = S'(t) = gt, а ускорение α (t) = v'(t) = S"(t) = g.

7. Правило Лопиталя.

Теорема.
Пусть для функций f(x) и φ(х) выполнены следующие условия:
а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 за
исключением, быть может, самой точки х0 , причем φ(х) ≠ 0 и φ'(х) ≠ 0 в указанной
окрестности;
б) функции f(x) и φ(х) при х→х0 совместно стремятся к 0 или ∞ :
lim f ( x) lim ( x) 0
x x0
или
x x0
f ( x ) lim ( x ) ;
lim
x x
x x
0
0
в) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных:
f ( x )
.
lim
(
x
)
x x0
Тогда существует и предел отношения функций, равный пределу отношения
производных:
f ( x)
f ( x )
.
lim
lim
x x0 ( x )
x x0 ( x )
1. Правило Лопиталя справедливо и при х→∞ (при соответствующих условиях).
2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз.

8. Правило Лопиталя.

Пример . Найти
x sin x
lim
x 0
3
.
x
x sin x 0
( x sin x )
1 cos x 0
lim
lim
3
2
0 lim ( x 3 )
x
3
x
0
x 0
x 0
x 0
Решение.
(1 cos x )
sin x 0
(sin x )
cos x 1
lim
.
lim
lim
lim
2
6
6
(3 x )
0 x 0 (6 x )
x 0
x 0 6 x
x 0
ln x
Пример . Найти lim
.
x
x
Решение.
ln x
(ln x )
1
0.
lim
lim
lim ( x )
x
x
x
x
x
Пример . Найти
lim
x
x2
.
ex
Решение.
lim
x
( x 2 )
2x
=
lim
lim =
e x x (e x ) x e x
(2 x )
2
= lim x lim x 0.
x ( e )
x e
x2

9. Дифференциал функции.

Определение.
Функция y = f(x), имеющая конечную производную в точке
дифференцируемой в точке x.
Пусть функция
y = f(x) имеет в точке x производную
f '(x) = lim
x 0
x, называется
y
. Тогда по
x
теореме о связи предела и бесконечно малой, имеем:
y
f '(x) + α, где lim α = 0.
x 0
x
Умножив обе части последнего равенства на Δx, получим приращение функции Δy в виде:
Δy = f '(x)∙Δx + α∙Δx.
Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x называется главная
часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение
аргумента. Дифференциал обозначается
dy = f '(x) ∙Δx.

10. Дифференциал функции.

Найдём дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции y = x:
dy = dx = (x)'∙Δx = Δx.
Таким образом, dx = Δx.
Поэтому дифференциал функции равен произведению производной функции на
дифференциал независимой переменной:
dy = f '(x)dx.
dy
f ' ( x ).
Из формулы следует равенство
dx
dy
можно рассматривать как отношение
Теперь обозначение производной
dx
дифференциалов dy и dx.
Пример 1. Найти дифференциал функции y = tg3x.
Решение. По формуле находим:
3dx
1
.
=
∙3dx
dy = (tg3x)'dx =
2
2
cos 3x
cos 3x

11. Геометрический смысл дифференциала функции.

Дифференциал
функции y = f(x) в точке
x равен приращению
ординаты касательной к
графику функции в
точке M(x, f(x)), когда
аргумент x получит
приращение Δx.

12. Основные свойства дифференциалов.

Свойство 1. Дифференциал постоянной равен нулю:
dc = 0.
Действительно:
dc = c'dx = 0∙dx = 0.
Свойство 2. Постоянное число можно выносить за знак дифференциала:
d(cu) = cdu.
Действительно:
d(cu) = (cu)'dx = c∙u'dx = cdu.
Свойство 3. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме
дифференциалов:
d(u + v) = du + dv.
Действительно,
d(u + v) = (u + v)'dx = u'dx + v'dx = du + dv.

13. Основные свойства дифференциалов.

Свойство 4. Дифференциал произведения дифференцируемых функций находится
по формуле:
d(uv) = udv + vdu.
Свойство 5. Дифференциал частного дифференцируемых функций находится по
формуле:
u vdu udv
d
( v 0).
2
v
v
Свойство 6. Инвариантность формы дифференциала.
Рассмотрим дифференцируемые функции
u = u(x),
y = f(u). Тогда
дифференциал сложной функции y = f(u(x)) находится по формуле:
dy = f '(u)du.
Если сравним последнюю формулу с определением дифференциала, то
получим, что дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму относительно
аргумента.
Действительно, по формуле производной сложной функции имеем:
dy = (f(u(x)))'dx = f '(u) ∙u'(x)dx = f '(u)du,
т.к. du = u'(x)dx.

14.

Таблица дифференциалов основных элементарных функций.
1. d x a ax a 1dx .
2. d ( a x ) a x ln a dx, d (e x ) e x dx.
1
dx
dx, d (ln x ) .
x ln a
x
4. d (sin x ) cos xdx.
5. d (cos x ) sin xdx.
dx
6. d (tgx)
.
2
cos x
dx
7. d (ctgx) 2 .
sin x
dx
8. d (arcsin x )
при x 1.
2
1 x
dx
9. d (arccos x )
при x 1.
2
1 x
dx
10. d (arctgx)
.
2
1 x
dx
11. d (arcctgx )
.
2
1 x
3. d (log a x )

15. Применение дифференциала в приближенных вычислениях значений функции.

Перейдем к применению дифференциала в приближенных вычислениях
значений функции.
Пусть известно значение функции
и её производной в точке .
Покажем, как найти значение функции в точке х, близкой к
.
.
Рассмотрим приращение функции
при малых приращениях аргумента
:
y dy y ' dx y ' x
Так как
откуда
, то
,
.
Пример. Вычислим приближенно 1,0003 с помощью дифференциала.
Для этого используем функцию y x . Найдем значение этой функции
при x 1,0003 . Ближайшее к нему значение, для которого точно известно
значение функции – это x0 1 , значение функции y0 1 1 .
Найдем производную функции, чтобы применить приближенную формулу.
y '
1
2 x
, значение производной y ' (1)
1
2
В результате 1,0003 1 (1,0003 - 1) 1
0,0003
1,00015 .
2
1
2 1
1
.
2
English     Русский Rules