Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение производной. Ее геометрический и
физический смысл.
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью функции. Необходимое
условие существования производной.
Правило дифференциорания функций.
Производная сложной и обратной функции.
Производные основных элементарных функций.
Дифференцирование неявных и параметрически
заданных функций.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Свойства дифференциала.

2. Приращение функции и аргумента

y f ( x)
Пусть функция
определена на
промежутке X. Рассмотрим точку x X
Разность x 0 называется приращением
аргумента x.
Разность y f ( x x) f ( x) называется
приращением функции y=f(x) в точке x,
соответствующее приращению аргумента x.
y
f ( x x )
f(x)
y
x
x x x
x

3. Определение производной функции

Производной функции y=f(x) в точке x называется
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.
y
f ( x x) f ( x)
y lim
lim
x 0 x
x 0
x
dy df
y , f ( x),
,
,y
dx dx
Если функция y=f(x) в точке x имеет конечную производную, то
функция y=f(x) называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X,
называется дифференцируемой на этом промежутке.

4. Геометрический смысл производной функции

касательная
y
y0
B
y
A
секущая
y
x
x0
x
x
y
tg равно тангенсу угла наклона секущей к оси
x
абсцисс, а производная
y
Отношение
y ( x) lim
x 0
x
lim tg tg
x 0
равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.
f ( x) tg k - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x)
y f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) - уравнение касательной

5. Правила дифференцирования функций

Производная постоянной равна нулю: с 0, с const
Если функции u ( x), v( x) имеют производные в точке
x , то их сумма u ( x) v( x) , произведение u ( x) v( x)
u ( x)
, v ( x ) 0 также имеют производные в
и частное
v( x)
этой точке и справедливы формулы
(u v ) u v
(u v ) u v u v
u v uv
u
2
v
v
(сu ) cu

6. Производная сложной функции

(о производной сложной функции)
Если y=f(u) и u=h(x) дифференцируемые функции от
своих аргументов, то производная сложной функции
y=f(h(x)) существует и равна
y ( f (h( x))) f (h( x)) h ( x) или y x yu u x
1. y cos x
2
y (cos 2 x) 2 cos x ( sin x) sin 2 x
1
2. y
ln( x 2 1)
1
2x
2
1
2
2
y ((ln( x 1)) ) 1 (ln( x 1)) 2 2 x 2
x 1
( x 1) ln 2 ( x 2 1)

7. Производные основных элементарных функций

c 0, c const
(ln x )
1
,
x
( x ) x 1
(arcsin x )
( a x ) a x ln a
(arccos x )
( e x ) e x
( arctgx )
(sin x ) cos x
(cos x ) sin x
1
(tgx )
cos
(ctgx )
2
(log a x )
log a e
,
x
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
( arcctgx )
1 x2
( shx ) chx
(chx ) shx
x
1
sin 2 x
(thx )
1
ch 2 x
(cthx )
1
sh 2 x

8. Производные высших порядков

y f (x) - производная первого порядка функции y=f(x)
Если функция f ( x ) дифференцируемой точке x, то
y ( f ( x)) - производная второго порядка функции y=f(x)
d 2 y d dy
y , f ( x),
,
(
)
2
dx
dx dx
…………………………………….
y ( n) ( f
( n 1)
( x)) - производная n-ого порядка функции y=f(x)
Производные порядка выше первого называются
производными высших порядков.

9. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции y=f(x) называется главная,
линейная относительно x , часть приращения функции,
равная произведению производной функции на приращение
независимой переменной
dy f ( x) x
dy – дифференциал первого порядка
Рассмотрим функцию y=x. Вычислим ее дифференциал:
dy x x 1 x x dy x
dy f ( x) dx
Дифференциалом функции y=f(x) равен произведению
производной этой функции на дифференциал независимой
переменной

10. Найти дифференциал функции

f ( x) 3x sin( 1 2 x)
2
dy f ( x) dx
dy (3x sin( 1 2 x)) dx
2
dy (6 x 2 cos(1 2 x)) dx

11. Свойства дифференциала

Дифференциал постоянной равен нулю:
dс 0, с const
d (u v) du dv
d (u v) vdu udv
vdu udv
u
d
2
v
v
d (с u ) c du