Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Приращение функции и аргумента
Определение производной функции
Геометрический смысл производной функции
Правила дифференцирования функций
Производная сложной функции
Производные основных элементарных функций
Производные высших порядков
Понятие дифференциала функции
Найти дифференциал функции
Свойства дифференциала
294.50K
Category: mathematicsmathematics

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение производной. Ее геометрический и
физический смысл.
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью функции. Необходимое
условие существования производной.
Правило дифференциорания функций.
Производная сложной и обратной функции.
Производные основных элементарных функций.
Дифференцирование неявных и параметрически
заданных функций.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Свойства дифференциала.

2. Приращение функции и аргумента

y f ( x)
Пусть функция
определена на
промежутке X. Рассмотрим точку x X
Разность x 0 называется приращением
аргумента x.
Разность y f ( x x) f ( x) называется
приращением функции y=f(x) в точке x,
соответствующее приращению аргумента x.
y
f ( x x )
f(x)
y
x
x x x
x

3. Определение производной функции

Производной функции y=f(x) в точке x называется
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.
y
f ( x x) f ( x)
y lim
lim
x 0 x
x 0
x
dy df
y , f ( x),
,
,y
dx dx
Если функция y=f(x) в точке x имеет конечную производную, то
функция y=f(x) называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X,
называется дифференцируемой на этом промежутке.

4. Геометрический смысл производной функции

касательная
y
y0
B
y
A
секущая
y
x
x0
x
x
y
tg равно тангенсу угла наклона секущей к оси
x
абсцисс, а производная
y
Отношение
y ( x) lim
x 0
x
lim tg tg
x 0
равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.
f ( x) tg k - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x)
y f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) - уравнение касательной

5. Правила дифференцирования функций

Производная постоянной равна нулю: с 0, с const
Если функции u ( x), v( x) имеют производные в точке
x , то их сумма u ( x) v( x) , произведение u ( x) v( x)
u ( x)
, v ( x ) 0 также имеют производные в
и частное
v( x)
этой точке и справедливы формулы
(u v ) u v
(u v ) u v u v
u v uv
u
2
v
v
(сu ) cu

6. Производная сложной функции

(о производной сложной функции)
Если y=f(u) и u=h(x) дифференцируемые функции от
своих аргументов, то производная сложной функции
y=f(h(x)) существует и равна
y ( f (h( x))) f (h( x)) h ( x) или y x yu u x
1. y cos x
2
y (cos 2 x) 2 cos x ( sin x) sin 2 x
1
2. y
ln( x 2 1)
1
2x
2
1
2
2
y ((ln( x 1)) ) 1 (ln( x 1)) 2 2 x 2
x 1
( x 1) ln 2 ( x 2 1)

7. Производные основных элементарных функций

c 0, c const
(ln x )
1
,
x
( x ) x 1
(arcsin x )
( a x ) a x ln a
(arccos x )
( e x ) e x
( arctgx )
(sin x ) cos x
(cos x ) sin x
1
(tgx )
cos
(ctgx )
2
(log a x )
log a e
,
x
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
( arcctgx )
1 x2
( shx ) chx
(chx ) shx
x
1
sin 2 x
(thx )
1
ch 2 x
(cthx )
1
sh 2 x

8. Производные высших порядков

y f (x) - производная первого порядка функции y=f(x)
Если функция f ( x ) дифференцируемой точке x, то
y ( f ( x)) - производная второго порядка функции y=f(x)
d 2 y d dy
y , f ( x),
,
(
)
2
dx
dx dx
…………………………………….
y ( n) ( f
( n 1)
( x)) - производная n-ого порядка функции y=f(x)
Производные порядка выше первого называются
производными высших порядков.

9. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции y=f(x) называется главная,
линейная относительно x , часть приращения функции,
равная произведению производной функции на приращение
независимой переменной
dy f ( x) x
dy – дифференциал первого порядка
Рассмотрим функцию y=x. Вычислим ее дифференциал:
dy x x 1 x x dy x
dy f ( x) dx
Дифференциалом функции y=f(x) равен произведению
производной этой функции на дифференциал независимой
переменной

10. Найти дифференциал функции

f ( x) 3x sin( 1 2 x)
2
dy f ( x) dx
dy (3x sin( 1 2 x)) dx
2
dy (6 x 2 cos(1 2 x)) dx

11. Свойства дифференциала

Дифференциал постоянной равен нулю:
dс 0, с const
d (u v) du dv
d (u v) vdu udv
vdu udv
u
d
2
v
v
d (с u ) c du
English     Русский Rules