Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции в точке

1.

Дифференциальное исчисление функции одной
переменной. Производная функции в точке.
Дифференциал.
1. Производная функции в точке.
2. Геометрический и механический смыслы производной.
3. Дифференцирование сложных функций.
4. Дифференциал функции, свойства, приложения.
5. Производные и дифференциалы высших порядков.

2.

1. Задача о касательной
Пусть на плоскости XOY задана непрерывная
кривая y=f(x).
Необходимо найти уравнение касательной к этой
кривой в точке M0(x0,y0).

3.

Дадим аргументу x0 приращение Δx и перейдем на
кривой от точки M0(x0, f(x0)) к точке M1(x0+Δx,
f(x0+ Δx)).
Проведем секущую M0M1.
Под касательной к кривой y=f(x) в точке
M0 (x0 ,y0 ) понимают предельное положение
секущей M0 M1 при приближении точки M1
x
0
к точке M0 , т.е. при

4.

y f (x)
y
M1
y0 y
M0
y0
N
x0
x0 x
x

5.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0
имеет вид:
y f ( x0 ) k ( x x0 )
Рассмотрим прямоугольный треугольник M0M1N:
kM
0 M1
y
tg
x
- угловой коэффициент секущей M0M1.

6.

Тогда угловой коэффициент касательной к
кривой в точке M0 :
k lim kM M
x 0
0
1
y
lim
x 0
x

7.

2. Задача о скорости
движения
Пусть вдоль некоторой прямой движется точка
по закону S=S(t), где S – пройденный путь, t –
время движения.
Требуется найти скорость в момент времени t0 .

8.

На момент времени t0 пройденный путь составит
S0=S(t0), на момент времени t0+Δt пройденный
путь составит S0+ΔS=S(t0 +Δt ).
Тогда за промежуток
скорость составит:
времени Δt средняя
S
vср
t
Чем меньше Δt, тем лучше средняя скорость
характеризует движение в момент t0.

9.

Поэтому под скоростью точки в момент времени
t0 понимают:
S
v lim vср lim
t 0
t 0
t

10.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х.
Выберем точку x X
Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция
получит приращение
Δy=f(x+Δx)- f(x).

11.

Производной функции y=f(x)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
независимого аргумента, когда
приращение аргумента стремится
к нулю:
y
f ( x x) f ( x)
y lim
lim
x 0 x
x 0
x

12.

Обозначения производной:
y ;
f ( x);
dy
;
dx
df ( x)
dx
Нахождение производной функции называется
дифференцированием.
Если функция имеет конечную производную в
некоторой точке, то она называется
дифференцируемой в этой точке.

13.

Вернемся к рассматриваемым задачам.
Из задачи о касательной вытекает
Производная f / (x0) есть угловой коэффициент
(тангенс
угла
наклона)
касательной,
проведенной к кривой y=f(x) в точке x0 :
k f ( x0 )

14.

Тогда уравнение касательной к кривой в
данной точке будет иметь вид:
y f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )

15.

Из задачи о скорости движения вытекает
Производная пути по времени S / (t0)
скорость точки в момент времени t0 :
v(t0 ) S (t0 )
есть

16.

Если функция y=f(x)
дифференцируема в точке x0,
то она непрерывна в этой
точке.

17.

Непрерывность функции является необходимым,
но не достаточным условием дифференцируемости
функции.
Если функция имеет непрерывную производную на
промежутке Х, то она называется гладкой на
этом промежутке.
Если производная функции имеет конечное число точек
разрыва 1 рода, то такая функция называется
кусочно-гладкой.

18.

Производная функции может быть найдена по
схеме:
1
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy=f(x+Δx)

19.

2
Находим приращение функции
Δy=f(x+Δx)-f(x)
3
Составляем отношение:
y
x
4
Находим
y
y lim
x 0
x

20.

Найдем производную функции
1
y x
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy:
y y ( x x)
2
3
3
Находим приращение функции
y ( x x) x
3
3

21.

x 3 x x 3x x x x
3
2
2
3
x(3x 3x x x )
2
3
2
y
Составляем отношение
x
y
2
2
3x 3x x x
x
3

22.

4
y
Находим y lim
x 0
x
y lim (3x 3x x x ) 3x
2
2
2
x 0
0
0
Полученный результат является частным
случаем производной от степенной функции
y x
n
Можно показать, что в общем случае

23.

( x ) n x
n
n 1

24.

Таблица производных основных
элементарных функций.
–
1.
–
2.
–
3.
–
4.
–
5.
–
6.
–
7.
–
–
–
(C ) 0
( x ) n x
n
n 1
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
( x) 1
( x 2 ) 2 x
x 2 1 x
1
(loga x)
1 x ln a
(ln x)
x
(sin x) cos x
8. (cosx) sin x
1
(
tg
x
)
9.
cos2 x
1
(ctg x) 2
10.
sin x
11.
12.
13.
14.
(arcsin x)
(arccosx)
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
(arcctgx)
1 x2
(arctgx)

25.

1
Производная постоянной величины равна 0:
C 0 (C const )
2
Производная аргумента равна 1:
x 1

26.

3
Производная алгебраической суммы
(разности) конечного числа
дифференцируемых функций равна сумме
(разности) производных этих функций:
(u v) u v

27.

Следствие 1.
Постоянный множитель можно выносить за
знак производной:
(C u ) C u
Следствие2.
Производная произведения нескольких
дифференцируемых функций равна сумме
произведений производной каждого из
сомножителей на все остальные:
(u v w) u v w v u w w u v

28.

5
Производная частного двух дифференцируемых
функций находится по формуле:
u u v v u
2
v
v

29.

1
Найти производную функции
y 15 ( x 1)
4
и вычислить ее значение в точке х=1.

30.

4
4
y 15 ( x 1) 15 ( x 1)
0
15 (4 x ) 60 x
3
3
Находим значение производной в точке х=1:
y (1) 60 1 60
3

31.

2
Найти производную функции
y x ( x 1)
3
4
и вычислить ее значение в точке х=1.

32.

y x
3
(
4
x 1) x ( x 1)
3
4
1 3
3x ( x 1) x x
4
2
9
4
4
9
4
3
4
9
4
1
13
3x 3x x x 3x 2
4
4
2
Находим значение производной в точке х=1:
13 94
25
2
y (1)
1 3 1
4
4

33.

3
Найти производную функции
x 1
y
x
3
и вычислить ее значение в точке х=1.

34.

x
y
3
1 x ( x 1)
x
3x
2
5
2
3
x
1
1 2
3
x ( x 1) x
2
x
5
2
1
1
3x x x
2
2
x
1
2
5
2
5
1
x x
2
2
x
1
2
Находим значение производной в точке х=1:
5 52 1 12
1 1
2
y (1) 2
3
1

35.

Пусть переменная y есть функция от переменной
u, y=f(u).
И пусть переменная
переменной x, u=φ(x).
u
есть
То есть задана сложная функция
y f (x )
функция
от

36.

Если y=f(u), u=φ(x) – дифференцируемые
функции своих аргументов, то производная
сложной функции существует и равна
производной
данной
функции
по
промежуточному аргументу, умноженной на
производную
самого
промежуточного
аргумента по независимой переменной:
y f (u ) u x

37.

Правило дифференцирования сложной функции
можно записать иначе:
y x yu u x
или
dy dy du
dx du dx

38.

Найти производные сложных функций:
1
y
x 5
3

39.

2
y 3 x 5 x 5
3
1
x 5 x
2
2
1
2
3
2
1
x 5
x
2

40.

2
y 3
x 1
2
x 1
2

41.

1 x 1
y 2
3 x 1
2
2
3
2
3
x 1
2
x 1
2
1 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
2
2
2
3 x 1
( x 1)
2
2
2
2
2

42.

2
3
1 x 1 2 x ( x 1) 2 x ( x 1)
2
2
2
3 x 1
( x 1)
2
1 x2 1
2
3 x 1
2
2
3
2
2 x3 2 x 2 x3 2 x
2
2
( x 1)
2
3
2
1 x 1
4x
2 2
3 x 1 ( x 1) 2

43.

Пусть y=f(x) – дифференцируемая и монотонная
функция на промежутке Х.
Если переменную y рассматривать как аргумент,
а переменную x как функцию, то функция x=φ(y)
является
обратной
функцией
к
данной,
непрерывной на соответствующем промежутке Y.

44.

ТЕОРЕМА
Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю,
производная обратной функции равна
обратной величине производной
исходной функции:
1
x y
y x

45.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке
Х и дифференцируема в некоторой окрестности
точки x X
Тогда существует конечная производная
y
lim
f ( x)
x 0
x
На основании теоремы о связи бесконечно
малых величин с пределами функций имеем:

46.

y
f ( x) ( x)
x
Где ( x) - бесконечно малая величина при x 0
Следовательно,
y f ( x) x ( x) x
Таким образом, приращение функции y
состоит из двух слагаемых:
1. линейного относительно x
2. нелинейного, являющегося бесконечно
малой величиной более высокого порядка,
чем x

47.

Дифференциалом функции называется
главная, линейная относительно Δх, часть
приращения функции, равная произведению
производной на приращение независимой
переменной:
dy f ( x) x

48.

Найти приращение и дифференциал
функции
y 2 x 3x
2
при х=10 и Δх=0.1

49.

y f ( x x) f ( x)
2( x x) 2 3( x x) 2 x 2 3x
(4 x 2 x 3) x
dy f ( x) x 4 x x 3 x
при х=10 и Δх=0.1
y 3.72
dy 3.7

50.

Найти дифференциал функции
y x

51.

dy dx f ( x) x x x x
Следовательно, дифференциал
независимой переменной равен
приращению этой переменной:
x dx

52.

Выберем
на
графике
функции
произвольную точку М(x,y).
y=f(x)
Дадим аргументу х приращение Δх. Тогда
функция получит приращение
y f ( x x) f ( x)
Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке
М(x,y).
Из геометрического смысла производной следует,
что
f ( x) tg

53.

y
y f (x)
y y
K
M
y
y
dy
N
x x x x

54.

Треугольник
MNK
следовательно
–
прямоугольный,
KN MN tg x f (x)
KN dy
Дифференциал функции есть приращение
ординаты касательной, проведенной к графику
функции y=f(x) в данной точке, когда х получает
приращение Δх.