Элементы дифференциального исчисления
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная. Задача о касательной
Производная. Задача о касательной
Производная. Определение
Производная. Определение
Примеры
Уравнение касательной
Теоремы о производных
Теоремы о производных
Теоремы о производных
Теоремы о производных
Примеры
Примеры
Производная обратной функции
Примеры
Примеры
Теорема о производной сложной функции
Производная степенной функции
Производные гиперболических функций
Производные гиперболических функций
Таблица производных
Таблица производных
Дифференцируемая функция
Дифференциал функции
Определение дифференциала
Определение дифференциала
Дифференциал функции
Дифференциал функции
Дифференциал функции
Инвариантность дифференциала
Производные высших порядков
Дифференциалы высшего порядка
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пример
Производные неявных функций
Пример
Продолжение
Логарифмическое дифференцирование
525.00K
Category: mathematicsmathematics

Элементы дифференциального исчисления

1. Элементы дифференциального исчисления

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производные
2. Таблица производных
3. Дифференциал
4. Производные и дифференциалы
высших порядков
5. Некоторые теоремы о
дифференцируемых функциях
6.Применение производных к
исследованию функций
7. Общая схема исследования функции и
построение графика

3. Производная. Задача о касательной

y
М
М0
к
f ( x0 x)
f ( x0 )
0
y
x
x0
x0 x
Определение. Если существует предельное положение
секущей M 0 M при стремлении M M 0 вдоль по кривой, то оно
называется касательной к графику функции в точке M 0 .

4. Производная. Задача о касательной

Обозначим угол наклона касательной к
графику функции в точке M 0 .
y
x
0
,
Очевидно,
при
а tg
x
стремится к tg
y
tg lim tg lim
.
x 0
x 0 x
Тогда угловой коэффициент
y
касательной равен k lim
.
k tg
x 0
x

5. Производная. Определение

Пусть функция у = f x определена в
интервале a, b и пусть точка x0 a, b .
Рассмотрим далее точку x0 x a, b .
В обеих точках вычислим значения
функции и разность y f ( x0 x) f ( x0 ) .
Эту разность будем называть
приращением функции в
фиксированной точке x0 .

6. Производная. Определение

Если существует конечный (или
бесконечный)
y
f x0 x f x0
= lim
,
lim
x
x
0
x
x 0
то он называется конечной (или
бесконечной) производной функции f x
в точке x0 и обозначается
'
символами у ' или f x0 ,
т.е.
y
y lim
.
x 0 x
'

7. Примеры

Ясно, что угловой коэффициент
касательной равен производной в точке
касания. Приведем примеры.
y
y
f ' ( x0 ) 0
y'
в точке
0
x0
x 0

8. Уравнение касательной

Касательную как прямую, проходящую
через точку касания M 0 ( x 0 ; y 0 ) , задают
уравнением y y 0 y 0 ( x x 0 ).
Например, уравнение касательной к
2
кривой y x в точке (1;2) имеет вид
у-2=2(х-1) или 2х-у=0.

9. Теоремы о производных

Теорема 1. Если существуют
'
производные u x и
v' x функций u (x) и v x , то
существуют
u x v x ' u v ' u' v' ;
u v ' u' v uv' ;
u u ' v uv'
v 0 .
2
v
v

10. Теоремы о производных

Следствие.
cy ' c' y cy' cy' , так как c' 0 ,
т.е. постоянный множитель
выносится за знак производной.

11. Теоремы о производных

Теорема 2. Если функция в
точке x0 имеет производную, то она
в этой точке непрерывна.
Обратное неверно. Возможен
случай, когда непрерывная функция
не имеет производной в точке
непрерывности.

12. Теоремы о производных

Например:
y
y x
y' не существует в точке
x 0
x

13. Примеры

Выведем формулы некоторых
производных, применяя определение
производной:
1) y x 2 имеет производную
y' lim
x x 2 x 2
x 0
x
x 2 2 x x x 2 x 2
2 x x x 2
lim
lim
x
x
x 0
x 0
lim 2 x x 2 x ;
x 0

14. Примеры

x x
x
x x
e
e
e
e 1
x
2) e ' lim
lim
x
x
x 0
x 0
x
e
1
x
e lim
e x 1 e x .
x 0 x
Таким же образом можно получить
производные sin x ' cos x , cos x ' sin x , а
по правилу вычисления производных
сложных функций можно вычислить и
другие производные.

15. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х=f(y)
монотонна и дифференцируема в
некотором интервале (a,b) и имеет в
точке у этого интервала не равную нулю
f ( y ) в
производную
. Тогда
соответствующей точке х обратная
1
y
f
( x) имеет производную
функция
1
1
1
[ f ( x)]
или y x
.
f ( y )
x y

16. Примеры

Для функции y=arcsinx обратной
является функция x=siny , которая в
интервале (-π/2;π/2) монотонна и
дифференцируема. Ее производная в
этом интервале в нуль не обращается.
Поэтому
1
1
1
1
y x
.
x y cos y
1 sin 2 y
1 x2

17. Примеры

Итак, (arcsin x)
1
1 x2
.
Аналогично можно получить
(arccos x)
1
1 x2
1
(arctgx)
,
2
1 x
1
(arcctgx)
.
2
1 x
,

18. Теорема о производной сложной функции

Пусть функция u u x имеет
производную в точке x0 , а функция
y f u имеет производную в точке
u0 u x0 . Тогда сложная функция
y f u x имеет производную в точке x0 ,
причем y' f ' u 0 u' x0 .
Или: y' f 'u u ' x в произвольной точке
x.

19. Производная степенной функции

Справедливо тождество
Тогда
x e
n
y (e ) e (n ln x)
n n ln x n n n 1 n
n 1
e x nx , ( x ) nx .
x
x
n ln x
n ln x
n ln x
.

20. Производные гиперболических функций

Гиперболическими называют функции
x
e e
e e
shx
; chx
2
2
shx
chx
thx
; cthx
.
chx
shx
x
x
x
;

21. Производные гиперболических функций

Поэтому
1 x
1 x
x
x
( shx ) (e e ) (e e ) chx.
2
2
(chx) shx;
shx
ch 2 x sh 2 x
1
(thx) (
)
2 ;
2
chx
ch x
ch x
1
(cthx) 2
sh x.

22. Таблица производных

7. log a u '
1. c ' 0,
2. (u )' nu
n
3.
u ' 2
n 1
1
u' ,
u' ,
u
1
1
4. ' 2 u ' ,
u
u
5. a ' a ln a u ' ,
u
u
6. e u ' e u u ' ,
1
u' ,
u ln a
1
8. ln u ' u ' ,
u
9. sin u ' cos u u ' ,
10. cos u ' sin u u ' ,
1
11. tgu '
u' ,
2
cos u
1
12. ctgu '
u' ,
2
sin u

23. Таблица производных

13. (arcsin u )
(arccos u )
1
1 u2
14. ( shu) chu u .
.u
1
1 u2
u ,
1
(arctgu )
u ,
2
1 u
1
(arcctgu )
u .
2
1 u
(chu) shu u ;
1
u ;
2
ch u
1
(cthu) 2 u
sh u.
(thu)

24. Дифференцируемая функция

Определение. Если функция f x в
точке x имеет (конечную) производную, то
она называется дифференцируемой в этой
точке.
Если функция дифференцируема в
каждой точке некоторого промежутка, то
она называется дифференцируемой на
этом промежутке.

25. Дифференциал функции

Рассмотрим пример. Найдем
приращение функции y x 2 в точке x0 .
Известно, что y f x0 x f x0 .
В нашем примере
f x0 x0 2 , f x0 x x0 x 2 , а
приращение.
y x0 x 2 x0 2 x0 2 2 x0 x x 2 x0 2
Итак, y 2x0 x x 2 , где, как известно, 2x0
является производной функции x 2 в точке
x0 .

26. Определение дифференциала

Пусть приращение функции в точке
может быть представлено в виде
y A x o( x) , где x приращение аргумента, А-величина, не
зависящая от x , o( x) -бесконечно
малая более высокого порядка ,
чем x при x 0.

27. Определение дифференциала

Тогда главная линейная относительно
x часть приращения функции
называется дифференциалом функции
в точке и обозначается dy .
Итак, по определению dy A x .
Теорема. Для того чтобы в точке х
функция имела дифференциал,
необходимо и достаточно, чтобы она в
этой точке имела производную.

28. Дифференциал функции

Приращение аргумента x в этом
случае принято обозначать dx и тогда
dy f ' x0 dx , где dx x . В
произвольной точке x dy f ' x dx .
Замечание. Из последней формулы
получается еще одно обозначение
dy
производной f ' x
.
dx

29. Дифференциал функции

Пример.
d sin x cos xdx;
1
1
d tgx
dx; d ln x dx;
2
x
cos x
2
d x 2 xdx;
d x a dx

30. Дифференциал функции

Как и для производной, для
дифференциала функции имеют
место формулы:
1. d u v du dv;
2. d uv vdu udv ;
u vdu udv
v 0 ;
3. d
2
v
v
4. d (cu) cdu .

31. Инвариантность дифференциала

По правилу дифференцирования
сложной функции
dy yu u x dx yu (u x dx) y du.
Здесь форма дифференциала остается
неизменной, но под дифференциалом
аргумента понимается не приращение
этого аргумента, а его дифференциал.

32. Производные высших порядков

Введем теперь понятие производной
второго порядка функции f x .
Производную от первой производной
функции f x , т.е. y ' ' будем называть
производной второго порядка (тогда y ' производная первого порядка) и будем ее
обозначать y ' ' или f ' ' x . Далее
y' ' y' ' ' f ' ' ' x - это производная
третьего порядка, … а y n 1 ' y n - это
производная n-го порядка.

33. Дифференциалы высшего порядка

Дифференциал от дифференциала
данной функции называется ее
дифференциалом второго порядка и
2
2
обозначается d y d f ( x) . По
определению
d y d (dy) d ( f ( x)dx) ( f ( x)dx) dx f ( x)dx .
2
2
2
d y f ( x)dx ,
2
Итак,
d y f ( x)dx
3
3
и т.д.

34. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана
параметрическими уравнениями
x x(t ), y y (t ), t ( , ).
И пусть эти функции
dy yt dt yt
дифференцируемы. Тогда
dx xt dt xt
Если существует вторая производная,
то
( y x ) t
y xx
xt

35. Пример

Найти производную функции
Имеем
x a(t sin t ),
y a(1 cos t ).
t
t
2 sin cos
a sin t
t
2
2
y x
ctg .
a(1 cos t )
2
2 t
2 sin
2
y xx
1
t
2a sin
(1 cos t )
2
2
1
t
4a sin
2
4
.

36. Производные неявных функций

Пусть значения х и у связаны
уравнением F(x,y)=0. Если функция
у=f(х), определенная на некотором
промежутке, при подстановке ее вместо
у в уравнение F(x,y)=0 обращает это
уравнение в тождество, то говорят, что
это уравнение задает функцию у=f(х)
неявно.

37. Пример

Продифференцируем функцию
y x ln y .
1
Имеем y 1 y. Отсюда
y
1
y (1 ) 1,
y
y
y
.
y 1

38. Продолжение

Найдем вторую производную.
y
Так как y
, то
y 1
y
y ( y 1) yy
y ( y 1 y )
( y 1)
( y 1)
y
y
.
2
3
( y 1)
( y 1)
2
2

39. Логарифмическое дифференцирование

Найти производную функции y (cos x) .
Прологарифмируем обе части:
ln y x cos x. Теперь берем
производную
y
cos x x sin x, y y (cos x x sin x).
y
x
Окончательно
y (cos x) x (cos x x sin x).
English     Русский Rules