Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2)

1. Лекция 2. Элементы дифференциального исчисления

2.1.Производная функции. Дифференциал
2.2. Методы вычисления производных
2.3. Производные и исследование
функций
Майер И.И.
1

2. 2.1 Производная функции. Дифференциал

Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис.1) . Отметим на
графике точки М0(х0,y0) (у=f(x0)) и М (х0+ х) (f(x0+ х)). Построим :
прямую М0К, касательную к графику функции в точке М0(х0,y0) и
прямую М0М, секущую, соединяющую точки М0 и М.
Тангенс угла наклона секущей
Если
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) MN
y
K ñåê tg
x
x
x
х 0, то и у 0. При этом секущая М0М неограниченно
приближается к положению М0К, к касательной к графику у = f(х) в
точке М0. Угловой коэффициент касательной получим из
предельного перехода
K lim tg tg , K lim
x 0
x 0
y
x
Майер И.И.
lim
x 0
KN
x
2

3. Производная - определение.

Производной функции у = f(х)в точке х0 называется предел
отношения приращения функции у = f(х0+ х)-f(х0) к приращению
аргумента х при произвольном стремлении х к нулю, если
такой предел существует.
Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0).
f ( x0 x ) f ( x0 )
f ( x0 ) lim
x 0
x
Для производной в точке х0 можно использовать и другие обозначения,
например:
dy
df
y ( x0 ), ( x0 ), ( x0 ), y |x x0
dx
dx
Из предыдущих рассуждений следует, что геометрический смысл
производной – это тангенс угла наклона касательной к функции
y
KN
в точке
K lim
x 0
x
lim
x 0
x
Майер И.И.
3

4. Существование производной

1. Необходимое условие существования производной: функция определена
и непрерывна в точке (на интервале). Верно и обратное утверждение: если
функция дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна
Примеры функций, когда необходимое условие в точке х0 не выполняется
2. Достаточное условие существования производной в точке: производная
определена и непрерывна в точке (на интервале)
Примеры функций, когда достаточное условие не выполняется
Майер И.И.
4

5. Геометрический смысл производной, дифференциала

Геометрический смысл производной функции в точке х0 , f'(х0) - угловой
коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке М0(х0,y0).(слайд 3)
Дифференциал – определение. Рассмотрим рис.1. Приращение
у = f(x0+ x)- f(x0) при перемещении по секущей равно отрезку NМ, при
перемещении по касательной равно отрезку KN. Из треугольника М0KN
следует, что KN=M0N tg . Так как М0N= х , а tg =f'(х0) , то KN = f‘(x0) х.
Произведение f'(x0) х называется дифференциалом функции у=f(x)
в точке х0 и обозначается dy(х), df(х). Учитывая, что х=dx, получаем
dy=df= f'(x0) х =f'(x)dx
Геометрический смысл дифференциала (отрезок KN ) – это первое
линейное приращение функции в точке х0 + х
Майер И.И.
5

6. Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется в заданном направлении.
Пусть S=S(t) – закон движения материальной точки в зависимости от
времени t, t0 – время начала движения, S(t0) – путь в момент t0.
В момент времени t= t0+ t путь равен S(t0+ t), приращение пути за отрезок
времени t равно S=S(t0+ t) - S(t0).
Тогда средняя скорость за время t равна Vср
S
t
а скорость прямолинейного движения материальной точки в момент
времени t0 (мгновенная скорость) есть производная от пути по времени.
Это – «механический смысл» производной.
S (t0 t ) S (t0 )
V (t0 ) lim
S (t0 )
t 0
t
В каком-то смысле – производная функции – это скорость ее
изменения – чем круче график, тем больше производная ( по
абсолютной величине)
Майер И.И.
6

7. Производная и характер графика

1. Монотонно возрастающая функция, Производная положительна
2. Монотонно убывающая функция.
Производная отрицательна
Неубывающая функция
Производная неотрицательна
3. Немонотонная функция. Производная в точках экстремума равна нулю
Майер И.И.
7

8. Немонотонные функции

Функция имеет интервалы монотонного роста и монотонного спада. В
точке а функция имеет минимум, в точке b- максимум. Это – глобальные
минимум и максимум
Внутренними (локальными) точками минимального или максимального
(экстремального) значения являются x1, x2, x3, x4.
Точки x1, x3 – точки максимума, точки x2, x4 – точки минимума
В этих точках касательная параллельна оси х, тангенс угла
наклона равен нулю, следовательно производная в этих точках
равна нулю, а вокруг этих точек производная меняет знак.
Аналитическое определение точек экстремума связано с нахождением
первой производной функции
Майер И.И.
8

9. Первая производная и экстремумы функции

Если функция у=f(х) имеет конечную производную в каждой точке
отрезка [а,Ь], то она дифференцируема на этом отрезке и ее
поведение можно исследовать с помощью производной f'(x).
Рассмотрим еще раз график функции рис.7.
Наблюдаем интервалы возрастания, убывания, точки изменения
поведения функции х1, х2, х3, х4.
В точках х1, х3 функция имеет наибольшее в окрестности значение,
в х2, х4 – наименьшее
Определение: любая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция
достигает на этом отрезке своего минимального и своего
максимального значения
Майер И.И.
9

10.

1.Необходимое условие существования экстремума в точке: f'(x) =0 .
Точки, в которых f'(x)=0 являются возможными точками экстремума.
Они называются стационарными (характеристическими) точками.
2. Достаточное условие существования экстремума в точке:
- точка х=с является стационарной,
- производная f'(x) при переходе аргумента через стационарную
точку х=с меняет знак
Правило знаков: - производная в стационарной точке меняет знак:
- с плюса на минус – в точке х=с - максимум;
- с минуса на плюс, - в точке х=с - минимум.
- производная в стационарной точке не меняет знак. В точке
х=с нет ни минимума, ни максимума.
Пример. Пусть f(x)= x3. Тогда f'(x) = 3x2=0 и стационарная точка с=0
Очевидно, знак f'(x) = 3x2 вокруг точки с=0 не меняется, в этой точке
нет ни минимума, ни максимума
График функции f(x)=
Майер И.И.
10

11.

• 2.2. Вычисление производных
• Таблица производных
• Основные правила дифференцирования
• Основные методы вычисления производных
Майер И.И.
11

12. Таблица основных формул дифференцирования

1.
y c , y 0, c
2.
y x , y x 1 .
3.
y a x , y a x ln a; y e x , y e x .
4.
y log a x , y
5.
y sin x, y cos x.
постоянная
1
.
x ln a
y cos x, y sin x.
1
.
2
cos x
6.
y tgx , y
7.
1
y ctgx , y
.
2
sin x
Майер И.И.
12

13. Основные правила дифференцирования

Если функции u=u(х) и v=v(х) дифференцируемы в точке х, тогда
справедливы следующие правила дифференцирования:
1.
Здесь с -постоянная
( cu ) c u
2.
3.
4.
(u v ) u v
(u v ) u v v u
u v v u
u
v2
v
Производная суммы функций
Производная произведения функций
Производная частного
5. Производная сложной функции. Пусть функция у=f(u), где u=u(х).
Тогда у есть сложная функция от х: y=f(u(x)), а u — промежуточный
аргумент. Производная от сложной функции находят по правилу
dy
y ( x)
y (u ) u ( x )
dx
или
dy dy du
dx du dx
Майер И.И.
13

14. Правила дифференцирования. Примеры

1. Дифференцирование произведения двух функций
x
x
x
x
x
y e x ; y e x e x e x e x ;
1
2
1
2
1
2
1
x
x 1
x 1
2
y e x e x e
x .
2
2 x
2. Дифференцирование частного двух функций
1 2
x 2 x ln x
ln x
(ln x) x 2 ln x x 2 x
x(1 2 ln x) 1 2 ln x
y 2 , y
.
2
4
4
3
2
x
x
x
x
x
Майер И.И.
14

15. Примеры дифференцирование сложной функции

Дифференцирование сложной функции производится по формуле
y ( x )
Пример 1
Пусть
Обозначив
Тогда
dy
y (u ) u ( x )
dx
y cos3 x
u cos x
.
,
y ( x ) 3u 2 u ( x )
Следовательно,
или
dy
dy du
dx
du dx
y u3
получим
,
u ( x ) sin x
y ( x ) 3 cos 2 x sin x
Майер И.И.
15

16. 3. Правило дифференцирования сложной функции

Пример 2
y (х) = e-x
Пусть
Обозначим U(x)= -x;
Тогда
у (х)= e -x = eU(x)
Так как
то
dy
u
x du
e e ;
1,
du
dx
dy
x
y
e
dx
Майер И.И.
16

17. Производные высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (а,Ь) и имеет
первую производную у '= f ' (х).
Первая производная является функцией и может быть
дифференцируема, иметь производную. Производная первой
производной называется второй производной, или производной
второго порядка и обозначается символами
d2y
y , f ( x ), 2
dx
( 2)
( 2)
y , f ( x).
или
Производной n-гo порядка функции f(x) называется первая
производная от производной (n-1)-го порядка:
f
(n)
f
( n 1)
( x)
Майер И.И.
17

18. Вычисление производных высших порядков. Примеры

Найти значение третьей производной функции у=е(5х +3).
Вычислить ее значение в точке х=0.
• Вычислим сначала третью производную
y e
5x 3
5e
5x 3
, y e
5 x 3
5e 25e
5x 3
5 x 3
, y 25e
(3)
5x 3
125e
5 x 3
Подставим х=0. Получим значение третьей производной в точке
y ( 3) (0) 125 e5 0 3 125 e3 .
Майер И.И.
18
;

19. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале [а,Ь],
если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.
Функции на рис.10 выпуклая на интервале, парабола у=х2 (рис.12) выпуклая на
всей числовой оси. Для выпуклой функции справедливо: f"(х)>0
График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале [а,Ь],
если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.
Для вогнутой функции справедливо:
f"(х)<0
Майер И.И.
19

20.

Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть
графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x)
За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная
функции y = f(x), f"(х) .
Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых:
- вторая производная у"= f"(х) =0. Это - возможная точка перегиба.
- если слева и справа от возможной точки перегиба вторая
производная меняет знак – то это точка перегиба.
Если f"(х) меняет знак с минуса на плюс- график изменяется от
вогнутого на выпуклый, с плюса на минус – от выпуклого на
вогнутый
Майер И.И.
20

21.

• 2. 3. Производные и исследование функции
Общая схема исследования
Пределы и асимптоты графика функции
Примеры решения задач
Майер И.И.
21

22. Общая схема исследования функции

Рекомендуемая схема исследования
1. Найти область определения функции (ООФ).
2. Определить точки разрыва функции, интервалы
непрерывности и вертикальные асимптоты.
3. Исследовать функцию на четность, нечетность,
периодичность.
4. Исследовать пределы функции – на границах ООФ, в
точках разрыва, найти уравнения асимптот.
5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки
перегиба графика.
7. Найти точки пересечения графика с осями координат.
8. Построить график.
9. Определить область значений (ОЗФ).
Майер И.И.
22

23. Асимптоты графика функции

Асимптота к графику функции y=f(x) – это прямая, к которой
приближается точка M(x,y), лежащая на графике, в данном
процессе:
1. При неограниченном удалении ее от начала координат, при
устремлении точки к границам области определения. Здесь
говорят о наклонной асимптоте y=kx+b или ее частном случае
– горизонтальной асимптоте y=b
Величины k и b определяют по формулам
f ( x)
k lim
, b lim( f ( x ) kx )).
x
x
x
2. В точках разрыва второго рода, хр =a, говорят о вертикальной
асимптоте x=a. Это прямая, параллельная оси Y, к которой
приближается точка M(x,y), лежащая на графике, при устремлении
Точки к точке разрыва.
Майер И.И.
23

24. Примеры исследования функции

Пример1: Исследовать функцию у=(x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2
1.Область определения функции (- , + ).
2. Точки разрыва – нет
3. Функция общего вида
4. Пределы функции: x->- y -> - ; x -> y -> Асимптот нет
5. Точки экстремума, интервалы монотонности
Найдем стационарные точки. Для этого найдем первую
производную и приравняем ее нулю
у'(х)= Зх2-6х=Зх(х-2)=0. Стационарные точки х=0; х=2. Нанесем эти
точки на числовую ось (рис.9), проанализируем знаки
производной у'=Зх(х-2) вокруг стационарных точек. При переходе
через х=0 производная меняет знак с + на -, х=0 – максимум; при
переходе через х=2 производная меняет знак с – на + , х=2 –
минимум
Майер И.И.
24

25.

Пример 1 (продолжение). Исследуемая функция у = (x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2
х=0 – максимум ; y(0) =2
х=2 – минимум ; y(2) = -2.
В точке х=-0.5 y(-0.5)=9/8; в точке х=4 y(4)=18.
6. Точки перегиба. Определим вторую производную, приравняем
ее нулю. Получаем y’’=(3x2-6x)’ = 6x-6=0. точка перегиба x=1.
7. Найдем точки пересечения с осью х: х1=-0.73; х2 =0; х3=2.73
8. Построим качественный график
18
20
0.73
1
10
2
2
y ( x)
0
0
10
18
20
2
0
2
2
x
4
4
9. Область значений ОЗФ = (- , + ).
Майер И.И.
25

26.

(3 x ) 2
y
1 x
Пример 2. Исследуемая функция
1. ООФ – (- ,1) (1,+ )
2. Точка разрыва хр =1. Интервалы непрерывности
(- ,1), (1,+ ). Вертикальная асимптота хр =1
3. Функция общего вида. Не является ни четной, ни нечетной, ни
периодической.
4.Определяем пределы:
-на границах ООФ. Совместим исследование с поиском
наклонной асимптоты y = kx + b.
9
6
1
2
f ( x)
(3 x )
9 6x x
x
k lim
lim
lim
lim x
1
2
x
x
x
x
1
x
(1 x ) x
x x
1
x
9
5
2
(3 x )
9 6x x
9 5x
x
b lim
x
lim
lim
5.
xlim
x
x 1 x
x 1
1
x
1
x
1
x
2
Уравнение наклонной асимптоты y = -x + 5
Майер И.И.
26

27.

Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция
(3 x ) 2
y
1 x
Пределы в точке разрыва, справа х 1+ , слева х 1-
(3 x ) 2
(3 x ) 2
lim
, lim
.
x 1 0 1 x
x 1 0 1 x
5. Определяем экстремумы функции. Для этого найдем
производную, приравняем ее нулю, посмотрим знаки
производной
(3 x ) (1 x ) (1 x ) (3 x )
y
2
(1 x )2
2
(3 x )(1 x )
0
2
(1 x )
Характеристические точки х1=3; х2= -1.
В окрестности точки x= -1 знак производной меняется с минуса
на плюс,x2= -1 – точка минимума и y(-1)=8.
Нетрудно убедиться, что в точке x1=3 максимум, y(3)=0.
Майер И.И.
27

28.

Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция
(3 x ) 2
y
1 x
6. Определяем точки перегиба. Для этого находим вторую
производную, приравниваем ее нулю. Точек перегиба
функция не имеет, так как ее вторая производная нуля не
имеет
(3 x )(1 x )
8
y
.
3
(1 x )
(1 x )
На интервале (- ,1) вторая производная положительна, и
график выпуклый. На интервале (1,+ ) вторая производная
отрицательная и график — вогнутый.
Майер И.И.
28

29.

Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция
(3 x ) 2
y
1 x
7. Точки пересечения функции с осями координат: (3,0) и (0,9)
8. График функции
9. Область значений (ОЗФ): (- ,0] [8,+ )
Майер И.И.
29

30.

Пример 3. Исследуемая функция
1. ООФ – вся числовая ось, ООФ=(- , + ).
2. Точек разрыва нет; вертикальной асимптоты нет; интервал
непрерывности (- , + ).
3. Функция общего вида.
4. Пределы на границах ООФ определяем, совместив задачу с
поиском асимптоты.
( x 1)
exp
2
k lim
x
x
lim
( x 1) 2
b lim exp
x
2
( x 1) 2
y exp
2
x
1
( x 1) 2
x exp
2
1
lim
x
( x 1) 2
exp
2
0
0
Очевидно, ось х – горизонтальная асимптота
Майер И.И.
30

31.

Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
( x 1)2
y exp
2
5. Найдем экстремум функции и интервалы монотонности.
( x 1)
y exp
2
2
( x 1) 2
(1 x ) exp
; y 0, x 1
2
Стационарная точка х=1 является точкой максимума функции, так
как при переходе через эту точку (слева направо) производная
меняет знак с плюса на минус.
ymax y (1) e0 1
Майер И.И.
31

32.

Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
( x 1)2
y exp
2
6. Вычислим у" и найдем точки перегиба:
2
( x 1)
( x 1)2
x ( x 2) exp
y (1 x ) exp
2
2
Вторая производная обращается в нуль при х=0 и при х=2. В обеих
этих точках происходит смена знака у", т.е. обе точки будут
точками перегиба. Функция в этих точках равна:
y ( 0) e
1
2
1
0.62,
e
y ( 2) e
1
2
0.62.
Майер И.И.
32

33.

Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
( x 1) 2
y exp
2
7. Точка пересечения с осью y(х=0):(0, exp(-0.5)) или (0, 0.606).
Точек пересечения функции с осью х нет.
8. График функции
9. Область значений (ОЗФ) (0, 1]
Майер И.И.
33