Дифференциальное исчисление

1. Дифференциальное исчисление

2.

3. Геометрический смысл производной

4. Механический смысл производной

5.

6. Понятие дифференциала

Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Дифференциалы высших порядков

7. Инвариантность дифференциала

dy=y'dx – формула для дифференциала
Пусть y=f(x), x=φ(t).
Тогда dy=y't ∆t =y'tdt
y't=y'x·x't
dy=y'x·x't ∆t
Так как x=φ(t), x't ∆t=dx
dy=y'xdx

8. Схема вычисления производной

9. Правила дифференцирования

Производная постоянной равна нулю
Производная аргумента равна 1
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых
функций равна такой же сумме производных этих функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна
произведению производной первой функции и второй плюс произведение
первой функции и производной второй функции

10. Производная сложной функции и обратной функции

11. Приложения производной. Основные теоремы

12.

13. Правило Лопиталя

14. Формула Тейлора

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Лемма 1. Если функция f(x) имеет в точке х0 производную n-го порядка, то существует многочлен Pn(x) степени не выше n такой, что
Этот многочлен представляется в виде:
Теорема 1. Пусть существует δ 0 такое, что функция f(x) имеет в δ-окрестности точки х0 производные до (n+1) порядка включительно.
Тогда для любого
интервалу с концами
найдется такая точка , принадлежащая
и , такая, что
+
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Теорема 2. Если существует

15. Возрастание, убывание функции

16. Экстремум функции

Необходимое условие экстремума
Точки,
в которых выполняются необходимые условия экстремума,
называются стационарными (или критическими)
!
Точки должны принадлежать области определения функции

17.

18.

19.

20.

21. Асимптоты графика функции

22.

23. Общая схема исследования функции