Дифференциальное исчисление
Производная функции
Производная сложной функции
Таблица производных основных функций
Основные правила дифференцирования
Производная неявной функции
Логарифмическое дифференцирование
Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
Дифференциал функции
Производные и дифференциалы высших порядков
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
Промежутки монотонности функции
Необходимое условие локального экстремума
Достаточное условие локального экстремума
Необходимое условие точки перегиба
Достаточное условие точки перегиба
Асимптоты графика функции
Схема полного исследования графика функции
1.18M
Category: mathematicsmathematics

Диф исчисление

1. Дифференциальное исчисление

2. Производная функции

3.

Пусть задана функция y f ( x ) , определенная на
некотором промежутке. При каждом значении
аргумента х из этого промежутка функция принимает
определенное значение.
Пусть аргумент х получил некоторое приращение,
тогда функция также получит некоторое приращение.
x
y f ( x)
x x
y y f ( x x)

4.

Тогда приращение функции выразится формулой:
y f x x f ( x)
Рассмотрим отношение вида:
y f ( x x) f ( x)
x
x
Определение: Производной функции y f x по
аргументу х называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента,
когда последнее произвольным образом стремится к
нулю:
f x x f x
y
y lim
lim
.
x 0 x
x 0
x

5.

Обозначения производной:
dy
y , f x , f x0 , y x0 ,
dx
Для каждого значения х производная функции
имеет определенное значение, то есть производная
также является функцией от аргумента х.
Операция вычисления производной называется
дифференцированием функции.

6.

Пример: В произвольной точке х вычислить
2
производную функции y x .
Решение:
Определим приращение функции y , для этого
аргументу х придадим некоторое приращение:
õ
x x
y x
2
y y ( x x)2

7.

Тогда приращение функции:
y x x x 2 х х х х х х x(2 х x).
2
Найдем производную функции:
y
x(2 x x)
y lim
lim
lim 2 x x 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
Следовательно, по определению ( x 2 ) 2 x.

8.

Геометрический смысл производной: значение
производной f x0 в точке х0 равняется тангенсу
угла наклона касательной, проведенной к графику
функции y=f(x) в точке М0(х0; у0):
tg f x0
или k f x0 .
Механический смысл производной: производная от
пути по времени есть скорость движения в данный
момент времени.
S
S (t1 t ) S (t1 )
vì ãí lim
lim
.
t 0 t
t 0
t

9.

Пример:
Найти
уравнения
касательных
проведенных к графику функции y x 2 в точках:
1 1
M 1 ; и M 2 1;1 .
2 4
Решение:
Запишем уравнение
касательной в общем виде:
y y0 f ( x0 )( x x0 )

10.

y x 2 , y 2 x.
Тогда уравнение касательной в точке
1
1
y 2 1
2
2
1 1
M1 ; :
2 4
1
1
y 1 x èëè 4 x 4 y 1 0.
4
2
Уравнение касательной в точке
M 2 1;1 :
y ( 1) 2( 1) 2.
y 1 2 x 1 èëè 2 x y 1 0.

11. Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция y f u , где
u x , то есть функция вида y f x .
Теорема: Если функция u x имеет в точке х
производную u x x , а функция y f u имеет
при соответствующем значении u производную
yu f u , то сложная функция y f x в точке
х также имеет производную, которая определяется
по формуле:
y x fu u x x .

12. Таблица производных основных функций

1. C 0, C const
2.
3.
n
u
n u n 1 u
u
u
a
a
ln a u
4. log a u
5.
6.
1
u
2
cos u
8. ctg u 1 u
sin 2 u
9. (arctg u ) 1 u
1 u2
10. arcctg u 1 u
1 u2
sin u cos u u
11. arcsin u
cos u sin u u
12. arccos u
1
u
u ln a
7. tg u
1
1 u
2
u
1
1 u
2
u

13.

При вычислении производных достаточно часто
встречаются производные следующих функций,
которые следует запомнить:
x 1
1
1
1
u
u
2 u
2 u
u
u
e e u
u
u
1
ln u u
u

14.

2
5
y
(3
x
1)
.
Пример. Вычислить производную
Решение:
Данная функция является степенной функцией
y 5(3x 2 1)4 (3x 2 1) 5(3x 2 1) 4 (6 x 0)
30 x(3x 2 1) 4 .
Пример. Вычислить производную y sin(ln 3 x).
Решение:
Данная функция является тригонометрической
функцией
y cos(ln 3 x) (ln 3 x) cos(ln 3 x) 3ln 2 x (ln x)
1
3
2
cos(ln x) 3ln x .
x

15. Основные правила дифференцирования

1.Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
C u C u , C const.
2. Производная суммы функций равна сумме
производных функций: (u v) u v .
3. Производная произведения двух функций
определяется по формуле: (uv) u v v u.
4.
Производная
частного
двух
функций
определяется по формуле: u u v v u
.
2
v
v

16.

Пример. Вычислить производную y tgx.
Решение:
Воспользуемся формулой производной частного
двух функций:
(sin
x
)
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
y tgx
2
cos x
cos x
cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x sin 2 x
1
.
2
2
2
cos x
cos x
cos x

17.

Пример: Вычислить производную
y x 3 1 arctg 2 x ln 2.
Решение:
Воспользуемся
формулами
производной
произведения и суммы двух функций:
3
y x 1 arctg 2 x x 3 1 arctg 2 x ln 2
1
2 x3 1
3
x 1 arctg 2 x x 1
3
3x 2 arctg 2 x
2 x3 1
2 x3 1
.
2
1 4x
1
2
x
1 (2 x) 2

18. Производная неявной функции

Пусть функция задана уравнением F ( x; y ) 0.
При вычислении производной функции, заданной в
неявном виде, необходимо продифференцировать обе
части уравнения по аргументу х, считая, что у есть
функция от х.

19.

Пример: Вычислить производную y 6 y x 2 0.
Решение:
Продифференцируем обе части уравнения по х:
6 y 5 y y 2 x 0.
Сгруппируем слагаемые, содержащие y , получим
2x
y 6 y 1 2 x y 5 .
6 y 1
5
Замечание: Для вычисления производной неявной
функции при данном значении аргумента х нужно
знать и значение функции у при данном значении
аргумента х.

20.

При вычислении производной логарифмической
функции иногда возможно функцию сначала
упростить, используя свойства логарифмов:
1. log a a 1;
2. log a 1 0;
3. log a b n n log a b;
4. log a b c log a b log a c;
b
5. log a log a b log a c.
c

21.

2
1
5
x
Пример: Вычислить производную y ln 5 5 .
2x 3
Решение:
Преобразуем данную функцию:
1
5
2
2
2
1
5
x
1
5
x
1
1
5
x
5
y ln
ln 5
ln 5
5
2x 3
5 2x 3
2x 3
1
ln(1 5 x 2 ) ln(2 x5 3) .
5
Тогда
1 1
1
2
5
y
(1 5 x ) 5
(2 x 3)
2
5 1 5 x
2x 3
1
1 10 x
10 x 4
x3
5
2 x
5
.
2
2
5 1 5 x 2 x 3
1 5 x 2 x 3

22. Логарифмическое дифференцирование

Определение: Сложной показательной функцией
называется функция, у которой и основание и
показатель степени являются функциями аргумента
v( x)
х: y u ( x) .
Для
вычисления
производной
сложной
показательной функции прологарифмируем функцию
ln y ln u ( x)v ( x ) v( x) ln u ( x)
Дифференцируем полученное равенство по х,
считая у(х): 1
1
y v ln u v u .
y
u

23.

Домножим на у левую и правую часть выражения:
1
y y v ln u v u .
u
Подставим вместо у выражение y u v , получим:
1
v
y u v ln u v u .
u
Прием вычисления производной при котором
функцию сначала логарифмируют, а затем
дифференцируют называется логарифмическим
дифференцированием.

24.

x
Пример: Вычислить производную y x 4 .
3
Решение:
Прологарифмируем данную функцию:
ln y ln x 4 x ln x 4 .
x
3
3
Продифференцируем левую и правую часть
полученного выражения:
1
1
3
3
y ln x 4 x 3
x 4 ;
y
x 4
2
3x
3
y y ln x 4 x 3
;
x 4
3
x
3
x
3
3
Тогда
y x 4 ln x 4 3
.
x 4

25. Производная обратной функции

y f ( x ) , которая
Пусть задана функция
определена, непрерывна и монотонна на промежутке
Х. Функция
является для нее обратной.
x ( y)
Теорема: Если функция y f ( x )
имеет в точке
х0 производную f ( x0 ) 0 , то обратная функция
x ( y ) также имеет в соответствующей точке
y0 f ( x0 ) производную, которая определяется по
формуле:
1
( y0 )
.
f ( x0 )

26.

Например, вычислим производную функции
y arcsin x.
Функция
y arcsin x является обратной для
функции x sin y.
Так как x ( y ) sin y cos y, то по теореме о
производной обратной функции получим:
1
1
1
1
y ( x)
.
x ( y ) cos y
1 sin 2 y
1 x2
Таким образом,
arcsin x
1
1 x
2
.

27. Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими
уравнениями: x (t ), y (t ), t1 t t2 .
Предположим,
что
эти
функции
имеют
производные и функция x (t ) имеет обратную
функцию t Ô ( x ), которая также имеет производную.
Тогда y (t ) можно рассматривать как сложную
функцию: y Ô ( x) , где t Ô ( x).

28.

По правилу дифференцирования сложной функции
y x yt t x t t Ô x x .
На основании теоремы о дифференцировании
обратной функции следует, что Ô ( x) 1 , тогда
x
t (t )
yt
t t
y x .
y x
или
xt
t t
Полученная формула дает возможность вычислять
производную y x функции, заданной параметрически,
не находя выражения непосредственной зависимости
у от х.

29.

Пример: Вычислить производную функции,
заданной параметрически: x a(t sin t );
y a(1 cos t ).
Решение:
y
t
На основании формулы y x . вычислим:
xt
yt a(1 cos t ) a sin t
x a(t sin t ) a(1 cos t )
t
t
t
t
2sin cos
cos
a sin t
sin t
t
2
2
2
y x
ctg .
t
a (1 cos t ) 2sin 2 t
2
2 t
2sin
sin
2
2
2

30. Дифференциал функции

31.

Пусть функция y f ( x ) дифференцируема на
отрезке [a; b]. Производная этой функции в точке х
определяется равенством: lim y f ( x).
x 0 x
y
f ( x) ( x) , где ( x ) бесконечно
Тогда
x
малая величина при x 0.
Откуда приращение функции принимает вид:
y f ( x) x ( x) x.
f ( x) x – главная часть приращения,
( x) x – бесконечно малая величина более
высокого порядка.

32.

Определение: Дифференциалом функции y f ( x )
называется произведение производной функции на
приращение аргумента: dy f ( x) x.
Рассмотрим функцию y x , тогда дифференциал
этой функции, с одной стороны равен dy dx , а с
другой стороны, по определению: dy ( x) x x.
Следовательно, приращение аргумента равняется
дифференциалу аргумента: x dx.

33.

Тогда, согласно определению, дифференциал
функции равен произведению производной функции
на дифференциал аргумента:
dy f ( x) dx.
Пример: Найти дифференциал функции y tgx.
Решение:
dx
dy tgx dx
.
2
cos x

34.

Так как y f ( x) x ( x) x, а ( x) x –
бесконечно малая величина более высокого порядка,
то ею при вычислениях можно пренебречь, откуда
получаем, что y f ( x) x или y dy.
Так как y f ( x x) f ( x) , то
f ( x x) f ( x) f ( x) x.
f ( x x) f ( x) x f ( x) – формула приближенных
вычислений.

35.

Пример: Вычислить 4 15,8.
Решение:
4
Имеем f ( x) x .
Введем обозначения x x 15,8, , õ 16 , тогда
x 15,8 x 15,8 16 0,2, f (16) 4 16 2.
1
f ( x) x
4
3
4
1
,
1
1
f (16)
.
3
4
32
4 16
4 4 x3
Исходя из формулы приближенных вычислений
имеем:
4
1
15,8 f (16) x f (16) ( 0,2) 2 1,99375.
32

36. Производные и дифференциалы высших порядков

37. Производные высших порядков

Пусть функция y f ( x )
дифференцируема на
некотором отрезке [a; b]. Значения производной этой
функции f ( x) зависят от х, то есть производная
представляет собой функцию аргумента х.
Дифференцируя эту функцию, получаем так
называемую вторую производную от функции f ( x ).
Определение: Производной второго порядка
(второй производной) функции y f ( x ) называется
производная от её производной: y y .
Вторая производная обозначается y , f x .

38.

Производная от второй производной называется
производной третьего порядка или третьей
производной и обозначается: y или f x .
Производные четвертого, пятого и высших
порядков обозначают при помощи римских цифр
или в круглых скобках: y IV , yV , yVI или y 4 , y 5 , y 6 .
Определение: Производной n-го порядка от
функции y f ( x )
называется производная от
производной (n–1)-го порядка:
y
n
y
n 1
.

39.

5
y
x
Пример: Для функции
найти y , y , y ,
Решение:
y 5 x 4 ,
y 20 x3 ,
y 60 x 2 ,
y (4) 120 x,
y (5) 120,
y (6) 0,
y (7) y (8)
0.
kx
y
e
, (k const )
Пример: Для функции
выражение ее производной любого порядка.
Решение:
y ekx ,
y k ekx ,
Следовательно,
y k 2 ekx ,
y ( n ) k n ekx .
найти
y k 3 e kx ,

40.

x (t );
Если функция задана параметрически:
,
y (t ).
то ее производные вычисляются по формулам:
y
y
yt
x t
xx t
, y xx
, y xxx
и так далее.
y x
xt
xt
xt
Производную второго порядка можно вычислить
по формуле:
ytt xt xtt yt
y xx
.
2
xt

41. Дифференциалы высших порядков

Пусть дана функция y f ( x ) , где х – независимая
переменная. Дифференциал этой функции dy f ( x)dx
есть функция аргумента х, но от х может зависеть
только первый сомножитель, второй – является
приращением независимой переменной х (dx x) и
от значения этой переменной не зависит.
Определение: Дифференциал от дифференциала
функции называется вторым дифференциалом или
дифференциалом второго порядка этой функции:
d (dy ) d 2 y.

42.

В силу определения дифференциала функции:
d 2 y d (dy ) f ( x)dx dx f ( x)dx 2 .
Дифференциал от дифференциала второго
порядка называется третьим дифференциалом этой
функции: d (d 2 y ) d 3 y.
3
2
2
d y d (d y ) f ( x)dx dx f ( x )dx 3 .
Определение: Дифференциалом n-го порядка
называется дифференциал от дифференциала (n–1)
порядка:
n
n 1
( n 1)
n 1
d y d (d y ) f
( x)dx dx f ( n ) ( x)dx n .

43.

Пользуясь дифференциалами различных порядков,
производную любого порядка можно представить как
отношение
дифференциалов
соответствующих
порядков:
n
dy
d2y
d3y
d
y
(n)
f ( x) , f ( x) 2 , f ( x) 3 , , f ( x) n .
dx
dx
dx
dx
Пример: Вычислить d 3 y функции y x 4 3x 2 4.
Решение:
y 4 x 3 6 x,
y 12 x 2 6,
d 3 y f ( x)dx3 24 x dx 3.
y 24 x.

44. Применение дифференциального исчисления к исследованию функции

45. Промежутки монотонности функции

f ( x) дифференцируема
Теорема: Если функция
на интервале (а; b) и f ( x) 0 f ( x) 0 на (а; b),
то функция f ( x) не убывает (не возрастает) на (а; b).
Замечание:
Если
производная
функции
положительна f ( x) 0
на интервале (а; b), то
функция возрастает на этом интервале, если
производная отрицательна f ( x) 0 на (а; b), то
функция убывает на этом интервале.
Интервалы возрастания и убывания функции
называют промежутками монотонности функции.

46.

Определение: Точка х0 называется точкой строгого
локального максимума функции f ( x) , если для всех
х из некоторой δ-окрестности точки х0 выполняется
неравенство: f ( x) f ( x0 ).
Определение: Точка х0 называется точкой строгого
локального минимума функции f ( x) , если для всех
х из некоторой δ-окрестности точки х0 выполняется
неравенство: f ( x) f ( x0 ).

47.

Локальный максимум и локальный минимум
функции объединяются общим названием –
локальный экстремум.
Понятие экстремума носит локальный характер в
том смысле, что неравенство
f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
может и не выполняться для всех значений х из
области
определения
функции,
а
должно
выполняться лишь в некоторой δ-окрестности
точки х0.

48.

Функция может иметь несколько локальных
максимумов и несколько локальных минимумов,
причем локальный максимум может быть меньше
локального минимума.
Точка x x1 – точка максимума, а x x4 – точка
минимума, но f ( x1 ) f ( x4 ).

49. Необходимое условие локального экстремума

Теорема: Если функция f ( x) имеет в точке х0
локальный экстремум и дифференцируема в этой
точке, то ее производная в точке равна нулю:
f ( x0 ) 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том,
что если х1, х2, х3, х4 – точки локального экстремума,
то в соответствующих точках касательные к графику
функции параллельны оси Ох.
Такие точки называют стационарными точками
или точками возможного экстремума.

50.

Данное условие является необходимым, но не
является достаточным.
Например, функция y x3 .
y 3 x 2 ,
y 0 3 x 2 0
x 0.
Но в точке x 0 локального экстремума нет.
Поэтому точки в которых производная равна 0
называют точками возможного экстремума.

51. Достаточное условие локального экстремума

Теорема: Пусть функция f ( x) дифференцируема
в некоторой δ-окрестности точки х0. Тогда, если
f ( x) 0 для всех x ( x0 ; x0 ) и f ( x) 0 для всех
x ( x0 ; x0 ) , то в точке х0 функция имеет
локальный максимум. Если f ( x) 0 для всех
x ( x0 ; x0 ) и f ( x) 0 для всех x ( x0 ; x0 ) , то
в точке х0 функция имеет локальный минимум.
Если же при переходе через точку х0 производная
не меняет знак, то в точке х0 локального экстремума
нет.

52.

Пример. Исследовать на экстремум функцию:
y x3 3x.
Решение:
Вычислим производную функции и определим
точки возможного экстремума:
y 3x 2 3 3( x 2 1).
2
y 0, åñëè 3( x 1) 0 èëè x1 1, x2 1.
х
y
у
( ; 1)
+
–1
0
2
( 1; 1)

1
0
–2
(1; )
+

53.

Таким образом, при переходе через точку x 1
производная меняет знак с плюса на минус и
точка ( 1; 2) является точкой максимума.
При переходе через точку x 1 производная
меняет знак с минуса на плюс и точка (1; 2)– точка
минимума.
На интервале
на интервале
( ; 1) (1;функция
) возрастает,
( 1;1)убывает.
функция
Замечание: Теорема остается справедливой, если
функция в самой точке х0 не дифференцируема, а
только непрерывна.

54.

Интервалы выпуклости и вогнутости функции
y наf интервале
( x)
Определение: График функции
(a; b) имеет выпуклость направленную вниз
(вогнутый), если он расположен не ниже любой
касательной, проведенной к графику функции на
этом интервале.

55.

y наf интервале
( x)
Определение: График функции
(a; b) имеет выпуклость направленную вверх
(выпуклый), если он расположен не выше любой
касательной, проведенной к графику функции на
этом интервале.

56.

Теорема: Если функция y f ( x ) на интервале
(а; b)
имеет
вторую
производную
и
f ( x) 0 f ( x) 0 во всех точках этого интервала,
то график функции y f ( x )
на интервале (а; b)
имеет выпуклость направленную вниз (вверх).

57.

Определение: Точка
M x0 ; f ( x0 ) называется
точкой перегиба графика функции y f ( x ) , если
существует такая окрестность точки х0, в пределах
которой график функции f ( x) слева и справа от
точки х0 имеет разные направления выпуклости.

58. Необходимое условие точки перегиба

Теорема: Если график функции y f ( x ) имеет
перегиб в точке M x0 ; f ( x0 ) и функция f ( x) в
точке х0 имеет непрерывную вторую производную,
то она в этой точке равна нулю: f ( x0 ) 0.
Данное условие является необходимым, но не
является достаточным. Не всякая точка, для которой
f ( x0 ) 0 , является точкой перегиба.
Точки M x0 ; f ( x0 ) , для которых
называют критическими точками.
f ( x0 ) 0

59.

Данное условие является необходимым, но не
является достаточным.
4
y
x
.
Например, функция
y 4 x 3 ,
y 12 x 2 .
y 0 12 x 2 0
x 0.
Но в точке x 0
перегиба нет, в этой точке
функция имеет экстремум.

60. Достаточное условие точки перегиба

Теорема: Пусть функция y f ( x ) имеет вторую
производную в некоторой окрестности точки х0.
Тогда, если в пределах указанной окрестности
вторая производная имеет разные знаки слева и
справа от точки х0, то график функции f ( x) имеет
перегиб в точке M x0 ; f ( x0 ) .
Замечание: Теорема верна, если функция y f ( x )
имеет вторую производную лишь в некоторой
окрестности точки х0, за исключением самой точки
х0.

61.

Пример: Найти точки перегиба и определить
интервалы выпуклости и вогнутости графика
3
функции: y x 3x.
Решение:
Определим точки перегиба графика функции:
2
y 3x 3,
y 6 x.
y 0, åñëè
x 0.
6x 0
х ( ; 0)
y

0
0
(0; )
+
у
0
Точка О(0; 0) является точкой перегиба.
На интервале ( ; 0) график имеет выпуклость,
направленную вверх, а на (0; ) – выпуклость,
направленную вниз.

62. Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на
бесконечности, то есть при x
или вблизи
точек разрыва II рода, часто оказывается, что график
функции сколь угодно близко приближается к той
или иной прямой. Такие прямые называются
асимптотами.
Существует три вида асимптот:
1. вертикальные;
2. горизонтальные;
3. наклонные.

63.

Определение: Прямая
называется
x x0
вертикальной асимптотой графика функции
y f ( x ) , если хотя один из односторонних
пределов lim f ( x) èëè lim f ( x) обращается в
x x0 0
x x0 0
бесконечность.
То есть точка x x0 является точкой разрыва II
рода.
Определение: Прямая
называется
y A
горизонтальной асимптотой графика функции
y f ( x ) , если lim f ( x) A, A .
x
Если А не является конечным числом, то график
функции не имеет горизонтальных асимптот.

64.

Определение: Прямая
y kx b называется
наклонной асимптотой графика функции y f ( x ) ,
f ( x)
если
k lim
x
, ãäå k , k 0;
x
b lim f ( x) kx , ãäå b .
x
Если хотя бы одно из условий не выполняется, то
график функции не имеет наклонных асимптот.

65.

Пример: Найти асимптоты графика функции:
x2 2 x 3
y
.
x 2
Решение:
Точка x 2 является точкой разрыва II рода, так как
x2 2 x 3
4 4 3
5
lim
lim
,
x 2 0
x 2 0 2 á. ì . 2
x 2
á. ì .
x2 2 x 3
4 4 3
5
lim
lim
.
x 2 0
x 2 0 2 á. ì . 2
x 2
á. ì .
Следовательно, прямая x 2 является вертикальной
асимптотой.

66.

x2 2x 3
x2
lim
lim lim x ,
x
x 2
x x x
Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты:
f ( x)
x 2x 3
x
k lim
lim
lim 2 1
x
x x x 2
x x
x
x2 2 x 3
b lim f ( x) kx lim
x
x
x
x 2
2
2
x2 2 x 3 x2 2x
4x 3
4x
lim
lim
lim
4
x
x x 2
x x
x 2
Следовательно, прямая y x 4
является
наклонной асимптотой.

67.

x2 2 x 3
Схематично график функции y
x 2
выглядит следующим образом:

68. Схема полного исследования графика функции

1. Область определения функции;
2. Четность, нечетность функции;
3. Точки пересечения с осями координат;
4. Асимптоты графика функции;
5. Интервалы монотонности и точки экстремума;
6. Интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции и точки перегиба;
7. Построение графика функции на основании
пунктов 1– 6.

69.

Пример: Какие размеры нужно придать открытому
бассейну в основании которого окружность, чтобы
при заданном объеме V площадь его полной
поверхности S была наименьшей?
Решение:
Пусть r – радиус, h –высота бассейна, тогда
S r 2 2 rh, V r 2h.
V
Так как объем задан, то h 2 .
r
Тогда площадь полной поверхности выразится
V
2V
формулой:
2
2
S r 2 r 2 r
.
r
r

70.

Таким образом, представили функцию площади
как функцию переменной r, исследуем эту функцию
на экстремум:
2V
2V
S 2 r 2 , S 0 2 r 2 0.
r
r
2 r 3 2V 0;
2 r 3 2V
V
3
0
r
.
2
r
r 0.
4V
S 2 2V ( 2)r 2 3 .
r
3

71.

V
4V
3
Так как S
2 V 6 0, то в точке
V
функция имеет минимум.
r 3
V
Следовательно, h 2
r
V
3
V
r.
V
3
Таким образом, для того, чтобы при заданном
объеме V площадь его полной поверхности S была
наименьшей необходимо, чтобы высота бассейна
была равна его радиусу.
2
English     Русский Rules