Производная функции. Тема 5

1.

1
Тема 5. Производная функции
5.1. Задачи, приводящие к понятию производной.
Понятие
производной
является
одним
из
основных
математических понятий. Производная широко применяется при
решении целого ряда задач математики, физики, химии и других наук. К
понятию производной приводят, например, задачи, связанные с
изучением скорости каких-либо процессов. Рассмотрим две задачи:
1) Задача о вычислении скорости движущегося тела.
Пусть некоторое тело движется неравномерно вдоль некоторой
прямой по закону S S (t ) . В момент времени t0 тело находится на
расстоянии S(t0) от начала отсчета. Через некоторое время t тело будет
находиться на расстоянии S(t0+ t). Тогда путь, пройденный телом за
время t, составит S (t0 ) S (t0 t ) S (t0 ) .
S t0
называется средней скоростью движения
t
тела, обозначается vcð . Средняя скорость является не очень точной
Отношение
характеристикой движения тела, лучшей характеристикой является
мгновенная скорость, то есть скорость тела в момент времени t0. Она
получается из средней при t 0.
S t0
Таким образом, v t0 lim vср lim
t 0
t 0
t
2) Задача о касательной.
Прежде, чем обратиться к данной задаче, введем понятия
приращения аргумента и приращения функции. Приращением
аргумента в точке x0 называется его изменение. Обозначается x .
Таким образом, x x x0 и x x0 x . Следует заметить, что
приращение аргумента может быть как положительным, так и
отрицательным.
Приращением функции в точке x0 называют изменение функции
f x0 f x f x0 f x0 x f x0 .
Пусть дана непрерывная функция y f x . Возьмем на графике
этой функции 2 точки M 0 x0 ; f x0 и M 1 x0 x; f x0 x .
Прямая, проходящая
через две точки графика,
называется секущей.
Пусть
точка
М1,
двигаясь вдоль графика
функции,
неограниченно
приближается к точке М0.
Тогда
секущая,
поворачиваясь относительно
точки М0, стремится к
некоторому
предельному
положению M0N.
Определение: Касательной к графику функции в данной точке
М0 называется предельное положение секущей М0М1, проходящей
через точку М0, при неограниченном приближении точки М1 к точке
М0.
Найдем угловой коэффициент касательной, то есть тангенс
угла наклона касательной. Для этого рассмотрим треугольник М0М1Т.
Угол М1М0Т равен углу (углу наклона секущей). Следовательно,
M T f x0
tg 1
.
M 0T
x
Касательная является предельным положением секущей,
f x0
следовательно tg lim tg lim
x 0
x 0
x
5.2. Определение производной, ее физический и
геометрический смысл.
Определение: Производной функции y f x в точке x0
называется предел отношения приращения функции к приращению
аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю. Обозначается y , f x или f x .
Таким образом, по определению
Если в некоторой точке существует производная, то функция
называется дифференцируемой в данной точке. Если функция имеет

2.

2
производную в каждой точке интервала a; b , то функция называется
дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения
производной называется дифференцированием.
Вернемся к задаче о вычислении скорости движущегося тела.
S t 0
Было получено, что v t0 lim
. Следовательно, v t0 S t0 , то
t 0
t
есть скорость – это производная от пути по времени. Обобщая, можно
сказать, что если некоторая функция описывает какой-либо процесс, то
производная – скорость данного процесса. Производная функции
отражает скорость мгновенную изменения функции в данной точке. В
этом состоит физический смысл производной.
Вернемся к задаче о касательной. Было получено, что
f x0
tg f x0 ,
,
следовательно
следовательно,
tg lim
x 0
x
геометрический смысл производной состоит в том, что значение
производной в некоторой точке численно равно тангенсу угла наклона
касательной к графику функции, проведенной в этой точке.
5.3. Таблица производных.
1. (C ) 0 , где С const.
1
1
1
n
n 1
2. ( x ) nx , где n R; в частности, ( x ) 1, ( x )
, 2 .
x
2 x x
x
x
x
x
3. ( a ) a ln a , где a 0 и a 1.
4. (e ) e .
1
1
5. (log a x)
, где a 0 и a 1.
6. (ln x) .
x ln a
x
7. (sin x ) cos x .
8. (cos x) sin x .
1
1
(ctg
x
)
9. (tgx)
.
10.
.
cos 2 x
sin 2 x
1
1
11. (arcsin x)
.
12. (arccos x)
.
2
1 x
1 x2
1
1
13. (arctg x)
14. (arcctg x)
.
2 .
1 x
1 x2
5.4 Основные теоремы дифференцирования.
Пусть u u x и v v x - функции, дифференцируемые на
a; b . Тогда:
1) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых
функций u u x и v v x равна сумме (разности) производных
этих функций:
(u v) u v .
2) Производная произведения двух дифференцируемых
функций u u x и v v x вычисляется по формуле:
(u v) u v u v .
3) Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
(C u ) C u , где С const.
4) Производная частного двух дифференцируемых функций
u u v u v
u u x и v v x вычисляется по формуле:
v2
v
5.5 Производная сложной функции.
Напомним определение сложной функции: Если переменная y
зависит от переменной u, а переменная u зависит в свою очередь от
переменной x, то переменная y будет также зависеть от переменной x
и называться сложной функцией переменной x.
y y u
y y u x
u u x
Теорема: Если функция u u ( x) дифференцируема в точке х, а
функция y f (u ) дифференцируема в соответствующей точке u, то
сложная функция y f (u ( x)) будет также дифференцируема в точке
х, а ее производная будет находиться по формуле
y x y u u x .

3.

3
Пример:
.7 Дифференциал функции.
Пусть функция y f x является дифференцируемой в точке x .
Определение: Дифференциалом функции y f ( x) называется
произведение производной функции на приращение ее аргумента и
обозначается dy или df(x).
Таким образом, dy y x .
Положив в этой формуле y x, получим dx x x или
dx x , т.е. дифференциал аргумента равен его приращению (для
функции это равенство выполняться не будет). Тогда дифференциал
функции может быть записан в виде
5.6 Производные высших порядков
Производная y f ( x ) функции y f ( x) называется производной
первого порядка.
Производная от производной первого порядка называется
производной второго порядка функции y f ( x) и обозначается одним из
следующих символов: y , f ( x) .
Согласно данной формуле можно сформулировать правило
нахождения дифференциала: чтобы найти дифференциал функции,
необходимо найти производную и умножить ее на dx .
Например:
Таким образом, y ( y ) .
Аналогично определяются производная третьего порядка
y ( y )
и производные более высокого порядка.
Производная n – го порядка – это производная от производной (n –
1) порядка.
Порядок производной до 3 порядка включительно обозначается
количеством штрихов. Начиная с четвертого порядка порядок
производной обозначается римскими цифрами или арабскими цифрами в
Полученная формула позволяет сформулировать следующее
определение производной: производная функции равна отношению
дифференциалов:
dy
y
.
dx
Эта формула используется в дифференциальных уравнениях.
Установим связь между приращением функции f x и
скобках: y y
Таким образом,
производной: lim
IV
4
и т.п. Производная n-го порядка обозначается y
n
.
В большинстве случаев вычисление производной n-го порядка
сразу невозможно, нужно сначала вычислить все производные более
низких порядков.
Например:
дифференциалом
df x . Для этого обратимся к определению
f x0
f x .
x 0
x
f x0
Следовательно,
f x x, x , где
x
бесконечно малая при x 0 .
Умножим обе части равенства на x :
f x0 f x x x, x x .
x, x
-
Левая часть равенства – приращение функции. В правой части –
сумма двух слагаемых, первое из которых – дифференциал функции.

4.

4
При x 0 все слагаемые являются бесконечно малыми, но слагаемое
x, x x является бесконечно малой более высокого порядка.
Следовательно, основной вклад в сумму вносит первое слагаемое,
являющееся дифференциалом функции. Отсюда можно сделать вывод:
дифференциал функции является главной частью приращения
функции. В этом состоит смысл дифференциала.
5.8 Исследование функции с помощью производной.
5.8.1. Условия возрастания и убывания функции.
Определение:
Функция
y f x
называется возрастающей на промежутке
a; b , если для любых точек x1 и x2 из
этого промежутка при x1 x2 выполняется
неравенство
f x1 f x2
(то
есть,
большему
значению
аргумента
соответствует большее значение функции).
Определение: Функция y f x
называется убывающей на промежутке
a; b , если для любых точек x1 и x2 из
этого промежутка при x1 x2 выполняется
неравенство
f x1 f x2
(то есть,
большему
значению
аргумента
соответствует
меньшее
значение
функции).
Функция может являться возрастающей на всей области
3
определения ( y x ), убывающей на всей области определения (
y e x ) или иметь как интервалы возрастания, так и интервалы
убывания. Причем, существует тесная связь производной функции с
наличием интервалов возрастания и убывания этой функции.
Теорема 1: Если функция y f x дифференцируема на
интервале (а, b) и ее производная f ( x ) положительна в любой точке
х интервала (а, b), то на этом интервале функция f ( x ) возрастает.
Теорема 2: Если функция y f x дифференцируема на
интервале (а, b) и ее производная f ( x ) отрицательна в любой точке х
интервала (а, b), то на этом интервале функция f ( x ) убывает.
5.8.2. Точки экстремума функции. Необходимое и
достаточное условие экстремума.
Определение:
Точка
х0
называется
точкой
локального
максимума, если существует такая
окрестность точки х0, что для всех
точек
х
из
этой
окрестности
выполняется
неравенство
f x0 f x .
Определение:
Точка
х0
называется
точкой
локального
минимума, если существует такая
окрестность точки х0, что для всех
точек
х
из
этой
окрестности
выполняется неравенство f x0 f x
Точки локального максимума и
минимума
называются
точками
локального экстремума, а значения
функции в точках максимума и минимума называются максимумами
и минимумами функции или экстремумами функции.
Понятие экстремума всегда связано с наличием некоторой
окрестности точки из области определения. Поэтому функция может
иметь экстремум только во внутренних точках области определения.
Теорема 3 (теорема Ферма): Если в точке экстремума функция
дифференцируема, то ее производная функции в этой точке равна
нулю.

5.

5
Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке
экстремума параллельна оси ОХ.
Точки, в которых производная равна нулю, называются
стационарными. Таким образом, у дифференцируемой функции все
точки экстремума являются стационарными. Кроме стационарных точек
точками экстремума могут являться точки, в которых производная не
существует или обращается в бесконечность.
Например:
Такие точки вместе с точками экстремума называются
критическими точками.
Теорема Ферма является необходимым условием экстремума.
Обратное к ней утверждение верно не всегда: не любая стационарная
точка является точкой экстремума.
Теорема 4 (достаточное условие экстремума): Чтобы
стационарная точка являлась точкой экстремума, производная функции
при переходе через эту точку должна менять свой знак. Причем, если
знак производной меняется с плюса на минус, то это точка максимума
функции, если с минуса на плюс точка минимума. Если знак
производной при переходе через критическую точку не изменяется, то в
этой точке функция не имеет экстремума.
Для нахождения интервалов возрастания, убывания и
экстремумов дифференцируемой функции необходимо:
а) найти область определения функции;
б) вычислить производную f ( x ) и найти стационарные точки, т.е.
решить уравнение f (x) 0;
в) отметить на числовой оси Ох область определения функции и
стационарные точки, в результате область определения функции y f (x)
будет разбита на интервалы;
г) определить знак производной на каждом из полученных
интервалов (для этого достаточно найти знак производной в любой точке
интервала, т.к. внутри интервала знак производной постоянен);
д) определить интервалы возрастания и убывания функции;
е) определить точки экстремума;
ж) найти значение функции в точках экстремума.
Пример:
5.8.3. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба.
Определение:
График
функции
y f x
называется
выпуклым
на
интервале (а, b), если он лежит ниже любой
касательной, проведенной к нему в любой
точке этого интервала.
Определение:
График
функции
y f x
называется
вогнутым
на
интервале (а, b), если он лежит выше любой
касательной, проведенной к нему в любой
точке этого интервала.
Определение: Точки непрерывной
кривой, в которых происходит смены
выпуклости на вогнутость и наоборот,
называются точками перегиба.
Интервалы выпуклости и вогнутости и
точки перегиба можно найти с помощью производной второго
порядка.
Теорема 5: Если функция y f x дважды дифференцируема
на интервале (а, b) и ее производная f ( x ) отрицательна в любой
точке х интервала (а, b), то график функции будет выпуклым на этом
интервале.

6.

6
Теорема 6: Если функция y f x дважды дифференцируема на
интервале (а, b) и ее производная f ( x ) положительна в любой точке х
интервала (а, b), то график функции будет вогнутым на этом интервале.
В точках перегиба вторая производная равна нулю или не
существует. Эти точки называются критическими точками второго рода.
Как и для точек экстремума, достаточным условием наличия перегиба в
точке будет смена знака второй производной при переходе через эту
точку.
Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек
перегибы аналогично нахождению интервалов возрастания и убывания и
точек экстремума.
Пример:
Различают:
вертикальные асимптоты;
наклонные асимптоты (частный случай – горизонтальные).
Прямая x a будет являться вертикальной асимптотой, если
односторонние пределы
lim f x ,
lim f x или оба
x a 0
одновременно равны . Обычно
находятся в точках разрыва II рода.
Например:
x a 0
вертикальные
асимптоты
Наклонной асимптотой будет являться прямая y kx b , где
f x
,
x
x
k lim
b lim f x kx ,
x
причем
оба
предела
существуют и конечны.
Замечание: асимптота при x называется правонаклонной
асимптотой, при x - левонаклонной.
Если k 0 , b const , то получим прямую y b , которая
будет являться горизонтальной асимптотой.
Например:
5.8.4. Асимптоты графика функции.
Часто бывает необходимо исследовать поведение графика функции,
когда одна из координат или обе стремятся к бесконечности (точка
графика при этом бесконечно уделена от начала координат). Важным
случаем является тот, когда точка графика неограниченно приближается
к некоторой прямой.
Определение: Асимптотой называется прямая, к которой график
функции неограниченно приближается при бесконечном удалении от
начала координат.

7.

7
5.8.5. Общая схема исследования функции и построение
ее графика.
Исследование функции целесообразно вести в следующей
последовательности:
1) Найти область определения функции.
2) Исследовать функцию на симметричность (четность, нечетность) и
периодичность.
3) Если возможно, найти точки пересечения графика с осями координат
(при пересечении с OY х = 0, при пересечении с ОХ y = 0)/
4) Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва (если
они есть) и исследовать поведение функции вблизи точек разрыва.
5) Найти асимптоты.
6) Исследовать функцию с помощью производной первого порядка:
найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума; найти
значение функции в точках экстремума.
7) Исследовать функцию с помощью производной второго порядка:
найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба; найти
значение функции в точках перегиба.
8) Построить сводную таблицу или схему.
9) Построить график функции.
Например: