Лекция 13. Производная функции

1.

Математика
Лекция 13
Производная функции

2.

Производная функции
Пусть у=f(х) определена в некотором интервале (a, b).
Выполним следующие операции
- придадим аргументу х (a, b) приращение х: х+ х (a, b);
- найдем соответствующее приращение функции:
у = f(х+ х) f(х);
- составим отношение: у/ х;
- найдем предел этого отношения при х 0:
y
f ( x x) f ( x)
lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
Если этот предел существует, то его называют производной
функции у=f(х) и обозначают:
dy df
y , y x ', f '( x), f x ', , .
dx dx

3.

Производной у=f(х) в точке х0 называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремиться к нулю:
f ( x0 x) f ( x0 )
y ( x) y ( x0 )
y '( x0 ) lim
lim
.
x 0
x x
x
x x0
0

4.

Пример. Найти по определению производную функций y=C, у=х
и у=х2.

5.

Физический смысл производной
Если у=f(х) описывает какой-либо физический процесс,
то y - скорость протекания этого процесса.
Рассмотрим уравнение неравномерного движения S=f(t).
Зафиксируем два момента времени t0 и t1, обозначим t= t1 t0.
Средняя скорость движения, соответствующая промежутку
S
времени t: Vср
( S – путь, пройденный за t).
t
Чтобы найти скорость движения в момент времени t0,
необходимо уменьшать промежуток времени t.
Чем меньше t, тем меньше Vcр отличается от скорости в
момент времени t0 (мгновенная скорость).
S
Таким образом,
Vмгн V (t0 ) lim
S (t )
t 0 t
механический смысл производной.

6.

Геометрический смысл производной
Рассмотрим на кривой у=f(х) точки М, М0 и секущую ММ0.
При движении М по этой кривой к точке М0
секущая ММ0 займет предельное положение
М0Т.
М0Т – касательная к данной кривой в точке М0.
Угловой коэффициент секущей
f ( x0 )
kММ tg
.
x
Угловой коэффициент касательной
f ( x0 )
kкасат lim kММ lim
f ( x0 ) геометрический смысл
M M
х 0
x
производной.
0
0
0

7.

Уравнение касательной к кривой: yк f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ).
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно
касательной к кривой, называется нормалью к этой кривой.
1
( x x0 ) f ( x0 )
kкасат kнорм 1 yн
f ( x0 )
уравнение нормали (если f (x0) 0).
Если f (x0) = 0, т.е. касательная ук = f (x0) параллельна Ох, то
нормаль параллельна оси Оу и определяется уравнением х=x0.

8.

Дифференцируемые функции. Дифференциал функции
Функция у=f(х) называется дифференцируемой в точке x0, если
она имеет производную в этой точке.
Функция у=f(х), имеющая производную в каждой точке интервала
(a, b), называется дифференцируемой в этом интервале.
Операция нахождения производной функции называется
дифференцированием.
Теорема (о связи функции с ее пределом).
lim f ( x) A f ( x) A ( x), где (х) – б.м. при х х0.
x x0

9.

Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет производную:
y
f ( x) lim
.
x 0 x
y
Тогда
f ( x) ( x), где lim ( x) 0
x 0
x
или y f ( x) x x.
Выражение f (x) х называют дифференциалом функции и
обозначают df(x).

10.

Замечания.
1. Дифференциал функции линеен относительно х и имеет при
х 0 тот же порядок малости, что и х.
2. x – б.м. o( x) при х 0 более высокого порядка, чем х.
3. Приращение дифференцируемой функции представимо в виде
y df ( x) o( x).
4. Т.к. df(x) = f (x) х, то для функции у=х df(x)= dx =x х= х.
df
Поэтому df(x) = f (x) dx,
f ( x) .
dx

11.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она
непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не
иметь производной.
Пример. y=|x|.

12.

Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования
Пусть u(x), v(x), w(x) – дифференцируемые функции, тогда
1. (u v) u v ;
2. (u v) u v u v ;
u u v u v
3.
;
2
v
v
4. (c u ) c u (c const);
5. (u v w) u v w u v w u v w ;
c v
c
6. 2 (c const).
v
v

13.

Производная сложной функции
Пусть y = f(u), u = (x) – дифференцируемые функции. Тогда
сложная функция y = f( (x)) дифференцируема и ее производная
находится по формуле: у х=y u u x.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов
несколько.
Производная обратной функции
Пусть y = f(х) строго монотонна и дифференцируема на
интервале (a, b), причем у (х) 0. Тогда обратная функция х=f -1(у)
1
дифференцируема и x y .
y x

14.

Формулы вычисления производных элементарных функций
1. ( x ) n x ,
n
n 1
2. (a x ) a x ln a,
1
3. (log a x)
,
x ln a
4. (sin x) cos x,
1
5. (tg x)
,
2
cos x
1
6. (arcsin x)
,
2
1 x
1
7. (arctg x)
,
2
1 x
1
1
1
,
x
;
2
x
2 x
x
(e x ) e x ;
1
(ln x) ;
x
(cos x) sin x;
1
(ctg x) 2 ;
sin x
1
(arccos x)
;
2
1 x
1
(arcctg x)
.
2
1 x

15.

Пример. Продифференцировать функции
x
y sin sin 2 x; y ln x x 2 a 2 .
2

16.

§13. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
функций. Логарифмическое дифференцирование
Если функция задана уравнением y=f(x), разрешенным
относительно у, то функция задана в явном виде.
Неявное задание функции – это задание функции в виде
уравнения F(x, y)=0, не разрешенного относительно у.
Например,
у = х2 – явное задание, у– х2 = 0 – неявное задание функции.
Не всегда легко, а иногда и не возможно разрешить уравнение
относительно у (например, cos(xy)+ey=0).

17.

Для нахождения производной неявной функции F(x, y)=0 нужно
продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при
этом у как функцию от х, затем полученное уравнение разрешить
относительно у .
Пример 1. Найти производную неявной функции e x e y 2 xy 1 0.

18.

Если зависимость между аргументом х и функцией у задана в
x x(t ),
виде двух уравнений
где t – вспомогательная
y y (t ),
переменная (параметр), то говорят, что функция y(x) задана
параметрически.
Пусть x(t), y(t) – дифференцируемые функции, причем x (t) 0 и
1
x(t) имеет обратную. Тогда t x .
xt
Функцию y=f(x), заданную параметрическими уравнениями,
можно рассматривать как сложную функцию y=y( (x)), где t= (x).
По правилу дифференцирования сложной функции
yt
y x yt t x .
xt

19.

Пример 2. Найти производную параметрически заданной
x e t cos t ,
функции
y e sin t.
t

20.

При вычислении производных сложных функций в ряде случаев
целесообразно функцию сначала прологарифмировать, а затем
результат продифференцировать. Такая операция называется
логарифмическим дифференцированием.
x
Пример 3. Продифференцировать функцию y x sin x 4 1 e .

21.

Логарифмическое дифференцирование используют для
вычисления производной степенно-показательной функции
y u ( x)
v( x)
.
Прологарифмируем, а затем продифференцируем данную
функцию:
ln y ln u ( x)
v( x)
ln y v( x) ln u ( x)
1
1
ln y v( x) ln u ( x) y v ln u v u .
y
u
u
v
Следовательно, y u v ln u v
u
v
v
v 1
или u u ln u v v u u . (*)
(*) определяет правило дифференцирования степеннопоказательной функции: сумма производной показательной
функции v (при условии u=const) и производной степенной
функции u (при условии v=const).

22.

Пример 4. Продифференцировать функцию y x x .
2

23.

Производные высших порядков
Производная у функции y=f(x) так же является функцией
аргумента х и называется производной первого порядка.
Если у =f (x) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка функции y и обозначается у .
Другие обозначения:
d 2 y d dy
f ( x), 2 , .
dx dx dx
Производная от производной второго порядка (если она
существует) называется производной третьего порядка: у =(у ) .
И т.д.
Производной n-го порядка (или n-ой производной) называется
производная от производной (n 1) порядка: y(n)=(y(n-1)) .
Производные порядка выше первого называются
производными высших порядков.

24.

Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают
римскими числами или арабскими числами в скобках:
y IV , y (4)
yV , y (5)
Пример 1. Найти производную 10-го порядка для функций
y ex , y x ex.

25.

Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция y(x) задана неявно функции в виде уравнения
F(x, y)=0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное
уравнение относительно у , получим производную первого
порядка.
Далее продифференцируем по х первую производную, получим
вторую производную неявной функции (в нее войдут х, у, у ).
Подставляя найденное значение у в выражение второй
производной, выражаем у через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения остальных производных
высшего порядка.

26.

Пример 2. Найти y , если хy y 2 0.

27.

Производные высших порядков от функции, заданной
параметически
x x(t ),
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
y y (t ).
yt
Первая производная определяется формулой y x .
xt
Находим вторую производную:
x ) t ytt xt yt xtt
(
y
y xx ( y x ) x ( y x ) t t x
.
3
xt
( xt )
ytt xt yt xtt
Таким образом, y xx
.
3
( xt )
Аналогично вычисляют производные 3, 4 и т.д. порядков.

28.

x cos t ,
Пример 3. Найти y xx , если
y sin t.