Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.

Дифференциальное
исчисление функции
одной переменной.

2.

Определение производной
Производной функции y=f(x) в точке х0
y
lim
Называется x 0 x , если этот предел
существует. Производная обозначается f ( x0 )
или f ( x0 ). Таким образом, y ( x0 ) =. lim y
x 0
x

3.

Таблица
производных

4.

С´=0, где С – константа.
(sinx)´ = cosx.
(xn)´=n.xn-1 где n –
натуральное число
(ax)´=ax∙lna, где a>0, a≠1. В
частности, (ex)´=ex
(logax)´= 1 , где a>0, a≠1.
1
В частности,
(lnx)´=
.
x ln a
(cosx)´ = -sinx
1
(tgx)
2
cos x
1
(ctgx)
sin 2 x
x
(arcsinx)´=
(arccosx)´= -
1
1 x2
1
1 x
2
(arctgx)´=
1
1 x2
(arcctgx)´=
1
1 x2

5.

Правила Дифференцирования
Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции,
дифференцируемые в точке х. Тогда в
этой точке дифференцируемы функции
u+v, u∙v, . Последнее при условии, что
u
v´(x)≠0. Причем,
v
(u+v)´=u´+v´,
(uv)´=u´v+uv´,
u
u v uv
v2
v
.

6.

Производная сложной
функции
Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x))
называется сложной функцией от х.
Теорема. Если функция u=φ(x) имеет
производную в точке х, а функция y=f(u)
имеет производную в соответствующей точке
u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет
производную в точке х, причем y x yu u x .

7.

Таблица производных сложных функций
1. с´=0
2.
8.
(un)´=nun-1∙u´
9.
(ctgu)
10.(arccos u)
3a. (eu)´=eu∙u´
4. (log a u ) 1
11.
12.
u ln a
4a.
(ln u )
u
1
u
u
5. (sinu)´=cosu∙u´
6. (cosu)´=-sinu∙u´
7.
(tgu)
1
u
2
cos u
1
(arcsin u )
3. (au)´=au∙lna.u´
1
u
2
sin u
1 u
1
2
u
u
1 u
1
(arctgu )
u
2
1 u
1
(arcctgu)
u
1 u 2
2
13. (chu)´=shu∙u´
14. (shu)´=chu∙u´
1
(
thu
)
u
15.
ch u
2
16. (cthu)
1
u
2
sh u

8.

Дифференциал функции
dy = f´(x)∙dx

9.

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).
Пусть f(x) и φ(x) – функции,
непрерывные на [a;b],
дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0
при всех х (a;b) и f(a) = φ(a) = 0.
f ( x)
lim
Тогда если существует
, то
( x)
f ( x)
lim
существует
, причем :
( x)
x a
x a
f ( x)
f ( x)
lim
lim
x a ( x)
x a ( x )
2
x
Пример: lim x
x e
2x
2
lim x 0
lim
x
x e
x e

10.

Применение производной
к исследованию функций
Экстремумы
функции.

11.

Необходимо условие
монотонности функции
Если
дифференцируемая в
интервале (a;b) функция y=f(x)
возрастает (убывает) на (a;b),
то для всех х(a;b) f´(x)≥0
(f´(x)≤0)

12.

Достаточный признак
существования экстремума
Если непрерывная на интервале функция
y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках
этого интервала, за исключением, может
быть, критической точки с, принадлежащей
этому интервалу, и если f´(x) при переходе
аргумента слева направо через критическую
точку с меняет знак с плюса на минус (с
минуса на плюс), то функция в точке с имеет
максимум (минимум)

13.

Выпуклость и вогнутость
графика функции
График дифференцируемой функции
называется выпуклым (вогнутым) в
интервале (a;b), если он расположен
ниже (выше) любой своей касательной
на этом интервале

14.

Достаточный признак
выпуклости и вогнутости
Пусть функция y=f(x) имеет вторую
производную f´(x) во всех точках
интервала (a;b). Если во всех точках
этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то
график на (a;b) выпуклый (вогнутый).

15.

Достаточный признак
существования точки перегиба
Если вторая производная f´(x)
непрерывной функции меняет знак при
переходе аргумента через точку х0, то
точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба
графика функции.

16.

Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, расстояние от
которой до текущей точки графика
функции стремится к нулю при
неограниченном удалении этой точки от
начала координат.

17.

План исследования функции и
построение графика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Область определения функции.
Точки пересечения графика функции с осями
координат.
Четность, нечетность функции.
Исследование функции на непрерывность.
Вертикальные асимптоты.
Невертикальные асимптоты.
Интервалы монотонности и экстремумы.
Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Дополнительные точки, lim f ( x ) , периодичность (по
мере необходимости). x
Построение графика.

18.

Пример.
Исследовать функцию
и построить ее график.
1.
2
x
y 2
x 4
Область определения:
(-∞;-2) (-2;2) (2;+∞),
такx как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби
обращается
0
в ноль.
x 4
2

19.

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0,
тогда , откуда х=0.
(0;0) – точка пересечения графика с
осями координат
2
3.
x
y ( x) 2
y ( x)
x 4
- функция четная.

20.

Функция имеет разрывы в точках х=-2 и
х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.
2
2
x
x
lim 2
lim 2
x 2 x 4
, x 2 x 4
,
4.
x2
x2
lim 2
lim 2
, x 2 x 4
,
x 2 x 4
следовательно, х=-2 и х=2 – точки
разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 –
вертикальные асимптоты.

21.

5.Невертикальные
асимптоты
1
x
x
x2
0
lim
lim 2
k lim 2
x
x x 4
x ( x 4) x
4
1 2
x
x2
1
b lim 2
lim
1
x x 4
x
4
1 2
x
следовательно, прямая у=1 – асимптота.

22.

6.
2 x ( x 4) 2 x x
8x
y
2
2
2
2
( x 4)
( x 4)
2
2
у´=0, если -8х=0, откуда х=0 –
критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 –
критические точки.
На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция
возрастает, а на интервалах (0;2) и
(2;+∞) – убывает.
Уmax(0)=0.

23.

7.
8 ( x 2 4) 2 8x 2( x 2 4) 2 x
8( x 2 4) 32 x 2
y
2
4
2
3
( x 4)
( x 4)
8x 2 32 32 x 2 24 x 2 32
2
2
3
( x 4)
( x 4) 3
у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки
второго порядка.
На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график
функции вогнутый, а на интервале (-2;2) –
выпуклый. Точек перегиба нет

24.

График функции: