Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К НОРМАЛИ И КРИВОЙ

Вычисление скорости неравномерно движущегося тела

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

409.50K

Category: $mathematics$ mathematics

Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные элементарных функций

1. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных

Тема 9
Производная функции. Правила
дифференцирования. Основные
свойства дифференцируемых
функций. Производные основных
элементарных функций.
Производная сложной функции
ЛЕКЦИЯ
Калабухова
Галина Валентиновна
кандидат социологических наук, доцент

2. Вопросы темы

Производная функции. Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Производная с точки зрения механики.
Дифференцируемость функции. Основные свойства
дифференцируемых функций.
Дифференциал функции.
Дифференцирование суммы, произведения и частного.
Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции.
Понятие обратной функции. Производная обратной функции.

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

4. Определение

Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её
окрестности. Придадим значению аргумента х приращение х
(положительное или отрицательное, но не выводящее за
пределы этой окрестности) и найдем соответствующее
приращение функции у=f(x+ х)- f(x).
Предел отношения приращения функции у к
приращению аргумента х при х 0 называется
производной функции y=f(x) в точке х:
y
f ( x x ) f ( x )
y lim
lim
x 0 x
x 0
x

5. Обозначения

dy df ( x )
y , f ( x ),
,
, y x
dx dx

6. Геометрический смысл производной

Геометрический смысл
производной у'(x0) угловой коэффициент
касательной к графику
функции y=f(x) в точке
(x0,y0=f(x0))
Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала
касательная, необходимо существование
Δy
предела,
k ( x 0 ) lim
Δx 0 Δx
т.е. существование производной

7. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К НОРМАЛИ И КРИВОЙ

8.

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом,
проходящей через данную точку:
y - y0 = k (x – x0)
Уравнение касательной в точке (x0,y0=f(x0)):
y y ( x 0 )( x x 0 ) y ( x 0 )
Уравнение нормали к графику функции в точке
(x0,y0=f(x0)) (при условии, что у'(x0) 0)):
1
y
( x x0 ) y( x0 )
y ( x 0 )

9. ПРОИЗВОДНАЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МЕХАНИКИ

10. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела

Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси
Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту
времени t от времени t0, требуется найти значение скорости
точки в момент t1.
s(t1 ) s(t 0 )
Если мы возьмём любое t1 t0 и найдём отношение
,
t1 t 0
то будет получено среднее значение скорости на отрезке [t0, t1].
Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы
должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел ,
s(t1 ) s(t 0 )
Δs
v (t 0 ) lim
lim
t1 t 0
t1 t0
Δt 0 Δt
где t = t1- t0, s = s(t1)- s(t0)

11. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

12. Определение

Если функция имеет в точке x конечную
производную, то функция называется
дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках
промежутка X, называется дифференцируемой на
этом промежутке
Операция нахождения производной называется
дифференцированием

13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

14. Определение

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в
точке х, если её приращение у в этой точке можно
представить в виде ,
y A x ( x )
где А - не зависящая от х величина,
( х) – бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с х:
( x )
0
x
при х 0

15. Определение

Главная часть приращения у дифференцируемой
функции, линейная относительно приращения х
аргумента (т.е. A·Δx), называется дифференциалом
функции и обозначается dy (или df(x)).

16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

17. Дифференцируемость суммы

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х.
Тогда в этой точке имеют производные функции
y = (u(x) v(x)), и
(u(x) v(x))' = u'(x) v'(x)

18. Дифференцируемость произведения

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х.
Тогда в этой точке имеет производную функция
y = (u(x)·v(x)), и
(u(x)·v(x))' = u'(x)·v(x)+ u(x)·v'(x).

19.

Пусть функции u(x) имеет производную в точке х, C - константа.
Тогда в этой точке имеет производную функция
y = Сu(x), и
(Сu(x))' = Сu'(x).

20. Дифференцируемость частного

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х, причём
v(x) 0.
Тогда в этой точке имеет производную функция
u ( x ), и
y( x)
v( x )
u( x )
u ( x )v ( x ) u( x )v ( x )
v 2 ( x)
v( x)

21. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

22. Таблица производных

x
n
n x n 1
x
cos x sin x
tgx
1
x 0
cos 2 x
2 x
log e
1
log a x 1 a , x 0, a 0 ctgx 2
x ln a
x
sin x
1
ln x 1 ,
x
a
x
e
x
x 0
x
arccos x
x
arctgx
a ln a
e
arcsin x
sin x cos x
x 1
1
1 x 2
1
1 x
2
1
1 x 2
arcctgx 1 2
1 x
,
x 1

23. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

24.

Пусть функция u=g(x) имеет в точке x производную ux=g’(x),
функция y=f(u) имеет в точке u производную yu=f’(u).
Тогда сложная функция y=f(g(x)) имеет в точке x
производную, равную произведению производных
функций f(u) и g(x) и:
y x y u u x

25. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

26. Определение

Пусть y=f(x) – дифференцируемая и строго
монотонная функция на некотором промежутке X.
имеет в точке u производную yu=f’(u).
Если переменную y рассматривать как
аргумент, а переменную x – как функцию, то
новая функция x=g(y) является обратной к
данной и непрерывной на соответствующем
промежутке Y.

27.

Для дифференцируемой функции с производной, не
равной нулю, производная обратной функции равна
величине производной данной функции, т.е.
1
x y
y x

28. Пример 1

Найти производную функции:
sin x cos x
y
sin x cos x

29. Решение

функция представляет собой частное, воспользуемся
формулой нахождения производной частного:

30. Решение

функция представляет собой частное, воспользуемся
формулой нахождения производной частного:
sin x cos x
y (
)'
sin x cos x

31. Решение

32. Решение

функция представляет собой частное, воспользуемся
формулой нахождения производной частного:
sin x cos x
(sin x cos x )' (sin x cos x ) (sin x cos x ) (sin x cos x )'
y (
)'
2
sin x cos x
(sin x cos x )
(cos x sin x ) (sin x cos x ) (sin x cos x ) (cos x sin x )
2
(sin x cos x )

33. Решение

34. Решение

35. Решение

36. Пример 2

Найти производную функции:
y log 3 ( 2 x 3 1)

37. Решение

Сложная функция:
y (log 3 ( 2 x 3 1))'

38. Решение

Сложная функция:
y (log 3 (2 x 3 1))'
1
3
(
2
x
1)'
3
(2 x 1) ln 3

39. Решение

Сложная функция:
1
3 2x2
3
y (log 3 (2 x 1))'
(2 x 1)'
3
3
(2 x 1) ln 3
(2 x 1) ln 3
3

40. Решение

Сложная функция:
1
3 2x2
6x 2
3
y (log 3 (2 x 1))'
(2 x 1)'
3
3
(2 x 1) ln 3
(2 x 1) ln 3 (2 x 3 1) ln 3
3

English Русский Rules