Функции и их свойства. Предел последовательности и функции. Производная функции и дифференциал

1.

2.

Множества. Основные определения.
Под множеством понимают
совокупность некоторых объектов,
объединенных
по
какому-либо
признаку.
Объекты, из которых состоит
множество,
называют
его
элементами.
Множество, не содержащее ни
одного элемента, называют пустым
и обозначают
.

3.

Множества,
элементами
которых
являются числа, называют числовыми.
Примерами числовых множеств являются:
множество
N 1;2;3;...; n;...
натуральных чисел;
Z 0; 1; 2;...; n;... множество целых
чисел;
m
Q : m Z , n N
n
R
множество
рациональных
чисел;
множество действительных чисел.

4.

В дальнейшем для сокращения записей будем
использовать некоторые логические символы:
:
означает «для любого», «для
всякого», «каждый»;
означает «существует»,
«найдется»;
«имеет место», «такое, что»;
«предложения и равносильны»;
«из предложения следует
предложение
»
.

5.

Числовые промежутки. Окрестность точки.
Пусть
a
и
b действительные числа, причем a b.
Числовыми
промежутками
(интервалами)
называются подмножества всех действительных
чисел, имеющих следующий вид
a; b x : a x b отрезок;
a; b x : a x b интервал;
a; b x : a x b полуинтервал;
a; b x : a x b полуинтервал.

6.

Числа
a и b называются соответственно левым
и правым концами промежутков.
Пусть
x0
любое действительное
(точка на числовой оси).
число
x0 называется любой интервал
a;b , содержащий точку x0 .
Окрестностью точки
В частности, интервал
( x0 ; x0 ) V ( x0 , ) , где 0
называется окрестностью точки x .
0

7.

концы промежутков
левый и правый
окрестности точки
левая и правая
соответственно

8.

Понятие функции. Способы
задания функций.
Пусть даны два непустых множества
Правило
f,
X
по которому каждому элементу
и
Y.
x X
поставлен в соответствие один и только один элемент
y Y,
называется
y f (x)
При этом множество
функцией и записывается
или
X
f : X Y.
называется
областью
f и обозначается D ( f )
или D ( y ), а множество Y множеством
значений функции f .
определения функции

9.

Существуют следующие способы
задания функций:
1) графический: задается график функции;
2) табличный:
функция задается таблицей
ряда значений аргумента и соответствующих
значений функции;
3) аналитический:
виде одной
уравнений.
или
функция задается в
нескольких формул или
Аналитический способ задания функции является
наиболее совершенным, так как к нему приложены
методы математического анализа, позволяющие
полностью исследовать функцию y f (x).

10.

Основные характеристики функции
1)
Функция
D,
y f (x), определенная на множестве
называется четной, если
выполняются условия:
x D и
x D и f ( x) f ( x);
x D выполняются условия:
2) нечетной, если
x D и f ( x)
График
четной
относительно оси Oy ,
f ( x).
функции
симметричен
а нечетной относительно точки С (0;0),
т.е. начала координат.

11.

3) Функция y f (x) называется возрастающей
на интервале
(a, b), если x1, x2 (a, b) : x1 x2 ,
выполняется условие
4) Функция
f ( x1 ) f ( x2 ).
y f (x)
на интервале
называется убывающей
(a, b), если x1, x2 (a, b) : x1 x2 ,
выполняется условие
f ( x1 ) f ( x2 ).
Возрастающие и убывающие функции называются
строго монотонными.
Интервалы,
на
которых
функции
монотонны,
называются интервалами монотонности.

12.

Числовая последовательность. Предел
числовой последовательности.
Функция, областью определения которой является
натуральных чисел, называется
множество N
числовой последовательностью и обозначается
xn f (n)
При этом
xn
или
x
или
n n 1
xn .
называется n-ым членом
последовательности.
1
Пример: Формула задает последовательность:
n
1 1
1
1, , ,..., ,...
2 3
n
Геометрически каждому члену последовательности
соответствует точка на числовой оси Ox.

13.

Пусть функция
xn f (n) последовательно
принимает значения:
x1 , x2 ,..., xn ,...,
т.е.пробегает последовательность
xn .
Важным случаем такого изменения функции
является тот, при котором по мере возрастания
номера
соответствующие значения xn
неограниченно приближаются (стремятся)
к некоторому постоянному значению
в этом случае говорят, что
n
а;
а.
последовательность xn стремится к пределу
Но выражения «неограниченно приближаются»,
«стремятся» неопределенные и поэтому не
годятся для точного математического понятия
предела.

14.

Для точного определения понятия «предел»
введем произвольное малое положительное число
;
поскольку оно произвольно, его по желанию можно
k
задавать равным 0,01, и 0,001, и вообще 10 , k N .
Факт неограниченного сближения последовательности
xn с постоянной а можно охарактеризовать так:
каково бы ни было малое положительное число
,
в процессе изменения последовательности рано или поздно
должен наступить такой момент, начиная с которого все ее
дальнейшие значения
будут отличаться от
xn
абсолютному значению меньше, чем на это
а по
произвольное малое положительное число
.

15.

Определение. Число
a
называется пределом
последовательности
xn , если для любого
положительного числа
найдется такое
натуральное число N ( ), что для всех
номеров n N ( )
будет выполняться
неравенство x a .
n
Кратко определение предела можно записать так:
lim xn a 0 N ( ) :
n
n N ( ) xn a .

16.

Геометрический
смысл
определения
предела последовательности:
Неравенство
xn a
равносильно неравенствам
xn a
т.е.
или
a xn a ,
xn (a , a ).
V ( a , )
Поэтому
определение
предела
последовательности можно сформулировать
так:

17.

Число
a
называется пределом
последовательности xn , если для любой
окрестности точки a найдется такой
номер N ( ),что все члены последовательности n для которых n N ( ),попадут в
окрестность точки
x ,
a.

18.

Предел функции в точке.
Бесконечно большая и бесконечно
малая функция.
Рассмотрим функцию
y f (x)
x
непрерывно изменяющегося аргумента
и предположим, что аргумент
стремится к
некоторому числу
Может
случиться,
что
при
неограниченном
приближении аргумента
к числу
x
a.
x
соответствующие значения функции
а
f (x )
неограниченно приближаются к некоторому числу
A на рисунке :

19.

предел функции
Определение.
Число
А
пределом функции f (x) в точке
и обозначается:
lim f ( x) A
x a
называется
а при x a

20.

Бесконечно большая функция (б.б.ф)
Определение. Функция y f (x) называется
бесконечно большой функцией
при x a, если для любого числа M
найдется такое положительное число
зависящее от выбора
M,
удовлетворяющих условию
,
что для всех
0
x,
0 x a
f ( x) M .
и обозначается:
lim f ( x)
будет выполняться:
x a

21.

Бесконечно малая функция (б.м.ф.).
Связь между б.м.ф. и б.б.ф.
Определение. Функция y f (x) называется
бесконечно малой функцией
при
x a,
если для любого числа
найдется такое положительное число
выбора
,
что для всех
0 x a
x,
0
,
удовлетворяющих условию
будет выполняться:
и обозначается:
lim f ( x) 0
x a
зависящее от
f ( x) .

22.

Теорема: 1) Если y
1
y
f ( x)
f (x) б.м.ф. в V (a ),
б.б.ф. в
V (a ),
то
т.е.
1
обозначается: lim f ( x) 0 lim
.
x a
x a f ( x)
2) Если
y g (x)
1
y
g ( x)
б.б.ф. в
б.м.ф. в
V (a ),
V (a ),
то
т.е.
1
обозначается: lim g ( x) lim
0.
x a
x a g ( x)

23.

Символически это утверждение можно
записать как:
1
0
где символы 0
1
и
0,
и следует понимать как
неограниченно близкое приближение к
нулю
и
к
бесконечности
соответственно.

24.

Вычисление пределов
Практическое вычисление пределов основывается на
связи между
теореме:
б.м.ф.
и
б.б.ф. и
на следующей
Теорема: Если lim f ( x), lim g ( x )
x a
и
1) lim
x a
C const , то:
x a
C C;
2) lim (C f ( x)) C lim f ( x);
x a
x a
3) lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x);
x a
x a
x a

25.

4) lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x);
x a
x a
x a
f ( x)
f ( x) lim
x a
5) lim
, (lim g ( x) 0);
x a g ( x)
lim g ( x) x a
x a
6) lim( f ( x)) (lim f ( x)) ;
n
x a
7) lim f ( x)
x a
n
x a
g ( x)
lim g ( x )
lim f ( x) x a
x a
.

26.

А если условия этой
выполнены,
то
могут
неопределенности вида :
теоремы не
возникнуть
0
0
0
, , 0 , 0 , ,1 , ,
0
которые
в
простейших
случаях
раскрываются с помощью алгебраических
преобразований данного выражения и
отыскание предела в таких случаях
называют
раскрытием
неопределенностей.

27.

Кроме того, будем пользоваться тем фактом, что
для всех основных элементарных функций в
любой точке их области определения имеет
место равенство:
lim f ( x) f (lim x) f (a).
x a
x a
Последнее
равенство
можно
понимать так: вычисление любого
предела
нужно
начинать
с
непосредственной
подстановки
предельного значения, и, если нет
неопределенностей, то сразу записать
ответ.

28.

Также
при
нахождении
пределов
полезно иметь в виду следующие
свойства показательной функции:
0,0 a 1
lim a
,
x
, a 1
x
,0 a 1
lim a
.
x
0, a 1
x

29.

Примеры:
2x 1 2 2 1 3
;
1) lim
x 2 3x 5
3 2 5 11 2
x 2x 1
2
2 2
2
:
x
2
x 2x 1
x
x
x
lim 2
2)lim 2
x 3 x x 7
x 3 x x 7
2
2
2
x
x
x
2 1
2 1
1 2 1
1 0 0 1
x
x
lim
;
x
1 7
1 7 3 0 0 3
3 2 3
x x

30.

3)
2
5x
x 10
3
3 3
2
:
x
3
5 x x 10
x
x
x
lim 3 2 lim 3 2
x 7 x x 1
x 7 x x 1
3
3
3
x
x x
5 1 10 5 1 10
2 3
0 0 0 0
x
x
x
lim
0;
x
1 1
1 1 7 0 0 7
7 3
7
x x

31.

4
2
2x x 1
4
4 4
4
2
:
x
4
2x x 1
x x
lim
lim x
x
3x 1
x 3x 1
4
4
x x
1 1
1 1
2 2 4 2
2 0 0 2
x
x
lim
;
x
3 1
3 1
0
0
0
4
3
x x
4)

32.

5) 2 x 2 x 1
( x 1)(2 x 1)
0
lim 2
lim
x 1 3 x x 2
0 x 1 ( x 1)(3 x 2)
2 x 1 2 1 1 3
lim
;
x 1 3 x 2
3 1 2 5
Примечание:ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ),
где
x1
и
x2 корни
соответствующего
квадратного уравнения.

33. Производная функции

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью
Производные основных элементарных
функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Применение производной

34. Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале
(a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение x :
x x (a; b )
Найдем соответствующее приращение функции:
y
y f ( x x ) f ( x )
f(x+ Δx )
f(x )
0
x
х
x+Δx
y Если существует предел lim y
x 0
х
x
то его называют производной
функции y = f(x) и
обозначают одним из
dy
символов:
y;
f ( x );
dx

35. Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
y
М1
f(x+ Δx )
f(x )
М
x
φ
0
х
x+Δx
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через
y φ угол наклона секущей.
y
tg
x
х
f ( x x ) f ( x )
x
в силу непрерывности функции y
x 0
При
также стремится к нулю, поэтому точка М1
неограниченно приближается по кривой к точке М, а
секущая ММ1 переходит в касательную.
lim
x 0
lim tg tg
x 0

36. Геометрический смысл производной

f ( x x ) f ( x )
y
lim
tg
k
x 0
x
Производная
f’(x) равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса
y
которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ),
угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Уравнение
yy y 0 кf '((xx-0 x)(0x) - x 0 )
касательной
Уравнение
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
называется
нормалью к кривой.
k норм
f ' ( x0 )
1
1
1
y y0
( x x0 )
k кас
f ' ( x0 )
f ' ( x0 )

37. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке ,
то она непрерывна в ней.
Доказательство:
Пусть функция
y = f(x) дифференцируема в некоторой
точке х, следовательно существует предел:
y
y
( x )
lim
f
f ( x ) ( x )
x 0
x
x
где ( x ) 0 при x 0
По теореме о связи
функции, ее предела и
lim
y 0
y f ( x ) x ( x ) x x 0 бесконечно
малой
Функция y
= f(x) – непрерывна.
функции
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция
может не иметь производной.

38.

Нахождение производной называют
дифференцированием
kx b
x
k
1
2 х
С
0
1
1
2
х
х
x 2х
2
x ' nx
n
n 1

39. Таблица производных

f (x)
C
kx + b
x2
xn
f ′(x)
0
K
2x
nxn–1
f (x)
√x
ex
ax
tg x
f ′(x)
1/(2√x)
ex
ax lna
1/cos2x
1/x
– 1/x2
ctg x
– 1/sin2x
sin x
cos x
cos x
– sin x
ln x
loga x
1/x
1/(x lna)

40. Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в
некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C ) 0
(u v ) u v
(u v ) u v u v (C u ) C u
(u v w ) u v w u v w u v w
u u v u v
C
C
v
2
2
v
v
v
v

41. Правила нахождения производной

1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в
этой точке производную, причем
(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С –
данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой
точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′

42. Правила нахождения производной

3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также
имеет в этой точке производную, причем
(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и
1
v(x) ≠ 0, то функция
также имеет в этой точке
v(x)
производную, причем
()
v′
1′
=– 2
v
v

43. Правила нахождения производной

5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х
u(x)
производные и v(x) ≠ 0, то функция
также имеет
v(x)
в этой точке производную, причем
( )
u ′
u′v – uv′
v =
v2
6. Производная сложной функции
(f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)

44. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная
функция
с
промежуточным
аргументом
u
и
независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную u x
в точке x а
функция y = f(u) имеет производную y u в соответствующей
точке u , то сложная функция имеет производную y x , которая
находится по формуле:
y x y u u x
Это правило остается
аргументов несколько:
y f (u );
u (v );
в
силе,
если
v g( x )
y x y u uv v x
промежуточных
y f ( (g ( x )))

45. Пример

1 sin x
Вычислить производную функции y 3
x ln x
1 sin x
y 3
x ln x
(1 sin x ) ( x 3 ln x ) (1 sin x ) ( x 3 ln x )
2
3
x ln x
(1 (sin x ) ) ( x 3 ln x ) (1 sin x ) (( x 3 ) ln x x 3 (ln x ) )
x
3
ln x
2
1
cos x x 3 ln x (1 sin x ) (3 x 2 ln x x 32 )
x
2
3
x ln x

46. Пример:

Вычислить производную функции:
y cos(ln12 x )
Данную функцию можно представить следующим образом:
y cos u; u v 12 ; v ln x
y x y u uv v x
y u sin u sinv 12 sin ln12 x
u 12v 11 12 ln11 x
1
1
12
11
y
sin
ln
x
12
ln
x
v
x
x
Коротко:
y (cos(ln 12 x )) sin(ln 12 x ) (ln12 x )
sin(ln 12 x ) 12 ln11 x (ln x )

47. Применение производной

к графику дифференцируемой в точке х0 функции
f – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и
имеющая угловой коэффициент f ′(хо).
у
f(xo)
y = f(x)
α
0
хо
х
k = f′(xo) = tg α –
это угловой коэффициент касательной.

48.

y = f ′(xo)(x – xo) + f(xo)
1о Находим значение функции в точке хо: f(xo).
2о Дифференцируем функцию: f′(x).
3о Находим значение производной в точке хо: f′(xo).
4о Подставляем эти данные в общее уравнения
касательной:
y = f′(xo)(x – xo) + f(xo).

49.

Одна из основных задач исследования функции –
это нахождение промежутков её возрастания и
убывания.
Признак возрастания функции:
Если f´(x) > 0 в каждой точке
интервала I, то функция f
возрастает на I.
Признак убывания функции:
Если f´(x) < 0 в каждой точке
интервала I, то функция f убывает
на I.

50. Алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1.
2.
3.
Выделить функцию y=f(x).
Найти область определения функции D(f).
Указать промежутки непрерывности.
Найти нули функции, решив уравнение f(x)=0.
Определить знак функции между
её нулями в области определения.

51.

Решите неравенство:
2x+5≠0, х ≠-2,5
1.
2. f(x)=0, если
x1= 8, x2= -2
3.
-2,5
Ответ:
-2
8
X

52. Алгоритм нахождения промежутков возрастания (убывания) функции y=f(x):

1.Найти производную функции
2.Решить уравнение f´ (x) =0.
3.Найти знак производной
интервале.
4.Согласно
признаку
(убывания) функции, найти
возрастания и убывания.
f´(x).
на
каждом
возрастания
промежутки

53.

Найдите промежутки возрастания и убывания
функции:
1.
2. f´(x)=0, если
3.
f´(x
)f (x)
Ответ:
0
1
X

54.

Точка хо называется точкой минимума функции f(x),
если существует такая окрестность точки хо, что
для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется
неравенство f(x)> f(xo).
Если в точке хо производная функции f(x)
меняет знак с «–» на «+», то хо – точка
локального минимума функции f(x).
f′(x)
f(x)
–
min
xo
f(xо) – минимум функции
+
x

55.

Точка хо называется точкой максимума функции
f(x), если существует такая окрестность точки хо,
что для всех х ≠ хо из этой окрестности выполняется
неравенство f(x)< f(xo).
Если в точке хо производная функции f(x)
меняет знак с «+» на «–», то хо – точка
локального максимума функции f(x).
f′(x)
f(x)
+
max
xo
f(xо) – максимум функции
–
x

56.

1о Дифференцируем функцию: f′(x).
2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0.
4о Полученные данные изображаем на схеме:
f′(x)
f(x)
+
–
x1
+
x2
–
x3
5o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х1]; [x2; x3].
б) Промежутки убывания: [x1; x2]; [x3; + ∞).
x

57.

1о Дифференцируем функцию: f′(x).
2о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0.
3о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0.
4о Полученные данные изображаем на схеме:
f′(x)
f(x)
+
–
x1
+
x2
–
x3
5o a) х1; x3 – точки максимума; x2 – точка минимума.
б) f(x1); f(x3) – максимумы функции;
f(x2) – минимум функции.
x

58. Примеры

59.

60.

+
–
+ –
+