Предел функции

1. Математический анализ (ю)

Лекция - 2
1
05.12.2018

2. Повтор лекции 1

2
Логическая символика
Умение логически мыслить – логика – является основным
инструментом процесса математического анализа.
Логика в математике
– наука о способах доказательств и опровержений;
– совокупность научных теорий с доказательствами и
опровержениями
1. Конъюкцией высказываний относительно p и q
называют высказывание, которое истинно только тогда,
когда оба высказывания ( и p , и q ) истинны. Логический
символ конъюкции заменяет союз “и”
2. Дизъюкцией высказываний относительно p и q
называют высказывание, которое ложно в том и только
в том случае, когда оба высказывания ( и p , и q ) ложны,
а истинно, когда хотя бы одно из них ( p или q ) истинно.
Логический символ дизъюкции заменит союз “или” .
2

3.

Повтор 1 лекции
3
3. Импликацией (следование) высказываний относительно p и q
называют высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда
p истинно, а q – ложно. Логический символ импликацией
используют при указании на последствия некоторого факта.
Он заменит словосочетание “если ... , то …” или “ p влечет q “ .
4. Символ эквиваленции означает, что высказывание
истинно только тогда, когда оба высказывания p и q истинны
или оба высказывания ложны. Этот символ заменяется термином
“равносильно”.
5. Отрицание высказыванием p называют высказывание
p, которое истинно, если p ложно, и ложно, когда p
истинно. Логический символ отрицания используют при
указании на последствия некоторого факта;
оно заменяет слово “ не ”.
3

4.

4
Повтор лекции 1
Для сокращения и уточнения записей высказываний
вводятся знаки:
– квантор общности (логический эквивалент слов “все”,
“каждый” );
– квантор существования (логический эквивалент слова
“некоторый”),
, – символы принадлежности или непринадлежности :
например, выражение “для всякого элемента x множества
Е ” записывается в виде x E ;
выражение “… существует по крайней мере один элемент
множества Е , такой что … ” записывается как x E
.
.
А – символ отрицания высказывания А
4

5.

5

6.

Повтор лекции 1
Действительные числа
6

7.

Повтор лекции 1
Функции
7

8.

Числовая последовательность
Повтор лекции 1
соотв.
Часто последовательность задается формулой для вычисления ее
элементов по их номерам : 1, 1/2 , 1/3 , …,1/n – функция
натурального аргумента : xn = f(n)
Определение: число a наз. пределом последовательности xn ,
если ε > 0 N = N(ε) : ( n > N |xn – a | < ε )
Обозначение :
Определение: последовательность xn , имеющая предел a называется
сходящейся ( к числу a ) , а не имеющая предел – расходящейся.
Примеры (1) :
lim 1/ n 0
n
, т.е. a = 0 . Поскольку выражение
| 1/n – 0 | = 1/n < ε выполнено n > 1/ε = N(ε)
N(ε) – не обязательно целое, n – номер, обязательно целое.
(2) :
n
x n – стационарная последовательность, xn = a .
; т.к. n |x n – a | = | a – a | = 0 < ε
8

9.

Повтор лекции 1
Геометрическая интерпретация
N
Определение. Последовательность {x n} наз. ограниченной, если
с : | x n | < c
n = 1, 2, ….
(конечной длины)
9

10.

Повтор лекции 1
Замечание. Обратное неверно, например,
r
10

11.

Повтор лекции 1
1
,b≠0
11

12.

Доказательство.
3)
yn
yn
12

13.

Повтор лекции 1
2
yn
13

14.

Повтор лекции 1
– Число Эйлера
14

15.

Повтор лекции 1
3
15

16.

Повтор лекции 1
4
16

17.

Повтор лекции 1
5
См. слайд 14
17

18.

Повтор лекции 1
Предел последовательности
Число a наз. пределом последовательности x 1, x 2, x 3, …, x n, …
lim xn a
n
,
если для любого ε > 0 существует число N = N(ε) такое, что
|x n – a| < ε при n > N .
Пример:
показать, что
2n 1
lim
2
n 1
n
Составим разность
если
2n 1
1
lim
2
,
n 1
n 1
n > 1/ε – 1 = N(ε) .
n
Таким образом, для каждого положительного числа ε найдется
число N = 1/ε – 1 такое, что при n > N будет иметь место
неравенство
n > 1/ε – 1 . Следовательно, число a = 2
является пределом
2n 1
xn
n 1
18

19.

19

20.

Свойства сходящейся последовательности
при
Это означает , что n
1
N ( )
1
( q 1)
lim q n 0
n
20

21.

Пример : найти предел последовательности
Тогда
21

22. Предел функции

1
22

23.

Замечание: в т. a функция f(x) может быть не
определена . Например f(x) = x•sin 1/x определена
всюду, кроме 0 ,
но
lim x sin 1 0
x
x 0
Пусть ε > 0 , тогда |x•sin 1/x - 0| = |x|•|sin 1/x| |x| < ε
при условии
0 < |x - 0| = |x| < δ(ε) = ε
23

24.

Предел функции
Определение : функция f(x) A
при x a (A, a - числа),
если для любого > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что
.
| f(x) – A| < при 0 < |x – a | < δ
Аналогично,
если
lim f ( x) A
x
|f(x) – A| <
при |x| > N ( )
1.
lim[ f1 ( x) f 2 ( x)] lim f1 ( x) lim f 2 ( x);
2.
lim[ f1 ( x) f 2 ( x)] lim f1 ( x) lim f 2 ( x);
3.
lim[ f1 ( x) / f2 ( x)] lim f1 ( x) / lim f2 ( x);
x a
x a
x a
x a
x a
24

25. Предел по Коши в области бесконечности :

2
25

26.

3
26

27.

.
27

28.

4
28

29.

29

30. Основные теоремы о пределах функций

1
2
30

31.

3
31

32.

4
32

33.

5
33

34. Практические методы нахождения пределов

1.
При отыскании предела отношения двух целых многочленов P(x), Q(x)
при х → полезно оба члена отношения предварительно разделить
n
на x . Аналогично и для дробей, содержащих иррациональности
Пример : xlim
x
3
x 3 10
=
lim
x
x
=1
x 3 1 10 3
x
2. Если P(а) = 0 и Q(а) = 0 , то дробь P(x) / Q(x) рекомендуется сократить на
бином (x - a) .
3. Иррациональные выражения приводятся к рациональному виду путем
введения новой переменной. Например :
1 x 1
lim
1 x y 6, получим
y3 1
1 x 1
lim 2
lim
=
=
x 0 3 1 x 1
y 1 y 1
x 0 3 1 x
Решение. Полагая
lim [ln f ( x)] =
x a
ln (1 x)
lim
1 lim
x 0
x
x
=?
y2 y 1 3
lim
y 1
y 1
2
4. Полезно знать, что если существует и положителен
то
1
lim f ( x, )
x a
ln[ lim f ( x)] .
x a
x
k
k
1 e
x
lim
x 0
sin x
1
x
34

35. Бесконечно малые функции

35

36. Свойства бесконечно малых функций

36

37.

37

38.

38

39. .

Два замечательных предела
Рассмотренные свойства функций, имеющих предел в точке a
расширенной числовой прямой, дают возможность
проанализировать их поведение в окрестности этой точки a .
Однако в ряде случаев этих свойств и установленных правил
предельного перехода недостаточно. Одним из классических
примеров подобного случая является поведение функции (sin x) /
x в окрестности точки a = 0 .
Пусть х - центральный угол окружности единичного радиуса ,
причем 0 < x < /2 (см. следующий слайд).
39

40.

/2.
Первый замечательный предел :
пусть х - центральный угол единичного круга, 0 < x <
40

41.

41

42.

42

43.

43
43

44.

Продолжение
44

45.

.
45

46.

Определение
Пусть f(x) и g(x) определены в Ú(a) .
f ( x)
1 , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными
g ( x)
Если x a
(асимптотически равными) при х → a . Обозначение: f ~ g , х → a .
lim
Пример : sin x ~ x , х → 0 .
Теорема (критерий эквивалентности функций)
46

47.

47