Предел функции

1. Предел функции

Предел функции в точке
Односторонние пределы
Предел функции при x стремящемся к
бесконечности
Основные теоремы о пределах
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел

2. Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки
x0, кроме, быть может самой точки x0.
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x x0),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство:
f (x) A
0; 0; x : x x0 f ( x ) A
lim f ( x ) A
x x0

3. Предел функции в точке

0; 0; x : x x0 f ( x ) A
ε окрестность точки А
y
2
А
0
х0
х
δ окрестность точки x0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки
x0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε,
ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

4. Односторонние пределы

В определении предела функции
lim f ( x ) A
x x0
предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь
меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или
колеблясь около точки x0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0
существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия
односторонних пределов.
Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для
любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех
x ( x0 ; x0 )
справедливо неравенство:
f ( x ) A1
Предел слева записывают так:
lim f ( x ) A1
x x0 0

5. Односторонние пределы

Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если
0; 0; x x0 ; x0 f ( x ) A2
Предел справа записывают так:
Пределы функции слева и
справа называют
односторонними пределами.
y
А2
А1=А2=А
А1
0
lim f ( x ) A2
x x0 0
Очевидно, если существует
х0
х
lim f ( x ) A
x x0
то существуют и оба
односторонних предела,
причем А = А1 = А2

6. Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке
; .
x
Число А называют пределом функции при
, если
0; M 0; x : x M f ( x ) A
lim f ( x ) A
x
Геометрический смысл этого
определения таков:
существует такое число М, что
при х > M или при x < - M точки
графика функции лежат внутри
полосы шириной 2ε,
ограниченной прямыми:
у=А+ε,у=А-ε.
y
2
А
0
М
х

7. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функций.
Формулировка теорем, когда x x0 или x аналогичны,
поэтому будем пользоваться обозначением: lim f ( x ).
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) lim f1( x ) lim f2 ( x )
Предел произведения двух функций равен произведению
пределов:
lim f1( x ) f2 ( x ) lim f1( x ) lim f2 ( x )
Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim C f ( x ) C lim f ( x )

8. Основные теоремы о пределах

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
f1( x ) lim f1( x )
lim
f2 ( x ) lim f2 ( x )
lim f ( x ) 0
2
Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim f ( x ) lim f ( x )
n
n
Предел показательно – степенной функции:
lim f ( x )
g(x)
lim f ( x )
lim g ( x )

9. Основные теоремы о пределах

Если между соответствующими значениями трех функций
u u( x );
z z( x ); v v ( x )
выполняются неравенства: u z v, при этом:
lim u( x ) lim v ( x ) A
тогда:
lim z( x ) A
Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x0 или при
x > x0, то существует соответственно ее левый предел:
lim f ( x ) A1
x x0 0
или ее правый предел:
lim f ( x ) A2
x x0 0

10. Вычисление пределов

Вычисление предела:
lim f ( x ) A
x x
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

11. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется раскрытие
неопределенности.

12. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 14x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
необходимо разложить
наlim Если f(x) – иррациональная
lim
x 0
0
множители
числитель
иx 0 дробь, x
x
x 1 умножить
1
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x 1 1
1дроби на выражение,
1
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
сопряженное
x x 1 1
x 1 1 2

13. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
2
2x
3x 1
2 2
2
2x 2 3 x 1
x
x
x
lim 2
lim
x
x 4 x 2
4 x 2x 5
2x 5
2 2
2
x
x
x
3 1
2 2
C
2 0 0 1
x
x
lim
f(x) – дробно
0 –
Если
x
2 5рациональная
4 0 0 2
функция
или
4 2
x x иррациональная дробь
необходимо разделить
числитель и знаменатель
дроби на x в старшей степени

14. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
2
2
lim
x
1
x
1
x
lim
x
lim
x
x 1 x 1
2
2
2
Умножим и разделим
2
1)
функцию
на
сопряженное
lim
2
x
2
выражение.
x 1 x 1
2
2
0
2
x2 1 x2 1
( x 1) ( x
2
x 1 x 1
2
x 1 x 1
2

15. Первый замечательный предел

Функция
sin x
x
не определена при x = 0.
Найдем предел этой функции при
М С
x
О В А
OA 1
x 0
0 x
2
Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 - площадь сектора OMА,
S3 - площадь треугольника OСА,
Из рисунка видно, что S1< S2 < S3
1
1
1
S1 OA MB OA 0M sin x sin x
2
2
2

16. Первый замечательный предел

М С
x
О В А
1
1
S2 OA AM x
2
2
1
1
S3 OA AC 1 tgx
2
2
1
1
1
sin x x tgx
2
2
2
x tgx
x sin x
sin x x tgx
sin x
cos x x
sin x
1
x
sin x
cos x
1
x

17. Первый замечательный предел

sin x
cos x
1
x
lim cos x cos 0 1
x 0
lim1 1
sin x
lim
1
x 0
x
x 0
Формула справедлива также при x < 0
Следствия:
x
lim
1
x 0
sin x
tgx
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0
tgx
sin kx
lim
1
x 0
kx

18. Первый замечательный предел

0
1 cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x
0
x
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x 2 lim 2 sin 2 x
x 0
2 lim
2x
x 0 x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
2

19. Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется равенство:
Следствия:
2.7182818284
1
x
1
lim
1
e
x
x
lim 1 x x e
x 0
kx
1
lim
1
e
x
kx
Второй замечательный предел применяется для раскрытия
неопределенности 1 .
Другие полезные формулы:
(1 x ) 1
lim
m
x 0
x
m
ln( 1 x )
lim
1
x 0
x
ax 1
lim
ln a
x 0
x

20. Второй замечательный предел

x 3
x 1 4
lim
lim
x
x
x 1
x 1
x 3
4
1
x 1 y
1
lim 1
y
y
x 3
4
lim
1
x
x 1
x 4y 1; x ; y
4 y 1 3
4y
1
1
lim 1 1
y
y
y
4
4
4
1
1
lim 1 lim 1 e 4 14 e 4
y
y
y
y
y
x 3