Понятие первообразной и неопределенного интеграла

1.

1
Тема 7. Неопределенный интеграл.
7.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
В предыдущей теме по заданным функциям вычислялись их
производные. Но при решении ряда физических, химических и
других задач часто возникает обратная задача – по известной
производной восстановить функцию, от которой была вычислена эта
производная (например, по известной мгновенной скорости узнать,
как изменяется координата точки в зависимости от времени). Такая
задача приводит к понятию первообразной.
Определение: Функция F(x) называется первообразной
функции f(x) на интервале (a; b), если для любого x из этого
интервала выполняется равенство: F x f x .
Например:
Заметим, что если у функции f(x) существует хотя бы одна
первообразная, то первообразных будет существовать бесконечно
много, так как любая функция G x F x C , где С –
произвольное число, будет также являться первообразной функции
f(x). Покажем это:
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x)
будет называться совокупности всех первообразных F x C .
Обозначается:
f x dx
– знак неопределенного интеграла;
f(x) – подынтегральная функция;
f(x)dx – подынтегральное выражение.
Определение:
Операция
нахождения
неопределенного
интеграла от функции называется интегрированием функции.
Определение: Функция, для которой может быть вычислена
первообразная
(неопределенный
интеграл),
называется
интегрируемой.
7.2. Свойства неопределенного интеграла.
1) Производная от неопределенного интеграла
подынтегральной функции: f x dx f x .
равна
Доказательство:
2) Дифференциал от неопределенного интеграла
подынтегральному выражению: d f x dx f x dx .
равен
Доказательство:
3) Неопределенный интеграл от некоторой функции равен
сумме
этой
функции
и
произвольной
постоянной
С:
dF x F x C .
Доказательство:
4) Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух
функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих
функций:
f x g x dx f x dx g x dx .
Данное свойство может быть распространено на любое
конечное число функций.
5) Постоянный множитель может быть вынесен за знак
неопределенного интеграла:
kf x dx k f x dx .

2.

2
7.3. Таблица неопределенных интегралов.
Пользуясь тем, что интегрирование – операция, обратная
дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов
путем обращения соответствующих формул таблицы производных:
1.
2.
3.
4.
5.
dx x C
x n 1
x dx n 1 C
dx
x ln x C
ax
x
a dx ln a C
x
x
e dx e C
n
n 1
sin xdx cos x C
7. cos xdx sin x C
dx
8.
tg x C
cos x
6.
Интегралы, приведенные в таблице, называются табличными.
Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых
и универсальных правил отыскания первообразных, как в
дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных
(то есть, методы интегрирования) в большинстве случаев сводятся к
приведению интеграла к табличному. Поэтому табличные интегралы
нужно знать и уметь их узнавать.
7.4. Методы интегрирования.
7.4.1. Метод непосредственного интегрирования.
В данном методе используется следующее:
Преобразование подынтегрального выражения.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
x 3 dx .
2
Пример: Найти интеграл
x
2
9.
dx
sin x ctg x C
2
dx
1 x 2 arctg x C arcctg x C
dx
11.
arcsin x C arccos x C
1 x2
dx
1
x
12. 2
arctg
C
a x2 a
a
dx
x
13.
arcsin C
a
a2 x2
10.
7.4.2. Метод замены переменной.
Данный метод состоит во введении новой переменной
интегрирования. При этом, если переменная выбрана правильно,
заданный интеграл сводится к табличному.
Рассмотрим в общем случае:
f x x dx

3.

Частные случаи:
1)
2)
быть сделан таким образом, чтобы
f ax b dx t ax b .
первоначальный.
Основные группы интегралов, интегрируемых по частям:
f ax b x dx t ax b
n
n 1
n
Пример: Найти интеграл sin 4 x 1 dx .
Группа
Вид интеграла
x sin x dx
x cos x dx
x e dx
x a dx
x ln x dx
x arcsin x dx
x arccos x dx
x arc tg x dx
x arcctg x dx
Выбор частей
n
n
I
Пример: Найти интеграл
v du был проще, чем
3
n
x
n
x
u xn
dv x dx
n
ln 3 x
dx .
x
n
II
n
u x
n
dv x n dx
n
Отметим, что метод интегрирования по частям значительно
шире. Мы рассмотрели лишь основные группы интегралов.
Пример:
7.4.3. Метод интегрирования по частям.
Пусть u u x и v v x - дифференцируемые функции
переменной x. Тогда имеет место формула
u dv uv v du ,
называемая формулой интегрирования по частям.
Суть этого метода состоит в следующем: подынтегральное
выражение представляется в виде произведения двух сомножителей:
u и dv. Затем вычисляются du и v. Причем, выбор частей должен

4.

4
3) Выберем
в
каждом
частичном отрезке произвольную
точку
ci
и
восстановим
перпендикуляры до пересечения с
графиком функции. Получим
точки М1, М2, … Мn. Высота
каждого перпендикуляра будет
равна f ci .
Тема 8. Определенный интеграл.
8.1 Задача о вычислении площади криволинейной
трапеции.
a; b задана
функция y f x , причем f x 0 в
любой точке x промежутка a; b .
Пусть на отрезке
Определение:
Криволинейной
трапецией
называется
фигура,
ограниченная сверху графиком функции,
снизу – осью OX, слева и справа
прямыми x a и x b .
Найдем
площадь
этой
фигуры. Для этого:
1) Разобьем отрезок a; b на n
частичных
отрезков
точками
a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b .
Длину i-го частичного отрезка
обозначим xi .
4) Через полученные точки М1,
М2, … Мn проведем отрезки параллельно оси OX. Получим
прямоугольники с основанием, равным длине i-го частичного
f ci . Причем, площадь каждого
отрезка, и высотой
прямоугольника будет
приближенно
равна
площади
части
криволинейной
трапеции:
Si f ci xi .
Следовательно,
n
2) В каждой точке xi восстановим
перпендикуляры
до
графика
функции, как показано на рисунке.
В результате трапеция разобьется
на n криволинейных трапеций.
Значит, ее площадь может быть
найдена как сумма площадей этих
трапеций:
n
S S1 S 2 ... S n Si .
i 1
S f ci xi ,
i 1
причем
приближение
тем
точнее,
меньше xi .
это
будет
чем
5) Обозначим за
максимальный из отрезков xi . Понятно, что если 0 , то и все
n
xi 0 . Следовательно, S lim f ci xi
0
n i 1

5.

5
8.2 Понятие определенного интеграла.
5) Если пределы интегрирования поменять местами, то
Пусть функция y f x определена, ограничена и непрерывна
на
конечном
промежутке
a; b .
Разобьем
a; b
точками
a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b на частичные отрезки длиной xi .
Обозначим за
максимальный из отрезков xi . В каждом из
отрезков выберем произвольную точку ci
b
a
6)
и построим сумму
a
0
0
8)
Если
этот
предел
n i 1
n
существует, конечен, не зависит от способа разбиения на частичные
отрезки и от выбора точек ci , то его называют определенным
интегралом от функции y f x на промежутке a; b .
Обозначают:
, где
f x - подынтегральная функция,
f x dx - подынтегральное выражение,
a и b – нижний и верхний пределы интегрирования.
8.3 Свойства определенного интеграла.
1) Если функция непрерывна, то она интегрируема.
2) Если функция имеет конечное число конечных разрывов, то
она интегрируема.
3) Если k – постоянное число и функция f x интегрируема на
b
b
a
b
сумма
b
b
и
f x f x dx f x dx f x dx .
1
a
2
1
a
2
a
b
разность,
причем
зависит
b
от
переменной
Если f x интегрируема на a; b и точка c a; b , то
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
8.4 Вычисление определенного интеграла. Формула
Ньютона-Лейбница.
В предыдущих параграфах было рассмотрено понятие
определенного интеграла, его свойства, но не был предложен способ
его вычисления.
Теорема Ньютона-Лейбница: Если функция y f x
непрерывна на a; b и F x - какая-либо ее первообразная, то имеет
b
место равенство: f x dx F b F a .
a
Данная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Отметим, что разность F b F a может быть записана в
b
b
, а символ
называется знаком двойной подстановки.
a
4) Если функции f1 x и f 2 x интегрируемы на a; b , то
их
a
c
a
интегрируема
a
b
виде F x
a; b , то k f x dx k f x dx .
b
не
7) f x dx 0 .
i 1
n
интеграл
a
n
lim n lim f ci xi .
Определенный
интегрирования: f x dx f t dt .
n f ci xi , которая называется интегральной суммой.
Рассмотрим
a
определенный интеграл поменяет свой знак: f x dx f x dx .
a
С учетом этого формула Ньютона-Лейбница может быть записана в
b
b
a
a
виде: f x dx F x
F b F a .

6.

Данная формула является основной формулой интегрального
исчисления. Она устанавливает связь между определенным и
неопределенным интегралом и дает удобный способ вычисления
определенного интеграла.
Замечание: функция x должна быть дифференцируемой и
6
монотонной (возрастающей или убывающей) на промежутке a; b .
Пример 1:
8.5. Методы вычисления определенных интегралов.
8.5.1. Метод непосредственного интегрирования.
В данном методе используется следующее:
Преобразование подынтегрального выражения.
Свойства определенного интеграла.
Таблица интегралов.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пример 2:
Пример 1:
Пример 2:
Замечание: 1) при замене переменной в определенном
интеграле обязательно нужно менять пределы интегрирования;
2) после вычисления первообразной не требуется возвращаться
к старой переменной.
8.5.3. Метод интегрирования по частям.
8.5.2. Метод замены переменной.
Данный метод состоит во введении новой переменной
интегрирования. Используется в том же случае, что и в
неопределенном интеграле. Рассмотрим в общем случае:
b
f x x dx
a
Пусть u u x и v v x – дифференцируемые функции
b
переменной x. Тогда имеет место формула
b
u dv uv a v du ,
a
b
a
называемая формулой интегрирования по частям.
Она применяется в тех же случаях, что и в неопределенном
интеграле, причем, выбор частей ведется таким же образом.
Пример 1:

7.

7
8.7. Несобственные интегралы.
При введении понятия определенного интеграла был введен ряд
ограничений: функция y f x должна быть ограничена и
определена на конечном промежутке a; b .
Пример 2:
8.6. Некоторые приложения определенных интегралов.
1) Вычисление площадей плоских фигур.
Если нарушается хотя бы одно из данных условий (промежуток
интегрирования бесконечен или функция неограниченна), то
возникают несобственные интегралы.
Различают несобственные интегралы I и II рода. Несобственный
интеграл I рода – это интеграл от конечной (ограниченной) функции
на бесконечном промежутке (когда один или оба предела
интегрирования бесконечны). Несобственный интеграл II рода – это
интеграл на конечном промежутке от бесконечной функции
(функции, которая терпит на данном промежутке разрыв II рода).
Пусть функция y f x определена и непрерывна на
промежутке a; .
Определение: Несобственным интегралом I рода называется
B
f x dx lim f x dx .
B
a
a
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что
интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то
говорят, что интеграл расходится.
b
Аналогично можно определить
f x dx
f x dx
2)
от
Вычисление пути, пройденного телом за промежуток времени
t1 до t2 , если известна мгновенная скорость v v t :
t2
S v t dt .
t1
Пример: