Понятие первообразной. Неопределенный интеграл

1. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл

2.

Понятие первообразной
Задача. Известен закон изменения скорости
тела
v (t ) , требуется найти закон
изменения координаты x(t) данного тела.
Дано: v(t )
Найти: x (t ) ?
Решение: Скорость – это производная от
пройдённого пути ( физический смысл
производной ). Таким образом, для решения
задачи необходимо по заданной функции
(производной) восстановить функцию.
Решение:
Общая же постановка вопроса такова: в
распоряжении есть некоторая функция f(x) и
возникает потребность выяснить, от какой
функции она произошла. То есть, необходимо
найти ТАКУЮ функцию F(x) , чтобы .
Проверка:
F ( x) f ( x)
x
x (t ) v(t )
x2
x(t )
2
x2 1
x (t ) 2 x x v(t )
2 2

3.

Определение. Функцию
y f (x)
y F (x)
называют первообразной для функции
на заданном промежутке Х, если для любого
выполняется равенство
x X
F ( x) f ( x)
Пример : Функция F ( x)
x является первообразной для функции f ( x)
на промежутке x 0;
, так как для любого х из этого
промежутка выполняется равенство
1
2 x
x 2 1 x
Теорема. Пусть F(x) какая-нибудь первообразная для функции f(x) на
некотором промежутке . Тогда функция F(x) + C, где С – произвольная
константа, тоже будет первообразной функции f(x) на этом промежутке.
Пример. Так для функции
любая функция из множества
f ( x)
1
2 x
первообразной будет являться
F ( x) x C , где C = const ( просто подстав-
ляйте конкретные числовые значения). Так как
1
x C
0
2 x

4. Взаимно-обратные операции

умножение
сложение
возведение в степень
дифференцирование
процесс нахождения
производной
деление
вычитание
извлечение корня
интегрирование
процесс нахождения
первообразной

5.

Основная задача интегрирования: записать все первообразные для
данной функции. Решить её- значит представить первообразную в
таком общем виде: F(x)+C
Пример 1. Найти все первообразные для заданных функций.
1) f ( x) 5 sin x
F ( x) 5 cos x C
Проверка: F ( x) 5 cos x C 5 sin x 0 5 sin x f ( x)
Постоянный множитель выносится
за знак первообразной
2) f ( x) 12 x 8x 1
3
x4
x2
F ( x) 12 8 1 x C
4
2
F ( x) 3 x 4 4 x 2 x C
Проверка:
Первообразная суммы равна
сумме первообразных
4
2
3
F ( x) 3x 4 x x C 12 x 8x 1 f ( x)

6.

Пример 2. Для функции y f (x)
найдите первообразную y F (x )
,
которая принимает данное значение в указанной точке.
1
1
f ( x)
, F 5
2 3x
3
Решение.
1. Найдем общий вид
первообразных для функции f(x)
Первообразной для функции
2. Чтобы найти значение
y f (kx
)
постоянной
С,bвоспользуемся
начальными условиями
1
служит функция
F 5
y
1
F ( kx b)
k
3
3. Одна из первообразных имеет
вид
1
F ( x) ln 2 3x C
3
1
5
3
1
F ( x) ln 2 3x C
3
1
1
5 ln 2 3 C
3
3
0
1
5 ln 1 C
3
5 C
1
F ( x) ln 2 3 x 5
3

7.

Определение. Множество всех первообразных
функции
функции
f (x)
f (x)
F ( x) C
для
называется неопределенным интегралом
и обозначается символом
от
f ( x)dx
f ( x)dx F ( x) C
f (x)
f ( x)dx
- подынтегральная функция
- подынтегральное выражение
Сам процесс отыскания множества первообразных F ( x) C - интегрированием
Интегрирование – это восстановление функции
F ( x) C по её
производной f (x ) (обратное действие по отношению к дифференцированию).

8. Правила интегрирования

cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx F (ax b) C , a 0
a

9. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5.
x
x
e
dx
e
C .
6. sin xdx cos x C .
7.
cos xdx sin x C .
dx
sin 2 x ctgx C .
dx
tgx C .
9.
2
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
8.

10.

Пример. Найти неопределенный интеграл
3 5
1) 3 dx
x x
Решение: Воспользуемся первым и вторым правилом интегрирования
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
5
5 x 3
3
x
af ( x)dx a f ( x)dx
3
5
dx
3 5
1) 3 dx dx 3 dx 3 5 x 3 dx
x
x
x
x x
Теперь воспользуемся таблицей интегралов
x 3 1
5
3 5
x x3 dx 3 ln x 5 3 1 C 3 ln x 2 x 2 C

11.

Пример. Найти неопределенный интеграл
2) e 5 x 2 dx
Решение: Воспользуемся третьим правилом интегрирования
1 5 x 2
5 x 2
e
dx
e
C
5
1
f (kx b)dx F (kx b) C
k