Числовые ряды

1.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Лутковская Е.А.

2.

Хорошие ссылки
■ найти сумму числового ряда (разложение на простейшие дроби)
https://www.youtube.com/watch?v=4IQK3HV7EkE&t=41s

3.

Определения
■ Сумма членов бесконечной числовой последовательности
называется числовым рядом.
■
■ При этом числа
называются членами ряда,
■ а un – общим членом ряда.
■ Суммы
при
■ n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
■ Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм
ряда S1, S2, …,Sn, …

4.

Сходящиеся и расходящиеся ряды
■ Ряд
■
(1)
■ называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм.
Сумма сходящегося ряда есть предел последовательности его частных сумм:
■
■ Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела,
или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

5.

Свойства рядов
1. Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или
добавить конечное число членов ряда.
2. Рассмотрим два ряда
и
сходится и его сумма равна S, то ряд
СS.
, где С – постоянное число. Если ряд
тоже сходится, и его сумма равна
3.
Рассмотрим два ряда
и
. Суммой или разностью этих рядов будет
называться ряд
, где элементы получены в результате сложения
(вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами. Если ряды
и
сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма
равна S +s.
4.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
5. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
6. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и
нахождение суммы ряда.

6.

Необходимое условие сходимости ряда
■ Теорема. Критерий Коши (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд (1)
сходится, то его общий член un стремиться к нулю, т. е.
■
lim