Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов. Лекция 12

1. Лекция 12 Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.

2. Основные понятия

Пусть задана бесконечная последовательность чисел:
u 1 , u 2 , u 3 , ..., u n , ....
Выражение вида u 1 u 2 u 3 ... u n .... u n
n 1
называется числовым рядом.
Числа u 1 , u 2 , u 3 , ..., u n , .... называются членами ряда, а un общим членом ряда.
Зная общий член ряда можно найти все его члены.
5n 1
Пример. Дан ряд 2 . Найти его первые три члена.
Решение.
n 1
u1
n
5 1 1 6
3,
21
2
u2
5 2 1 11
,
22
4
Т.е. ряд можно записать в виде:
5n 1
11
3
2 ...
n
2
4
n 1
u3
5 3 1 16
2
23
8
(1)

3.

Также можно решить обратную задачу: зная несколько первых членов
ряда можно составить формулу для его общего члена.
Пример 1. Составить формулу общего члена ряда
1
1
1
1
...
4
9
16
Решение: Знаменатели членов данного ряда являются квадратами
натуральных чисел, поэтому общий член данного ряда будет иметь вид:
1
un 2
n
Пример 2. Составить формулу общего члена ряда
2 4
6
8
...
5 8 11 14
Решение. Числители членов этого ряда – это четные числа вида 2n ,
а знаменатели - числа, которые можно получить по формуле 3n 2 , ( из
формулы общего члена арифметической прогрессии an a1 d (n 1)
первый член которой a1 5 , а разность d 3 ).
Т.е. общий член ряда имеет вид: u 2n
n
3n 2

4.

Сумма первых n членов ряда (1) называется n-й частичной суммой
ряда и обозначается: S n u1 u2 u3 ... un .
Рассмотрим частичные суммы
S1 u1 , S 2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , ....
S n последовательности
Если существует конечный предел S lim
n
частичных сумм ряда (1), то ряд называется сходящимся, а этот предел
называется суммой ряда.
Sn
Если предел частичных сумм lim
не существует или равен
n
S n , то числовой ряд называется расходящимся.
бесконечности lim
n
1
1
1
Пример. Найти сумму ряда 1 2 2 3 3 4 ... .
Решение. Составляем общий член ряда:
1
1
1
un
n ( n 1)
n
n 1
Находим n-ю частичную сумму ряда:
1
1
1 1 1 1 1
1
S n 1 ...
1
n 1
2 2 3 3 4
n n 1
1
S n lim 1
1 .
Вычисляем предел n-ой частичной суммы lim
n
n
n
1
Таким образом, ряд сходится и его сумма равна S 1 .

5. Свойства рядов

Пусть дан числовой ряд
u 1 u 2 u 3 ... u n .... u n
(1)
n 1
Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна
S, то ряд
cu 1 cu 2 cu 3 ... cu n .... cu n
n 1
где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS.
Свойство 2. Если сходятся ряды u n и v n , и их суммы
n 1
n 1
соответственно равны S1 и S 2 , сходятся ряды u n v n и их суммы
n 1
равны S1 S 2 .
Свойство 3. Если у ряда (1) отбросить конечное число членов, то
полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.
Ряд вида
u
u
u
....
u
n 1
n 2
n 3
k n 1
называется остатком ряда (1).
k

6. Ряд геометрической прогрессии

Ряд вида
a aq aq 2 aq3 ... aq n 1 ...
(a 0)
(2)
называется рядом геометрической прогрессии.
Данный ряд часто используется при исследовании сходимости
рядов.
a (1 q n )
Сумма первых n членов прогрессии равна: S n
, q 1
1 q
Находим предел этой суммы:
a (1 q n )
a
qn
lim S n lim
a lim
n
n
n 1 q
1 q
1 q
В зависимости от величины q возможны следующие случаи:
a
n
Sn
1. Если q 1, q 0 при n . Поэтому lim
, ряд (2)
n
1 q
сходится и его сумма равна: S a
1 q
n
S n и ряд (2)
2. Если q 1, q при n . Поэтому lim
n
расходится.
3. Если q 1 , то ряд (2) принимает вид a a a ... a ... (q 1)
(для него lim S n n a , т.е ряд расходится) или a a a a ... (q 1)
n
( в этом случае S n 0 при n четном и S n a при n нечетном, т.е
lim S n не существует и ряд (2) расходится
n

7. Признаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак. Если ряд u 1 u 2 u 3 ... u n .... u n
n 1
u n 0 .
сходится, то его общий член стремится к нулю: lim
n
un 0 или
Следствие (достаточное условие расходимости). Если lim
n
этот предел не существует, то ряд расходится.
5n 2
Пример. Исследовать сходимость ряда 3n 4 .
n 1
5n 2
5
0 .
Решение. Находим предел общего члена ряда: lim
n 3n 4
3
Следовательно, ряд расходится.
Необходимое условие сходимости не гарантирует сходимость ряда.
Выполнение необходимого признака означает, что существуют расходящиеся
ряды, для которых lim u n 0 .
n
1 1 1
1
Примером такого ряда является ряд вида 1 ... ...
(3)
2 3 4
n
Этот ряд называется гармоническим.

8. Достаточные признаки сходимости рядов

Пусть даны два знакоположительных
ряда
u 1 u 2 u 3 ... u n .... u n
и
n 1
v1 v 2 v 3 ... v n .... v n
(4)
(5)
n 1
Признак сравнения 1. Если для числовых рядов (4) и (5) выполняется
неравенство un vn , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4),
а из расходимости ряда (4) следует расходимость ряда (5).
Данный признак справедлив также и в тех случаях, когда неравенство
выполняется не для всех членов ряда, а начиная с некоторого номера N.
Признак сравнения 2. Если для рядов (4) и (5) существует конечный,
отличный от нуля предел lim un A (0 A )
n
vn
то ряды (4) и (5) сходятся или расходятся одновременно.

9.

Признак Даламбера. Если для числового ряда u 1 u 2 u 3 ... u n .... u n
n 1
u
существует конечный или бесконечный предел lim
n 1
l
n
un
то ряд сходится при l 1 и расходится при l 1 .
Если l 1 , то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Признак Даламбера применяют когда общий член ряда содержит
выражение n ! или a n .
4n
.
n 2
Пример. Исследовать сходимость ряда
n 1
Решение.
4n
4 n 1
4 n 1
Общий член ряда u n n 2 , тогда u n 1 ( n 1) 2 n 3 .
Находим предел:
u n 1
4 n 1
4n
4 n 1 ( n 2)
4 ( n 2)
lim
lim
lim
lim
4 1
n
n u
n n 3
n
n
n 2
( n 3) 4
n 3
n
Следовательно, ряд расходится.

10.

Интегральный призанк сходимости Коши.
un
Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены
n 1
как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на
[1; ) функции f (x) так, что u1 f (1), u2 f (2), u3 f (3), ...., un f (n), ...
промежутке
то ряд u n будет сходиться или расходиться в зависимости
от того,
n 1
сходится или расходится несобственный интеграл f ( x)dx .
1
1
n
Пример. Исследовать на сходимость гармонический ряд
.
n 1
Решение.
1
1
f
(
x
)
u
Общий член ряда n
, тогда функция
x . Эта функция
n
непрерывна, монотонно убывает на промежутке [1; ) .
Тогда
b
dx
dx
b
lim
lim
ln
x
lim ln b ln 1
1
b x
b
b
x
1
1
Т.е. несобственный интеграл расходится, значит исследуемый
гармонический ряд тоже расходится

11. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Если среди членов ряда есть как положительные , так и отрицательные
члены, то ряд называется знакопеременным.
Если два соседних члена знакопеременного ряда имеют
противоположные знаки, то ряд называется знакочередующимся:
u 1 u 2 u 3 u 4 ... 1
или
n 1
n
u n .... 1
n 1
n 1
un
n
u 1 u 2 u 3 u 4 ... 1 u n .... 1 u n
n 1
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда выполняются
условия:
1) члены ряда убывают по абсолютной величине, т.е.
u1 u2 u3 ... un ...
2) общий член ряда стремится к нулю:
lim un 0
n
то знакочередующийся ряд сходится.
Если хотя бы одно из условий признака Лейбница не выполняется, то
знакочередующийся ряд расходится.

12.

n
1
Пример 1. Исследовать ряд на сходимость:
.
n 1
2n 3
Решение. Находим несколько первых членов ряда и сравниваем их:
1 1 1 1
....
5 7 9 11
Первое условие признака Лейбница выполняется.
Вычисляем предел:
1
lim un lim
n
n
2n 3
0
Второе условие тоже выполнено, значит исходный знакочередующийся ряд
сходится.
n
n
Пример 2. Исследовать ряд на сходимость: 1
.
n 1
n 1
Решение. Проверяем оба условия признака Лейбница:
1) Сравниваем члены ряда:
1 2 3
...
2 3 4
Первое условие признака Лейбница не выполняется, поэтому ряд
является расходящимся.

13.

Абсолютная и условная сходимость
Если знакочередующийся ряд сходится , т. е.для него выполнены
условия признака Лейбница и ряд, составленный из абсолютных величин
исходного знакочередующегося ряда тоже сходится, то знакочередующийся
ряд называется абсолютно сходящимся.
Если же знакочередующийся ряд сходится , т. е.для него выполнены
условия признака Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин
исходного знакочередующегося ряда расходится, то знакочередующийся ряд
называется условно сходящимся.