Теория рядов. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов

1. ТЕОРИЯ РЯДОВ

2.

Теория
рядов
широко
используется
в
теоретических
исследованиях
различных
вопросах естествознания и в приближенных
вычислениях. С помощью рядов вычисляются
значения различных функций (логарифмических,
тригонометрических, показательных и др.),
вычисляются значения интегралов, решаются
дифференциальные уравнения и т.п.

3.

В
частности,
программы
приближенного
вычисления значений элементарных функций и
решения многих стандартных задач, заложенные в
память компьютеров и микрокалькуляторов,
основаны на применении теории рядов.

4. 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

5. 1.1. Понятие о рядах

• Выражение вида
u1 u2 u3 ... un ... un ,
n 1
называется числовым рядом.
u1 , u2 , u3 ,..., un ,... - члены ряда
un
- общий член ряда
un

6.

• Сумма n первых членов ряда
u
n 1
n
называется n-ой частичной суммой ряда и
обозначается через
Sn u1 u2 u3 ... un
S1 u1
S 2 u1 u2
S3 u1 u2 u3
.....................
частичные суммы

7.

При изменении n меняется и Sn; при этом возможны два
случая:
1) величина Sn при n→∞ имеет предел S, т.е.
S lim Sn
n
Тогда ряд называется сходящимся, а S- суммой ряда.
2) величина Sn при n→∞ предела не имеет или её предел
равен ∞.
Тогда ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не
имеет.

8. Пример 1 (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия):

1 1 1 1
1
.... n ...
2 4 8 16
2
1
1
2
2
1 1
3
S2
2 4
4
1 1 1
7
S3
2 4 8
8
1 1 1 1
15
S4
2 4 8 16
16
1 1 1 1 1 31
S5
2 4 8 16 32 32
S1
частичные суммы всё
меньше и меньше
отличаются от 1.

9.

1
2
1
32
1
8
1
16
1
4
Объединение всех этих прямоугольников дает исходный
прямоугольник, значит, и сумма их площадей д.б. равна
площади исходного:
1
1 1
1
1
.... n ... 1
2
4 8 16
2

10. Ряд

1 1 1 1
1
.... n ...
2 4 8 16
2
сходится, т.к.
1
a
S lim S n
2 1 1
n
1 q 1 2
формула для геометрической прогрессии
q 1

11. Пример 2 (бесконечно возрастающая геометрическая прогрессия):

2 22 23 24 25 ... 2n ...
Ряд расходится, т.к
aq n a
2 2n 2
S lim Sn lim
lim
lim 2n 1 2
n
n q 1
n
n
2 1
формула для геометрической прогрессии

12. Ряд геометрической прогрессии

a aq aq aq ... aq ... aq
2
3
n
n 0
Ряд сходится при
q 1
Ряд расходится при
q 1
( см.пример 1)
(см. пример 2)
n

13. Пример 3 (гармонический ряд):

1 1 1 1
1
1 ... ...
2 3 4 5
n
Ряд расходится.

14. Пример 4

1 1 1 1 1 1 1 1 ...
S1 1
S2 1 1 0
S3 1 1 1 1
S4 1 1 1 1 0
последовательность
частичных сумм не
имеет предела
S5 1 1 1 1 1 0
.....................
Ряд расходится.

15. Пример 5

1 1 1 1
1 ...
3 5 7 9
Ряд сходится к
. Сумму ряда нашёл Г.Лейбниц
4
Пример 6
1
1
1
1
2 2 2 ...
2
1
2
3
4
2
Ряд сходится к
. Сумму ряда нашёл Л.Эйлер
6

16.

Свойства конечных сумм , такие как
ассоциативность (произвольная группировка
членов),
коммутативность
(произвольная
перестановка членов), для рядов вообще говоря не
имеют места.
Однако, если ряд с положительными членами
сходится, то его члены м.б. сгруппированы
произвольным образом- полученный ряд также
сходится и имеет ту же сумму, что и данный.

17. Свойства рядов

10. Если ряд
u
n 1
то ряд
cu
n 1
n
n
сходится и его сумма равна S,
cu1 cu2 ... cun ..., c
также сходится и его сумма равна cS.
Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то
же число, то ряд останется сходящимся, а его сумма
умножится на это число.

18.

10. Если ряд
u
n 1
то
ряд
cu
n 1
n
n
расходится и с≠0,
cu1 cu2 ... cun ..., c
также расходится.

19. Пример 7

1 1
1
1
1
1
Известно, что ряд 1 2 3 4 .... n ... n
2 2
2
2
2
n 0 2
сходится.
Показать, что сходится и ряд
1
1
1
1
1
1
4
3
2
2 2 2 2 1 2 3 4 .... n 4 ... n 4
2 2 2 2
2
n 0 2
2
n 0
1
n 4
4
1
24
1
n 4 n 2 n
n 0 2 2
n 0 2
n 0 2
Последний ряд получился из первого умножением на с=24

20.

20. Если ряды
u
n
u1 u2 u3 ... un ...
n
v1 v2 v3 ... vn ...
n 1
v
n 1
сходятся и их суммы равны соответственно S’ и S’’,то
и каждый из двух рядов
u
n 1
n
vn сходится и
сумма каждого равна соответственно S’∓S’’.
Сходящиеся ряды можно почленно складывать и
вычитать.

21. Пример 8

Исследовать на сходимость ряд
2n 3n
5 13
2n 3n
2 ...
...
n
n
6
6 36
6
n 0
и если он сходится, найти его сумму S.

22. Решение

Данный ряд м.б. представлен в виде
n
n
n
n
2 3
2
3
1 1 1 1
n n n n
n
6
6 n 0 3 2 n 0 3 2
n 0
n 0 6
n
n
1 1 1 1
1 1 2 2 ...
3 2 3 2
или
1
1 1 1
n n n n
2 n 0 3 n 0 2
n 0 3

23.

Рассмотрим получившиеся два ряда
1
1 1
1
1 2 ... n ...
n
3 3
3
n 0 3
и
1
1 1
1
1 2 ... n ...
n
2 2
2
n 0 2
Т.к. они являются рядами убывающей геометрической
прогрессии, то они сходятся и их суммы равны
соответственно:

24.

1
3
S lim Sn lim
1
n
n 1
2
3
1
S lim Sn lim
2
n
n 1 1
2
Следовательно, данный ряд сходится и его сумма:
3
7
S S S 2
2
2

25.

30. Если в ряде
u
n 1
n
u1 u2 u3 ... un ...
добавить или отбросить конечное число членов,
то полученный ряд сходится или расходится
одновременно с данным.
В случае сходимости рассматриваемых рядов их
суммы отличаются на сумму добавленных или
отброшенных членов.

26. Пример 9

1 1
1
1
1
1
Известно, что ряд 1 2 3 4 .... n ... n
2 2
2
2
2
n 0 2
сходится.
Тогда сходящимся является и ряд:
1 1 1
1
100 2 3 5 6 .... n 1 ...
2 2 2
2
который получается из данного отбрасыванием и
добавлением конечного числа членов.

27.

• Сумма
rn un 1 un 2 ... un k ... un k
n 1
называется n-ым остатком ряда
u
n 1
n
Т.к.
остаток
получается
из
данного
ряда
отбрасыванием, а данный ряд из остатка- добавлением
конечного числа членов, то согласно свойству 30, они
одновременно сходятся или расходятся.

28.

• Если ряд
u
n 1
n
сходится, то
lim rn lim S Sn lim S lim Sn S S 0
n
n
n
n
Т.е. остаток стремится к нулю при неограниченном
возрастании n.
В вопросах приближенного вычисления важную роль играет
оценка точности приближения.
Если значение данной величины представлено в виде ряда, то
оценку приближения при помощи частичных сумм можно
получить путем исследования остатка ряда.

29.

Четкое
определение
сходимости
ряда,
основанное
на
понятии
предела
последовательности
частичных
сумм,
появилось лишь в начале XIX века. Тогда же
началось систематическое изучение рядов.

30. 1.2. Необходимый признак сходимости ряда

• Если ряд u1 u2 u3 ... un ...
u
n 1
n
сходится, то его общий член un→0 при
неограниченном возрастании n (n→∞)
lim un 0
n
Если lim un 0
n
расходится
или не существует, то ряд
u
n 1
n

31. Пример 10

1 1
1
1
1
1
Известно, что ряд 1 2 3 4 .... n ... n
2 2
2
2
2
n 0 2
сходится.
Проверим необходимое условие
1
lim un lim n 0
n
n 2
Необходимое условие выполнено.
lim un 0
n

32. Пример 11

1
Ряд
2
3
n
1
1
1
1
1 1 1 ... 1 ...
2
3
n
1
расходится, т.к.
n
1
lim un lim 1 e 0
n
n
n
Необходимое условие не выполнено ⇒ряд расходится

33. Пример 12

Известно, что ряд
1 1 1 1
1
1 .... ...
2 3 4 5
n
гармонический .
Необходимое условие сходимости ряда выполняется:
1
lim un lim 0
n
n n
Между тем этот ряд расходится.

34. Доказательство:

n
1
lim 1 e
n
n
n
1
1 e
n
Прологарифмируем по основанию е:
n
1
ln 1 ln e
n

35.

1
n ln 1 1
n
1 1
ln 1
n n
1 n 1
ln
n n
1
ln 1 n ln n
n

36.

1
ln 1 n ln n
n
Пусть n = 1,2,3,4,5,… Тогда получаем:
ln 2 ln1 1
1
ln 3 ln 2
2
1
ln 4 ln 3
3
1
ln 5 ln 4
4
................
1
ln 1 n ln n
n

37.

Складывая эти неравенства, получим:
1 1 1
1
ln 1 n 1 ....
2 3 4
n
частичная сумма
гармонического ряда
Sn-
ln 1 n Sn
Поскольку
lim ln 1 n
n
то
lim S n
n
Ряд расходится.

38.

Рассмотренный признак является только
необходимым, но не является достаточным.
Иными словами: нарушение этого условия
гарантирует расходимость ряда, но его
выполнение не гарантирует сходимости!