Числовые и функциональные ряды, их сходимость

1. Математика ППИ

Лекция 17.
Числовые и
функциональные ряды, их
сходимость.

2. Вопросы лекции

1.
2.
3.
1. Числовые ряды.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и
условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды, признак
Лейбница. Оценка остатка
знакочередующегося ряда.
Функциональные ряды, область их
сходимости. Степенные ряды.
Интервал, радиус и область сходимости
степенного ряда. Основные свойства
степенных рядов.

3. ЛИТЕРАТУРА

[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 2. Москва:
Интеграл-Пресс, 2005. с. 234-277;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев.
Краткий курс высшей математики.
Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 397427;

4. Учебный вопрос

Числовые ряды.

5. Основные определения

6. Основные определения

7. Числовые ряды с неотрицательными членами

8. Числовые ряды с неотрицательными членами

9. Числовые ряды с неотрицательными членами

10. Числовые ряды с неотрицательными членами

11. Числовые ряды с неотрицательными членами

12. Учебный вопрос

Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная
сходимость.
Знакочередующиеся ряды,
признак Лейбница.
Оценка остатка
знакочередующегося ряда.

13. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий как положительные, так и
отрицательные члены, называется знакопеременным.
Пусть дан знакопеременный ряд
u
n 1
n
(1)
Рассмотрим ряд (2), составленный из абсолютных величин
членов данного ряда:
un u1 u2 ... un ... (2)
n 1
Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Ряд (1) в этом
случае называется абсолютно сходящимся.
Возможен случай, когда ряд (1) сходится, а (2) расходится;
тогда ряд (1) называется условно сходящимся.

14.

Ряд вида
a1 a2 a3 ... ( 1) an ... =
называется знакочередующимся.
n 1
( 1)
n 1
an ,
n 1
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Если члены знакочередующегося ряда
( 1) n a n a1 a 2 ... ( 1) n a n ... (a n 0)
n 1
1) монотонно убывают по абсолютной величине:
2)
a n 1 a n
,
( n 1, 2, 3, ...)
lim a n 0
n
то знакочередующийся ряд сходится, сумма его S
положительна и не превосходит первого члена ряда:
0 S a1

15.

При замене суммы S ряда, удовлетворяющего
признаку Лейбница, суммой n его первых членов
абсолютная величина ошибки r S S
n
n
не превышает абсолютного значения первого из
отброшенных членов:
rn a n 1
Знак ошибки (знак rn ) совпадает со знаком
первого из отброшенных членов.
Sn

16.

Пример 1.

17. Пример 2.

18. Учебный вопрос

Функциональные ряды,
область их сходимости.
Степенные ряды. Интервал,
радиус и область сходимости
степенного ряда. Основные
свойства степенных рядов.

19. Функциональные ряды, область их сходимости.

20. Степенные ряды.

21.

22.

23.

Пример 1.

24.

Пример 2.

25.

26.

27.

28.

29. Задание на самоподготовку

Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 2. Москва:
Интеграл-Пресс, 2004. с. 237-240;
Выучить изученный материал.