Числовые ряды

1.

2.

Числовым рядом называется
бесконечная последовательность
чисел u1, u2, …un, соединенных
знаком сложения.
u1 u2 ... un ... un
i 1

3.

Числа u1, u2, …un называются
членами ряда.
Член un называется общим или
n – ным членом ряда.
Ряд считается заданным, если известен его
общий член
un f (n)
Т.е. задана функция натурального аргумента.

4.

Ряд с общим членом
un ( 1)
n 1
1
2
n (n 1)
имеет вид
1 1 1
1
n 1
... ( 1) 2
...
2 12 36
n (n 1)

5.

Можно найти сумму некоторого числа членов
ряда:
S1 u1
S 2 u1 u 2
...
S n u1 u2 ... u n
Сумма n первых членов ряда
называется n-ой частичной суммой
ряда Sn.
Поскольку число членов ряда бесконечно, то
частичные суммы ряда образуют числовую
последовательность: S1 , S 2 ,..., S n ...

6.

Ряд называется сходящимся, если
существует конечный предел
последовательности его частичных
сумм:
lim S n S
n

7.

Число S называется суммой ряда:
u1 u2 ... un ... S
Если конечного предела
последовательности частичных
сумм не существует, то
ряд называется расходящимся.

8.

Исследовать сходимость геометрического
ряда, состоящего из членов геометрической
прогрессии:
a a q a q ... a q
2
n 1
... a q
n 1
n 1

9.

Установим, при каких значениях знаменателя
прогрессии q ряд сходится или расходится.
a q 1
Sn
q 1
n

10.

1
q 1
lim q 0
n
n
a q
a (q 1)
a
a
lim Sn lim
lim
n
n
n q 1
q 1
q 1 q 1
n
n
Ряд сходится и его сумма равна
a
q 1

11.

2
q 1
lim q
n
n
lim S n
n
Ряд расходится.

12.

3
q 1
Ряд принимает вид:
a a a ... a ...
Sn a a ... a n a
n раз
lim S n lim (n a)
n
n
Ряд расходится.

13.

4
q 1
Ряд принимает вид:
a a a ... a ...
Sn 0 при n четном
Sn a при n нечетном
lim S n
n
- не существует
Ряд расходится.

14.

Геометрический ряд сходится при
q 1
и расходится при
q 1

15.

1
Если ряд
u1 u2 ... un ...
сходится и имеет сумму S, то и ряд
u1 u2 ... un ...
сходится и имеет сумму λS, где λ –
некоторое число.

16.

2
Если ряды
u1 u2 ... un ...
и
v1 v2 ... vn ...
сходятся и их суммы равны соответственно
S1 и S2, то и ряд
(u1 v1 ) (u2 v2 ) ... (un vn ) ...
сходится и имеет сумму S=S1+S2

17.

3
Если ряд сходится, то сходится и ряд,
полученный из данного путем добавления
или отбрасывания конечного числа членов.

18.

Ряд, полученный из данного путем отбрасывания
его первых n членов, называется n-ным
остатком ряда.
Пусть задан ряд
u1 u2 ... un ...
отбрасываем первые n членов:
un 1 un 2 ... un m ...
Обозначим сумму n-го остатка ряда как rn
rn un 1 un 2 ... un m ...
Тогда сумму исходного ряда можно представить
в виде:
S S n rn

19.

4
Для того, чтобы ряд
u1 u2 ... un ...
сходился, необходимо и достаточно,
чтобы при n
остаток ряда стремился к нулю, т.е.
lim rn 0
n