Знакопостоянные числовые ряды. Лекция 1

1.

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
3 семестр
Функциональные последовательности и ряды
08.09.21 Лекция 1
Знакопостоянные числовые ряды.
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Иванова Татьяна Михайловна

2.

Основные определения, примеры
П.1 Понятие числового ряда и его сходимости.
Пусть имеется числовая последовательность u1 , u2 ,..., un ,... un n 1 . Символ
u1 u2 ... un ... un
(1)
n 1
будем называть числовым рядом, а элементы последовательности
– его членами.
Общий член ряда un есть функция натурального аргумента. Рассмотрим теперь
последовательность частичных сумм ряда (1):
S1 u1 ,
S2 u1 u2 ,...,
S n u1 u2 ... un ,...
S n n 1 .
Определение. Если существует конечный или нет предел последовательности частичных
сумм
lim Sn S , то он называется суммой ряда (1), при этом пишут
n
u
n 1
n
S.
Если S , то ряд (1) называют сходящимся, если же S или не существует, то
ряд называют расходящимся.

3.

Основные определения, примеры
Пример:
Доказать по определению, что ряд сходится, и вычислить его сумму:
4n
n 1
1
2
.
1
Решение:
1 n 1
1
Sn 2
2 k 1 2k 1 2k 1
k 1 4k 1
k 1 2k 1 2k 1
n
1
n
1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 ...
1
2 3 3 5 5 7
2n 1 2n 1 2 2n 1
1
1 1
1
1
lim Sn lim 1
.
2
n
n 2
2
2n 1 2
n 1 4n 1

4.

Основные определения, примеры
Пример:
Доказать по определению, что ряд
1
n
расходится.
n 1
Решение:
Можно указать две подпоследовательности последовательности частичных сумм,
S2 m 1 1 1,
S2 m 0 0.
имеющие различные пределы:
частичных сумм предела не имеет, и ряд расходится.
Следовательно, последовательность

5.

Основные определения, примеры
Понятия сходимости ряда и последовательности тесно связаны. Так сходимость ряда
un есть сходимость
последовательности его частичных сумм
n 1
Sn n 1 .
Верно и
обратное. Для любой последовательности an n 1 можно построить такой ряд, для которого
члены этой последовательности являются частичными суммами:
u1 a1 ,
u2 a2 a1 ,
...
un an an 1 ,
...
Тогда частичными суммами ряда
u
n 1
будут элементы последовательности an n 1 :
n
S1 a1 , S2 a2 ,..., Sn an ,...

6.

Критерий Коши
Теорема (Критерий Коши).
Ряд u n сходится 0 N N : m n N
n 1
u
.
k
k n 1
m
Доказательство: следует из связи сходимости ряда со сходимостью последовательности
его частичных сумм. По Критерию Коши для последовательностей S n n 1 сходится
0 N N : m n N S
0 N N : m n N
m
Sn
u
.
k
k n 1
m

7.

Следствия критерия Коши
Следствие 1 (Необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд
u
n 1
n
lim un 0.
сходится, то
(2)
n
Доказательство: если ряд сходится, то в частности из условия Коши при m n 1
получим, что
0 N N : n N
u
т.е.
k
k n 1
n 1
0 N N : n N u
n 1
lim un 0 .
n
Таким образом, невыполнение условия (2) гарантирует расходимость ряда
u
n 1
n
.

8.

Необходимое условие сходимости ряда
Однако выполнения условия lim un 0
n
не достаточно для того, чтобы обеспечить
u
сходимость ряда
n 1
n
.
Пример: гармонический ряд.
1
. Для него выполнено необходимое условие сходимости:
n 1 n
Рассмотрим ряд
1
lim 0. Однако, согласно критерию Коши, этот ряд расходится. В самом деле,
n n
отрицание условия Коши имеет вид: 0 : N m n N :
m
u
k n 1
k
. Возьмем
1
, рассмотрим любое N , и пусть n N 1, m 2 N 2. Очевидно, m n N. Тогда
2
m
1
k
k n 1
1
1
1
1
1
N 1 1
...
...
.
k
N
2
2
N
2
2
N
2
2
N
2
2
N
2
2
k N 2
2 N 2
1
Таким образом, : N m 2 N 2 n N 1 N :
2
m
1
. Ряд расходится.
k n 1 k

9.

Следствия критерия Коши
def
Определение. Ряд rn
u
k n 1
k
называется n-ым остатком ряда
u .
k 1
Следствие 2. Последовательность остатков
k
rn n 1
сходящегося ряда
u
k 1
k
является
бесконечно малой.
Доказательство: если ряд
u
k 1
k
сходится, то из условия Коши при переходе m
получим, что
0 N N : n N
k n 1
0 N N : n N r
n
uk
2
lim rn 0 .
n

10.

Следствия критерия Коши
Следствие 3. Изменение конечного числа членов ряда
u
k 1
Доказательство: Пусть ряд
u
k 1
k
не меняет его сходимости.
k
получен из
Тогда найдется такой номер N1 ,
u
k 1
k
изменением конечного числа членов.
начиная с которого члены обоих рядов будут
u
неразличимы. Если
k 1
N N ( ) .Тогда
k
сходится, для него будет выполнено условие Коши, в котором
и
N max N1 , N :
для
ряда
u
k 1
k
оно
0 N max N1 , N : m n N
точно
будет
выполнено,
если
uk uk ряд u k
k 1
k n 1
k n 1
m
m
сходится.
Замечание. Аналогично можно показать, что изменение конечного числа членов ряда
u
k 1
k
не меняет его расходимости. Рекомендуется выполнить в качестве упражнения.

11.

Арифметические свойства сходящихся рядов
Если
u
k 1
k
сходится, и его сумма равна S , то c
c u
k 1
k
также сходится,
причем его сумма равна c S.
Если ряды
u
k 1
ряд
(u
k 1
k
u
k 1
k
и
v
k 1
k
сходятся, и их суммы равны соответственно S u и Sv , то
vk ) также сходится, и его сумма Su v Su Sv .
Ряды
k
и
c u , где c 0, сходятся и расходятся одновременно.
k 1
k
Доказательство этих утверждений основано на связи сходимости ряда со
сходимостью последовательности (частичных сумм) и на арифметических
свойствах предела последовательности. Рекомендуется выполнить в качестве
упражнения.

12.

Знакоположительные ряды
П.2 Ряды с неотрицательными членами.
Рассмотрим ряд все члены которого неотрицательны:
u
n 1
n
: n un 0. Такой ряд
называется
знакоположительным.
Аналогично
можно
рассмотреть
знакоотрицательный ряд, все члены которого неположительны. Оба типа рядов носят название
знакопостоянных (знакоопределенных). Для таких рядов можно сформулировать особые
признаки сходимости. Поскольку конечное число членов ряда не влияет на его сходимость,
то логично считать ряд знакопостоянным, если его члены становятся неотрицательными
(неположительными) хотя бы начиная с некоторого конечного номера N 0 . Далее будем
рассматривать только знакоположительные ряды (знакоотрицательные сводятся к ним
путем умножения на 1 ).
Для знакоположительных
последовательностях.
рядов
имеется
аналог
теоремы
о
монотонных

13.

Критерий сходимости знакоположительного ряда
Теорема. Ряд
u
n 1
n
с неотрицательными членами сходится последовательность его
частичных сумм S n n 1 ограничена сверху (т.е. M 0 : n Sn M ).
Доказательство:
S n S S n n 1 ограничена.
Пусть un сходится конечный lim
n
n 1
Поскольку члены ряда неотрицательны, то n Sn 1 Sn un 1 Sn
убывает и, по условию, ограничена сверху конечный lim S n S
n
S n n 1 не
u
n 1
n
сходится.
Замечание.
Очевидно, что расходящийся знакоположительный числовой ряд всегда имеет сумму S , и
S .

14.

Геометрическая прогрессия
Пример.
Рассмотрим ряд
q
n
1 q ... q n ... , q 0.
n 0
Замечание. Ради удобства нумерация членов ряда не всегда начинается с единицы, при
этом n ой частичной суммой все равно считается сумма всех членов ряда до un
включительно.
В данном случае
q n 1 1
, q 1,
Sn q 1
n 1, q 1.
1
Отсюда q
(сходится) при 0 q 1;
1 q
n 0
n
q
n 0
n
(расходится) при q 1.

15.

Признаки сравнения
Теорема. Пусть даны два ряда
u
n 1
n
и
v ,
n 1
n
причем n un vn 0. Тогда
из сходимости ряда
u
n 1
n
следует сходимость
v
n 1
n
(мажорантный признак)
из расходимости ряда
vn , следует расходимость ряда
n 1
u
n 1
n
(минорантный
признак)
Доказательство.
Пусть
u
n 1
n
сходится
m
m
m
vk vk uk
k n 1
k n 1
k n 1
0 N N : m n N
u
k
k n 1
m
Пусть
ряд
v
n 1
n
расходится
m
m
m
uk uk vk
k n 1
k n 1
k n 1
u
k n 1
k
v
n 1
n
сходится.
0 : N m n N :
vk u n расходится.
k 1
k n 1
m
m
v
k
k n 1
m

16.

Замечания к признакам сравнения
Замечание 1. Признаки сравнения остаются верными, если соотношение
un vn 0 становится верным с некоторого конечного номера N 0 .
Замечание 2. Признаки сравнения остаются верными, если соотношение
un vn 0 заменить на c un vn 0, c 0.

17.

Признак сравнения в предельной форме
Теорема.
Пусть даны два ряда
u
n 1
n
и
v ,
n
n 1
причем n vn 0, и существует конечный
un
L 0.
n v
n
lim
(3)
Тогда оба ряда сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство.
Пусть ряд
v
n
n 1
сходится. Тогда из (3) для
u
L
L
0 N : n N n L или
2
vn
2
L un 3L
3L
. Значит, un vn c vn , c 0. По предыдущей теореме и замечанию
2 vn
2
2
2 получаем, что ряд
u
n 1
n
сходится.
Пусть ряд
v
n 1
n
2
un c un vn , c 0. По предыдущей теореме и
L
расходится. Тогда
замечанию 2 получаем, что ряд
u
n 1
n
расходится.

18.

Признак Даламбера
Теорема (Признак Даламбера в допредельной форме).
Пусть все члены ряда
u
n 1
n
положительны: n un 0. Тогда
u
если n n 1 q 1, то ряд
un
u
если n n 1 1, то ряд
un
Доказательство. Пусть n
u q
n 1
1
Пусть
u
n 1
n
сходится,
u
n 1
n
расходится.
un 1
un 1
q 1, тогда
q n un 1 q n u1 , но ряд
un
u1
n
u1 q сходится при q 1. По мажорантному признаку
n
n 1
теперь
n
un 1
1, тогда
un
u
n 1
un u1 lim un u1 0 не
n
необходимое условие сходимости ряда. Ряд
u
n 1
n
расходится.
n
сходится.
выполнено

19.

Признак Даламбера
Теорема (Признак Даламбера в предельной форме).
Пусть все члены ряда
u
n 1
если q 1 то ряд
n
un 1
q. Тогда
n u
n
положительны: n un 0, и lim
un сходится, если q 1, то ряд
n 1
u
n 1
n
расходится,
существуют сходящиеся и расходящиеся ряды при q 1.
Доказательство.
Пусть q 1, возьмем : q 1. Для такого N : n N
q
un 1
q
un
un 1
u
q . Поскольку выполнено условие n 1 q 1, то ряд
un
un
или
u
n 1
n
сходится
по предыдущей теореме (в допредельной форме).
Пусть теперь q 1, возьмем : q 1. Для него N : n N
u
q n 1 q . Поскольку выполнено условие
un
un 1
q или
un
un 1
q 1, то ряд
un
расходится по предыдущей теореме (в допредельной форме).
u
n 1
n

20.

Признак Даламбера
Пример:
Можно привести примеры сходящихся и расходящихся рядов для случая q 1 .
1
Так гармонический ряд расходится, а ряд
n 1 n
4n
n 1
1
2
1
сходится (см. выше).
n
4n 2 1
lim
lim
1.
2
n n 1
n
4 n 1 1
При этом
Пример:
Ряд
n 1
q lim
n
2n n3 1
n!
сходится
2n 1 n 1 1
3
n 1 !
по
n!
2
lim
0 1.
n
3
n
n 1
2 n 1
признаку
Даламбера,
т.к.

21.

Радикальный признак Коши
Теорема (Признак Коши в допредельной форме).
Пусть все члены ряда
u
n 1
n
неотрицательны, N 0 некоторый номер. Тогда
если n N0 n un q 1, то ряд
если n N0 un 1, то ряд
n
u
n 1
n
сходится,
u
n 1
n
расходится.
Доказательство. Пусть n N0 n un q 1, тогда начиная
q
n
сходится при q 1. По мажорантному признаку
n 1
Пусть
u
n 1
теперь
n N0 n un 1, тогда
n
сходится.
un 1 lim un 1 0 не
n
необходимое условие сходимости ряда. Ряд
с N 0 un q n , но ряд
u
n 1
n
расходится.
выполнено

22.

Радикальный признак Коши
Теорема (Признак Коши в предельной форме).
Пусть все члены ряда
u
n 1
если q 1 то ряд
n
неотрицательны и lim n un q. Тогда
u
n 1
n
n
сходится, если q 1, то ряд
u
n 1
n
расходится,
существуют сходящиеся и расходящиеся ряды при q 1.
Доказательство.
Пусть q 1, возьмем : q 1. Для такого N : n N
q un q . Поскольку выполнено условие
n
n
n
un q
un q 1, то ряд
или
u
n 1
n
сходится
по предыдущей теореме (в допредельной форме).
Пусть теперь q 1, возьмем : q 1. Для него N : n N
q un q . Поскольку выполнено условие
n
n
n
un q или
un q 1, то ряд
расходится по предыдущей теореме (в допредельной форме).
u
n 1
n

23.

Признак Коши
Пример:
Можно привести примеры сходящихся и расходящихся рядов для случая q 1 .
1
Так гармонический ряд расходится, а ряд
n 1 n
При этом
lim n
n
4n
n 1
1
2
1
1
1
lim n 2
1.
n
n
4n 1
Пример:
n
2n
Ряд n 4
сходится по признаку Коши, т.к.
3
n
4
n 1
n
2n
2
2n
q lim n n 4
lim
1.
n
n 3n 4
3
n
4
3
сходится (см. выше).

24.

Интегральный признак Коши-Маклорена
Теорема (Признак Коши-Маклорена).
Пусть функция f ( x ) неотрицательна и не возрастает на 1; . Тогда ряд
f (n) и
n 1
несобственный интеграл
f ( x) dx сходятся и расходятся одновременно.
1
Доказательство.
Рассм.
f ( x)
на
сегменте
k 1; k .
Поскольку
f ( x)
не
возрастает
f (k ) f ( x) f (k 1) f ( x) ограничена и монотонна (по условию) на k 1; k
k
интегрируема
на
нем.
Имеем
k 1
k
f (k )
k
f (k ) dx
k
f ( x) dx
k 1
f (k 1) dx
k 1
f ( x) dx f (k 1). Просуммируем это неравенство от k n 1 до k m :
k 1
m
k n 1
m
f (k ) f ( x) dx
n
m
k n 1
m 1
f (k 1) f (k ).
k n
(4)
или

25.

Интегральный признак Коши-Маклорена
m
Напомним, что
k n 1
Пусть
m 1
m
f (k ) f ( x) dx f (k ).
(4)
k n
n
R2
f ( x) dx .
f ( x) dx , тогда 0 A A( ) 1: R2 R1 A
R1
1
0 N A( ) : m n N
Тогда
m
f ( x) dx .
(5)
n
Из (4) и (5)
m
k n 1
Пусть теперь
f (k )
m
k n 1
m
m
n
n
n 1
f (k ) f ( x) dx
f ( x) dx ряд f (n) сходится.
m 1
m
k 1
1
f ( x) dx . Положим в (4) n 1, тогда Sm 1 f (k ) f ( x) dx.
1
Перейдем к пределу m : S lim Sm
m
1
f ( x) dx ряд
f (n) расходится.
n 1

26.

Интегральный признак Коши-Маклорена
Пример: обобщенный гармонический ряд
1
Ряд
n 1 n
сходится и расходится одновременно с
Таким образом, он сходится при
1
1
n 1 n
.
, 1,
dx
1
x
, 1.
1
1 и расходится при 1.
Пример:
Ряд
n
n 2
1
ln n
сходится и расходится одновременно с
Таким образом, он сходится при
2
, 1,
dx
1
ln 2
x ln x
, 1.
1
1 и расходится при 1.

27.

Пример: Применение признака сравнения в предельной форме.
Исследовать на сходимость ряд
n e
1/ n
n 1
Имеем
e 1/ n 2 .
1 1
1 1
1
1
n e1/ n e 1/ n 2 n 1 2 o 2 1 2 o 2 2
n 2n
n
n
n 2n
Поскольку ряд
1
сходится
3/2
n 1 n
3 / 2 1 , то по признаку сравнения исходный ряд
n e
1/ n
n 1
1
.
3/2
n
e 1/ n 2 сходится.

28.

Признаки Раабе и Гаусса
Теорема (Признак Раабе в допредельной форме)
Если существует число r 1 , такое что, начиная с некоторого номера n0 выполнено неравенство
u
n n 1 r , то ряд
un 1
u
u n сходится, если же для n n0 n n 1 1, то ряд
n 1
un 1
u
n 1
n
расходится.
Теорема (Признак Раабе в предельной форме)
un
1 r , то при r 1 ряд
un 1
Если существует lim n
n
u
n 1
n
сходится, если же r 1, то ряд
u
n 1
n
расходится.
Теорема (Признак Гаусса)
Если существуют числа , , 0 и ограниченная последовательность n , такие что, начиная
с некоторого номера n0 выполнено равенство
un
1 n , то при 1 ряд
un 1
n n
сходится, а при 1, он расходится, если же 1, то при 1 ряд
n 1
u
n 1
а при 1, он расходится.
u
n
сходится,
n

29.

Применение признаков Раабе и Гаусса
Пример: Исследовать на сходимость ряд
p ( p 1) ( p n 1)
, p, q 0.
q
(
q
1)
(
q
n
1)
n 1
Решение : Поскольку имеет место
q p
un q n
(q p )
1
o , то
1
1
un 1 p n
p n
p n
n
u
lim n n 1 ( q p ), и ряд по признаку Раабе сходится
n
un 1
при (q p ) 1 и расходится при ( q p ) 1, если же ( q p) 1,
q n
q p
u
(q p ) n
1
то n
2 1
n2
1
1
un 1 p n
p n
p n
n
p n n
1
1 p
1
1
1
n2 1 2 o 2 n2 1 n2 , и ряд
p n
n n
n n
n n
n 1
n
расходится по признаку Гаусса.

30.

Вопросы к экзамену
1) Понятие числового ряда, его сходимости, суммы.
2) Критерий Коши сходимости числового ряда.
Необходимое условие сходимости.
3) Арифметические свойства сходящихся рядов.
4) Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости.
5) Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.
6) Признак Даламбера в допредельной и предельной форме.
7) Признак Коши в допредельной и предельной форме.
8) Признаки Раабе и Гаусса.
9) Интегральный признак Коши-Маклорена.

31.

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Лекция 1
«Знакопостоянные числовые ряды»
Завершена.
Спасибо за внимание!