Лекция 13

1. Числовые ряды

Основные понятия
Основные теоремы о сходящихся рядах
Необходимый признак сходимости ряда
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами

2. Основные понятия

Пусть задана бесконечная числовая последовательность:
U1, U2, U3 … Un .…, где Un= f(n).
Бесконечным числовым рядом называется выражение:
U 1+ U 2 + U 3 + … U n + …
члены ряда
общий член ряда
U1 U 2 U 3 ... U n ... U n
n 1
Сумму конечного числа n первых членов ряда называют
n - ой частичной суммой ряда.
Sn U1 U2 U3 ... Un

3. Основные понятия

Ряд называется сходящимся если его n - я частичная
сумма Sn , при неограниченном возрастании n , стремится к
конечному пределу, т.е. если существует конечный предел.
lim S n S
n
сумма ряда
Если
lim S n
n
или не существует, то ряд называется расходящимся и
суммы не имеет.

4. Основные понятия

Пример
Рассмотрим ряд геометрической прогрессии:
b bq bq 2 bq 3 bq n
знаменатель прогрессии
первый член
прогрессии
n - ая частичная сумма ряда:
b(1 q n )
Sn
1 q
b(1 q n )
b
lim Sn lim
lim(1 q n )
n
n
1 q
1 q n
Рассмотрим отдельные случаи:
1
q 1
2
q 1
lim q n 0
n
lim q n
n
S lim Sn
b
- ряд сходится
1 q
lim Sn
- ряд расходится
n
n

5. Основные понятия

3
4
q 1
b b b
Sn b n
q 1
lim Sn lim bn
n
n
b b b b
- ряд расходится
- предел не существует, ряд
расходится
Следовательно, ряд геометрической прогрессии
n
bq
n 0
сходится при q 1

6. Основные теоремы о сходящихся рядах

1
На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа
его членов, т.е. если сходится ряд получившийся из данного
ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится сам
данный ряд.
2
U
Если ряд
n 1
сходится и сумма его равна S то ряд
n
CU
n 1
также сходится и сумма его равна C S , где С - постоянная.
3
Если ряды
a S и b S
n 1
n
1
n 1
n
2
сходятся, то ряд
(a b )
n 1
n
n
также сходится и сумма его равна S1+S2.
n

7. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема
Если ряд сходится, то его n - й член стремится к
нулю при n стремящимся к бесконечности.
lim U n 0
n
Доказательство
Рассмотрим ряд
По условию ряд сходящийся:
lim S n S
n
U
n 1
n
(1)
Sn-1
Запишем ряд в виде:
lim S n 1 S
n
(2)
U1 U2 U3 ... Un 1 Un ...
Sn

8. Необходимый признак сходимости ряда

Вычтем из (1) - (2) почленно, получим:
lim Sn lim Sn 1 S S 0
n
n
lim (S S
n
n
n 1
) 0
lim U n 0
n
Следствие
Если n -й член ряда не стремится к нулю, при n то ряд
расходится, если Un 0 ,то ряд может сходится, может
расходится.

9. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Ряд с положительными членами: U n 0 - для любого n
Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами:
U
n 1
Допустим существует предел:
1 ряд сходится
un 1
lim
n u
n
1 ряд расходится
1 ?
n

10. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Пример
Исследовать на сходимость ряд:
1 2 3 4
2 4 8 16
n
n 1
un n ;
un 1 n 1
2
2
u n 1
(n 1) 2n
(n 1) 2n
lim
lim
lim n
n
1
n 2 2 n
n u
n
2 n
n
1
1
n 1
1
1
1
lim
lim 1
2
2 n n
2 n n
ряд сходится

11. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами:
U
n 1
Допустим существует предел:
1 ряд сходится
lim n Un
n
1 ряд расходится
1 ?
n

12. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Пример
n
Исследовать на сходимость ряд:
n 1 5n 1
n
un
5n 1
n
n
n
n
un
5n 1
n
1
1
lim
lim
1
n 5n 1
n 5
5
n
1
ряд сходится

13. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Интегральный признак сходимости
Пусть дан ряд с положительными членами
U
n 1
n
, причем
u1 u2 u3 ... un
Пусть также f(x) - непрерывная монотонно убывающая
функция, такая что f(n) = Un.
Тогда данный ряд и интеграл
f ( x )dx
1
одновременно сходятся и расходятся.

14. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Пример
1
Исследовать на сходимость ряд: k
n 1 n
Такой ряд называется обобщенный гармонический ряд
Рассмотрим функцию: f ( x )
1
xk
при
x 1.
Эта функция монотонно убывает и непрерывна. Следовательно
условие интегрального признака соблюдены.
f (n )
1
Un
k
n

15. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим случай, когда
b
k 1
k 1
b
1
x
k
x dx lim
1 x k dx blim
b k 1
1
1
1
1
lim k 1 1
1 k b b
1
- при k > 1 – ряд сходится
k 1
- при k < 1 – ряд расходится
При k = 1:
b
1
1
b
dx lim ln x 1 lim (ln b ln 1)
1 x dx blim
x
b
b
1
- ряд расходится

16. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами:
U
n 1
и
n
V
n 1
n
Un Vn
Vn - сходится
Для этих рядов справедливо:
U
n 1
n
также сходится
n
также расходится
n 1
Un Vn
V
n 1
n
- расходится
U
n 1

17. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

U
n 1
V
n 1
n
n
- исследуемый ряд
- ряд, который выбирается для сравнения и про который
должно быть известно, сходится он или расходится.
Ряды, которые обычно выбираются для сравнения:
1
Ряд геометрической прогрессии:
n
bq
n 0
сходится при
q 1
2
1
Обобщенный гармонический ряд
k
n
n 1
сходится при
k 1

18. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Пример
Исследовать на сходимость ряд:
1
1
1
1 2 3 ... n ...
2
3
n
Выберем для сравнения ряд:
1
Un n
n
1
Vn n
2
Ряд сходится, так как это геометрическая прогрессия со
знаменателем
1
q 1
2
1
1
n
n
n
2
Неравенство выполняется для всех членов рядя,
начиная с третьего, значит ряд Un также сходится
по признаку сравнения.