Ряды с положительными членами

1.

Рассмотрим ряды с неотрицательными членами.
Основное свойство таких рядов заключается в
том, что
Последовательность частичных сумм ряда
с неотрицательными членами является
неубывающей.

2.

Для того, чтобы ряд с неотрицательными
членами сходился, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность
его частичных сумм была ограничена.

3.

Пусть даны два ряда с положительными
членами
u
n 1
n
(1)
причем
и
v
n 1
un vn
n
( 2)

4.

Тогда
1. Если сходится второй ряд, то
сходится и первый;
2. Если расходится первый ряд, то
расходится и второй.

5.

1
Пусть частичные суммы рядов (1) и (2) равны,
соответственно, sn и S n
По условию ряд (2) сходится, следовательно
lim S n S
n
Sn S
Рассмотрим последовательность частичных сумм
sn
Эта последовательность является возрастающей,
т.к. с ростом n
увеличивается сумма
положительных слагаемых.

6.

Эта
последовательность
является
ограниченной, т.к.s S S
n
n
также
Поэтому на основании признака существования
предела эта последовательность имеет предел и
ряд (1) – сходится.
2
От противного:
Предположим, что ряд (2) сходится, следовательно
будет сходиться и ряд (1), что противоречит
условию теоремы.
Следовательно, ряд (2) – расходится.

7.

Так как сходимость ряда не меняется при
отбрасывании конечного числа членов ряда,
то условие сравнения не обязательно
должно выполняться с первых членов рядов.
Достаточно, чтобы оно выполнялось,
начиная с некоторого номера k.

8.

1
Исследовать сходимость ряда
1
1
1
1
...
...
2
n 1
2 3 3 3
n 3

9.

Сравним этот ряд c геометрическим рядом
a a q a q 2 ... a q n 1 ... a q n 1
При
n 1
1
a 1, q 1
3
1
1
1
1 2 ... n 1 ... - ряд сходится.
3
3
3
1
1
n 1
n 1
n 3
3
Т.к. члены заданного ряда, начиная со второго,
меньше членов геометрического сходящегося
ряда, то заданный ряд сходится.

10.

2
Исследовать сходимость ряда
1
2 1
1
...
3 2
1
...
n(n 1)

11.

Сравним этот ряд c расходящимся гармоническим
рядом
1 1
1
1 ... ...
2 3
n
1
1
n
n(n 1)
Т.к. члены заданного ряда, начиная со второго,
больше членов гармонического расходящегося
ряда, то заданный ряд расходится.

12.

1
Геометрический ряд
a q
n 1
сходится при
и расходится при
q 1
q 1
n 1

13.

2
Гармонический ряд
- расходится.
1
n 1 n

14.

3
1
Обобщенный гармонический ряд
n 1 n
сходится при
и расходится при
1
1

15.

Если
u
n 1
n
и
v
n 1
n
ряды с положительными членами и
существует
конечный
предел
отношения их общих членов
un
lim
k 0
n v
n
то ряды одновременно сходятся или
расходятся.

16.

Так как
un
lim
k
n v
n
то
по
определению
предела
числовой
последовательности для любого ε>0 существует
такой номер N, что для всех n>N выполняется
неравенство:
un
k
vn
un k vn vn

17.

(k ) vn un (k ) vn
Если ряд
v
n 1
n
сходится, то ряд
(k ) v
n 1
n
тоже сходится, и в силу признака сравнения будет
сходится ряд u
n 1
n
Аналогично, если ряд
n 1
(k ) v
n 1
u
n
n
сходится, то ряд
тоже сходится, и
будет сходится ряд
u
n 1
n

18.

Исследовать сходимость ряда
2n 2 5
3
n
n 1

19.

Сравним этот ряд c гармоническим рядом
1 1
1
1 ... ...
2 3
n
поскольку при больших n
2n 2 5
2
3
n
n
un
2n 5
2n 5
lim
lim
n lim
2
3
2
n v
n
n
n
n
n
2
2
Так как гармонический ряд – расходящийся, то
и заданный ряд тоже расходится.

20.

Пусть для ряда
u
n 1
n
с положительными
членами существует конечный предел
отношения его (n+1) –го члена к n – му:
u n 1
lim
l
n u
n
Если l <1 – ряд сходится; если l >1 – ряд
расходится; если l=1 – вопрос о
сходимости остается нерешенным.

21.

По
определению
предела
числовой
последовательности для любого ε>0 существует
такой номер N, что для всех n>N выполняется
неравенство:
un 1
l
un
un 1
l
l
un
Пусть l<1. Выберем ε таким малым, что
1
число q=l+ε<1, т.е.
u n 1
un 1 q un
или
q
un
Это неравенство будет выполняться для всех n>N,
т.е. для n=N+1, N+2…

22.

u N 2 q u N 1
u N 3 q u N 2 q u N 1
2
u N k q u N k 1 q
k 1
u N 1
Получили, что члены ряда
u N 2 u N 3 ... u N k ...
меньше членов геометрического ряда
q u N 1 q u N 1 ... q
2
k 1
u N 1 ...
который сходится при q<1.
Следовательно,
этот
ряд
сходится
и
заданный
ряд u n
n 1
тоже сходится, т.к. он отличается от
рассматриваемого на первые (n+1) членов.

23.

2
Пусть l>1. Выберем ε таким малым, что
число l-ε>1, т.е.
u n 1
u n 1
1
l или
un
un
Значит члены ряда будут возрастать, начиная с
номера N+1, поэтому предел общего члена не
может быть равен нулю и не выполняется
необходимый признак сходимости.
Ряд расходится.

24.

1
Исследовать сходимость ряда
1
2
n
2 ... n ...
2 2
2

25.

n
un n
2
u n 1
n 1
n 1
2
un 1
n 1 2
1
n 1 1
lim
lim n 1 lim
1
n u
n 2
n n
n
2
2
n
n
Ряд сходится.

26.

2
Исследовать сходимость ряда
3n n!
3
n
n 1

27.

3n n!
un
n3
un 1
3n 1 (n 1)!
(n 1)3
un 1
3n 1 (n 1)! n 3
lim
lim
n
3
n u
n
(n 1)
3 n!
n
n3 (n 1)
3 lim
1
3
n (n 1)
Ряд расходится.

28.

Пусть дан ряд
u
n 1
n
члены которого
положительны и не возрастают, т.е.
u1 u2 ... un ...
а функция f(x), определенная при
x 1
непрерывна и не возрастает, и

29.

f (1) u1
f (2) u2 ... f (n) un ...
Тогда
для
сходимости
ряда
необходимо,
чтобы
сходился
несобственный интеграл
f ( x)dx
1

30.

Рассмотрим ряд
2
3
f ( x)dx f ( x)dx ...
1
n 1
2
f ( x)dx ...
1
n
Его n-частичной суммой будет
2
3
n 1
n 1
1
2
n
1
Sn f ( x)dx f ( x)dx ...
f ( x)dx f ( x)dx
Сходимость этого ряда означает, что существует
предел последовательности его частичных сумм,
т.е. сходимость интеграла
f ( x)dx
1

31.

т.к.
lim S n lim
n
n
n 1
1
1
f ( x)dx f ( x)dx
Т.к. функция f(x) – монотонна на любом отрезке
[n,n+1]
f (n) f ( x) f (n 1)
или
un f ( x) un 1
n 1
n 1
n 1
u dx f ( x)dx u
n
n
n
n
dx
n 1

32.

n 1
un
f ( x)dx u
n 1
n
Если ряд
u
n 1
n
- сходится, то по признаку
сравнения должен сходится и ряд
Следовательно несобственный интеграл
f ( x)dx
1
тоже будет сходящимся, и наоборот.
(1).

33.

Исследовать сходимость ряда
n 1
1
n

34.

1
f ( x)
x
Пусть
При x>0 эта функция положительна и не
возрастающая.
b
1
1
dx
1 x dx blim
x
1
Если
1
lim ln x
b
b
1
lim ln b
b
Т.е. интеграл и ряд расходятся.

35.

Если
1
1
x
lim
b 1
b
1
1
lim b1 1
1 b
1
, 1 сходится
1
, 1 расходится

36.

Пусть дан ряд
u
n 1
n
члены которого
положительны. Если существует предел
lim
n
n
un L
то L <1 – ряд сходится; если L >1 – ряд
расходится.

37.

По
определению
предела
числовой
последовательности для любого ε>0 существует
такой номер N, что для всех n>N выполняется
неравенство:
n
1
un L
Пусть L<1.
L n un L

38.

Выберем ε таким малым, что число q=L+ ε<1, т.е.
все члены исходного ряда будут меньше
соответствующих
степеней
бесконечной
сходящейся геометрической прогрессии и по
признаку сравнения ряд будет сходиться.
2
Пусть L>1.
Выберем ε таким малым, что число L-ε>1, т.е.
предел общего члена не может быть равен нулю
и не выполняется необходимый признак
сходимости.
Ряд расходится.

39.

Исследовать сходимость ряда
b
c
n 1 n
где
n
lim cn c
n

40.

lim
n
n
b
un lim
n c
n
b
c
При
b c
ряд сходится.
При
b c
ряд расходится.