Ряды с членами произвольного знака

1.

Знакочередующимся называется ряд, в котором
члены попеременно то положительны, то
отрицательны:
u1 u2 u3 u4 ... ( 1)
un 0
n 1
un ...

2.

Если члены знакочередующегося ряда
убывают по абсолютной величине
u1 u2 u3 ... un ...
и предел его общего члена при
равен нулю:
n
lim u n 0
n
то ряд сходится, а его сумма не
превышает его первого члена.

3.

Рассмотрим последовательность частичных сумм
четного числа членов при n=2m:
S2 m (u1 u2 ) (u3 u4 ) ... (u2 m 1 u2 m )
Эта последовательность возрастает, т.к. с ростом
n
увеличивается
число
положительных
слагаемых в скобках.
Эта последовательность
поскольку
также
ограничена,

4.

S2m u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) ... (u2m 2 u2m 1 ) u2m
S 2 m u1
(1)
Поэтому последовательность S2m имеет предел:
lim S 2 m S
m
В неравенстве (1) переходим к пределу:
lim S 2 m lim u1
m
m
S u1

5.

Теперь рассмотрим последовательность частичных
сумм нечетного числа членов при n=2m+1:
S 2 m 1 S2 m u2 m 1
Переходим к пределу:
lim S 2 m 1 lim S 2 m lim u2 m 1 S
m
m
m
Так как при любом n (четном и нечетном)
lim S n S
n
то ряд сходится.
0

6.

Исследовать сходимость ряда
1
1
1
n 1
1 2 2 ... ( 1)
2 ...
2
3
n

7.

Проверим выполнение признака Лейбница:
1
Члены ряда
величине:
убывают
по
1
1
1 2 2 ...
2
3
2
1
lim 2 0
n n
Ряд сходится.
абсолютной

8.

Погрешность при приближенном вычислении
суммы сходящегося знакочередующегося ряда,
удовлетворяющего условиям теоремы
Лейбница, по абсолютной величине не
превышает абсолютной величины первого
отброшенного члена.

9.

По формуле:
S S n rn
Где Sn – сумма первых n членов ряда;
rn – n-ый остаток ряда
Полагаем приближенно:
S Sn
При этом мы допускаем погрешность, равную rn.
При четном n n-ый остаток знакочередующегося
ряда имеет вид:
un 1 un 2 ...

10.

Этот ряд удовлетворяет всем условиям теоремы
Лейбница и его сумма не превосходит первого
члена:
rn un 1
При
нечетном
n
n-ый
знакочередующегося ряда имеет вид:
un 1 un 2 ...
Его сумма отрицательна:
rn 0
Следовательно, для любого n
rn un 1
остаток

11.

Знакопеременным называется ряд, в котором
каждый член может быть как
положительным, так и отрицательным:
u1 u2 ... un ...

12.

Если ряд, составленный из абсолютных
величин членов знакопеременного ряда
u1 u2 ... un ...
сходится, то сходится и данный ряд.

13.

Пусть
S
n
- сумма абсолютных величин членов
ряда со знаком «+»;
Пусть
S
n
- сумма абсолютных величин членов
ряда со знаком «-».
Тогда частичная сумма знакопеременного ряда
n
S n1 S S
n
Частичная сумма ряда, состоящего из модулей:
n
Sn2 S S
n

14.

Ряд, состоящий из модулей, по условию
сходится, следовательно существует конечный
предел:
lim S n 2 S
n
Последовательности S n1
и Sn 2
возрастают и ограничены, поскольку
n
n
S S, S S
Следовательно существуют пределы
lim Sn , lim Sn
n
и
n
n
lim Sn1 lim S lim S
n
n
Ряд сходится.
n
n

15.

Ряд называется абсолютно сходящимся,
если сходится как сам ряд, так и ряд,
составленный из абсолютных величин его
членов.
Ряд называется условно сходящимся,
если сам ряд сходится, а ряд,
составленный из абсолютных величин его
членов - расходится.

16.

Свойства абсолютно и условно сходящихся
рядов различны.
Абсолютно
сходящиеся ряды можно
складывать, перемножать, переставлять
местами члены ряда.

17.

1
Исследовать ряд на абсолютную и
условную сходимость:
( 1)
n 1
n 1
1
n

18.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
значений членов данного ряда:
n 1
1
n
Это гармонический ряд, который расходится,
следовательно абсолютной сходимости нет.
Исследуем ряд на условную сходимость по
признаку Лейбница:

19.

1
Члены ряда
величине:
убывают
по
1 1
1 ...
2 3
2
1
lim
0
n n
Ряд условно сходится.
абсолютной

20.

2
Исследовать ряд на абсолютную и
условную сходимость:
( 1)
n 1
n 1
0
1
n

21.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
значений членов данного ряда:
n 1
1
n
Это обобщенный гармонический ряд, который
сходится при α>1, следовательно исходный ряд
будет сходится абсолютно.
При α<1 ряд расходится, следовательно
исследуем ряд на условную сходимость по
признаку Лейбница:

22.

1
Члены ряда
величине:
убывают
по
абсолютной
1
1
1 ...
2
3
2
1
lim 0
n n
При α<1 ряд условно сходится.