Лекция 2-16. 13.1.3.4. Интегральный признак Коши.
Доказательство.
Пример.
Оценка ошибки при приближенных вычислениях суммы ряда.
13.1.4. Знакопеременные ряды.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
13.1.5. Знакочередующиеся ряды.
Пример.
13.2. Функциональные ряды. 13.2.1. Общие определения.
Пример. Ряд сходится в области При ряд расходится.
287.00K
Category: mathematicsmathematics

Интегральный признак Коши. (Лекция 2.16)

1. Лекция 2-16. 13.1.3.4. Интегральный признак Коши.

¥
Теорема. Пусть дан ряд å un ( un > 0 ) , члены которого
n =1
являются значениями непрерывной функции f ( x ) при
целых значениях аргумента x : u1 = f ( 1) ,..., un = f ( n ) ,...
и пусть f ( x ) монотонно убывает в интервале 1, ¥ ) .
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный
¥
интеграл
ò f ( x ) dx
[
1
и расходится, если интеграл расходится.

2. Доказательство.

y
y = f ( x)
Доказательство.
1
2 n - 1n n + 1
x
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную
линией y = f ( x ) с основанием от 1 до n.
n
Площадь ее равна I n = ò f ( x ) dx.
1
Рассмотрим две ступенчатые фигуры:
f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( n ) = S n - u1; f ( 1) + f ( 2 ) + ... + f ( n - 1) = Sn - un .
Сравним площади Sn - u1 < I n < Sn - un . ÞSn < I n + u1; S n > I n + un .
Рассмотрим два варианта.
I = lim I n .
I n < I Þ Sn < u1 + I .
1) Интеграл сходится, т.е.
Тогда
n®¥
На основании леммы ряд сходится.
I n = ¥. Тогда из Sn > un + I n
2) Интеграл расходится, т.е. nlim
®¥
ряд расходится.

3. Пример.

¥
1
å np.
n =1
Применим интегральный признак Коши.
¥
I=
ò
1
1)
3)
dx
- p +1 ¥
(
)
x
1
- p +1
=
=
lim
x
1
.
x p - p + 1 1 1 - p x®¥
1
p >1 I =
;
p -1
¥
2)
p < 1 I = ¥;
1
p = 1, I = ò dx = lim ln x = ¥.
x
x®¥
1

4. Оценка ошибки при приближенных вычислениях суммы ряда.

¥
Оценка ошибки при приближенных
rn = ò f ( x ) dx.
вычислениях
суммы
ряда.
S -S = r =u +u
+ ..., "n.
n
Примеры: 1)
n +1
n
¥
1
ån
n=1
n+ 2
, p > 1. rn <
p
¥
ò
n
Для заданного e можно оценить
dx
- p +1 ¥
n
x
1
=
=
.
p
p
1
- p +1
x
( p - 1) n
n
n из условия
rn <
1
( p - 1) n
1
Для p = 2, e = 0, 001, rn < £ 0, 001, n = 1000.
n
Данный ряд медленно (плохо) сходится.
¥
1
1
2)
å n3 , p = 3, e = 0,001. rn < 2 £ 0,001, n = 24.
2n
n =1
¥
1
1
3)
å n4 , p = 4, e = 0,001. rn < 3n3 £ 0,001, n = 7.
n =1
p -1
£ e.

5. 13.1.4. Знакопеременные ряды.

Пример знакопеременного¥ряда 1 + 2 - 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - ...
Знакопеременный ряд å un сходится, если сходится
n =1 ¥
¥
ряд
å un . В этом случае ряд å un называется абсолютно
n =1
n =1
сходящимся.
Сходящийся ряд
¥
если ряд
å un
n =1
¥
å un
n =1
называют условно сходящимся,
расходится.

6. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1) Если ряд
¥
å un
сходится абсолютно, то возможна
n =1
перестановка бесконечного множества его членов. Если
¥
ряд
å un
n =1
сходится условно, то при перестановке
бесконечного множества его членов можно получить
расходящийся ряд или изменится сумма ряда.

7.

2) Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно
складывать, вычитать и умножать.
Например ( a1 + a2 + ... + an + ...) ( b1 + b2 + ... + bn + ...) =
= a1b1 + ( a2b1 + a1b2 ) + ... + ( anb1 + an-1b2 + ... + a1bn ) + ... .
Сумма полученного ряда равна произведению сумм
исходных
рядов.
¥
sin na
Пример. å
сходится абсолютно, т.к. ряд
n
2
n =1
¥
sin na
sin na
1
å 2n : 2n < 2n сходится.
n =1

8. 13.1.5. Знакочередующиеся ряды.

13.1.5. Знакочередующиеся
±
ряды.
¥
å ( -1)
n
n =1
un , un ³ 0.
Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде
u1 > u2 > ... > un > ... и
lim un = 0,то ряд сходится.
Причем S < u1, rn < un+1. n®¥
¥
n -1
un .
Доказательство. Возьмем для определенности å ( -1)
Рассмотрим последовательность сумм
n =1
S2m = ( u1 - u2 ) + ( u3 - u4 ) + ... + ( u2 m-1 - u2 m ) .
Она возрастающая.
S2 m+1 = u1 - éë( u2 - u3 ) + ( u4 - u5 ) + ... + ( u2 m - u2 m+1 ) ùû .
Выражение в квадратных скобках возрастающая последовательность. Следовательно последовательность убывающая.
S
2 m +1

9.

• Тогда S2 < S4 < S6 < ...; S1 > S3 > S5 > ... . "m, k S2m < S2k +1
т.к. если m < k , то S2 m < S2k = S2 k +1 - u2 k +1 < S2k +1;
если m > k ( m = k ) , то S2m = S2m+1 - u2 m+1 < S2 m+1 < S2 k +1.
Последовательность с четными индексами возрастает
S2m = S ,
и ограничена сверху. Значит существует mlim
®¥
т. к. S2m+1 = S2m + u2m+1; lim u2m+1 = 0,то
m®¥
lim S 2m+1 = lim S2 m = S .
m®¥
m®¥
Если бы перед рядом стоял минус, то картина
зеркально отразится относительно точки x = 0.
rn = ± ( un+1 - un+ 2 + ...) удовлетворяет
Остаток ряда
условиям признака Лейбница. Поэтому его сумма
rn < un+1.

10. Пример.

¥
1
å ( -1) n .
n =1
n
Ряд сходится по признаку Лейбница, т. к.
u1 > u2 > ... > un > ...
n®¥
Но ряд сходится плохо, т. к.
1
rn < .
n
lim un = 0.

11. 13.2. Функциональные ряды. 13.2.1. Общие определения.

u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
Такие ряды называют функциональными.
Предполагается, что un ( x ) определены и непрерывны.
Для одних значений x ряд может сходится, для других
– расходиться. При значении x = x0 получим числовой
¥
ряд
å un ( x0 ) . Если он сходится, то точка
n=1
x = x0
называется точкой сходимости функционального ряда.
Совокупность всех точек сходимости называется
областью сходимости функционального ряда. Область
сходимости – интервал оси Ox.

12. Пример. Ряд сходится в области При ряд расходится.

Пример.
¥
n
x
Î
1,1
.
(
)
Ряд
сходится
в
области
x
.
å
n =1
При
x ³ 1 ряд расходится.
Сумма ряда S ( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
есть функция независимой 1переменной x. В примере
S ( x) =
.
1- x
Эта функция есть сумма только при x Î ( -1,1) .
Частичная сумма n первых членов ряда обозначается
Sn ( x ) ; остаток ряда - rn ( x ) . Если ряд сходится при
каком-либо x , то lim S x = S x , lim r x = 0.
n®¥
n
( )
( )
n®¥
n
( )
При конечном числе функций интеграл или
производная от суммы равна сумме интегралов или
производных. Для ряда этого может и не иметь место.
English     Русский Rules