Интегральный признак Коши. (Лекция 2.16)

1. Лекция 2-16. 13.1.3.4. Интегральный признак Коши.

¥
Теорема. Пусть дан ряд å un ( un > 0 ) , члены которого
n =1
являются значениями непрерывной функции f ( x ) при
целых значениях аргумента x : u1 = f ( 1) ,..., un = f ( n ) ,...
и пусть f ( x ) монотонно убывает в интервале 1, ¥ ) .
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный
¥
интеграл
ò f ( x ) dx
[
1
и расходится, если интеграл расходится.

2. Доказательство.

y
y = f ( x)
Доказательство.
1
2 n - 1n n + 1
x
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную
линией y = f ( x ) с основанием от 1 до n.
n
Площадь ее равна I n = ò f ( x ) dx.
1
Рассмотрим две ступенчатые фигуры:
f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( n ) = S n - u1; f ( 1) + f ( 2 ) + ... + f ( n - 1) = Sn - un .
Сравним площади Sn - u1 < I n < Sn - un . ÞSn < I n + u1; S n > I n + un .
Рассмотрим два варианта.
I = lim I n .
I n < I Þ Sn < u1 + I .
1) Интеграл сходится, т.е.
Тогда
n®¥
На основании леммы ряд сходится.
I n = ¥. Тогда из Sn > un + I n
2) Интеграл расходится, т.е. nlim
®¥
ряд расходится.

3. Пример.

¥
1
å np.
n =1
Применим интегральный признак Коши.
¥
I=
ò
1
1)
3)
dx
- p +1 ¥
(
)
x
1
- p +1
=
=
lim
x
1
.
x p - p + 1 1 1 - p x®¥
1
p >1 I =
;
p -1
¥
2)
p < 1 I = ¥;
1
p = 1, I = ò dx = lim ln x = ¥.
x
x®¥
1

4. Оценка ошибки при приближенных вычислениях суммы ряда.

¥
Оценка ошибки при приближенных
rn = ò f ( x ) dx.
вычислениях
суммы
ряда.
S -S = r =u +u
+ ..., "n.
n
Примеры: 1)
n +1
n
¥
1
ån
n=1
n+ 2
, p > 1. rn <
p
¥
ò
n
Для заданного e можно оценить
dx
- p +1 ¥
n
x
1
=
=
.
p
p
1
- p +1
x
( p - 1) n
n
n из условия
rn <
1
( p - 1) n
1
Для p = 2, e = 0, 001, rn < £ 0, 001, n = 1000.
n
Данный ряд медленно (плохо) сходится.
¥
1
1
2)
å n3 , p = 3, e = 0,001. rn < 2 £ 0,001, n = 24.
2n
n =1
¥
1
1
3)
å n4 , p = 4, e = 0,001. rn < 3n3 £ 0,001, n = 7.
n =1
p -1
£ e.

5. 13.1.4. Знакопеременные ряды.

Пример знакопеременного¥ряда 1 + 2 - 3 - 4 - 5 + 6 + 7 - ...
Знакопеременный ряд å un сходится, если сходится
n =1 ¥
¥
ряд
å un . В этом случае ряд å un называется абсолютно
n =1
n =1
сходящимся.
Сходящийся ряд
¥
если ряд
å un
n =1
¥
å un
n =1
называют условно сходящимся,
расходится.

6. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1) Если ряд
¥
å un
сходится абсолютно, то возможна
n =1
перестановка бесконечного множества его членов. Если
¥
ряд
å un
n =1
сходится условно, то при перестановке
бесконечного множества его членов можно получить
расходящийся ряд или изменится сумма ряда.

7.

2) Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно
складывать, вычитать и умножать.
Например ( a1 + a2 + ... + an + ...) ( b1 + b2 + ... + bn + ...) =
= a1b1 + ( a2b1 + a1b2 ) + ... + ( anb1 + an-1b2 + ... + a1bn ) + ... .
Сумма полученного ряда равна произведению сумм
исходных
рядов.
¥
sin na
Пример. å
сходится абсолютно, т.к. ряд
n
2
n =1
¥
sin na
sin na
1
å 2n : 2n < 2n сходится.
n =1

8. 13.1.5. Знакочередующиеся ряды.

13.1.5. Знакочередующиеся
±
ряды.
¥
å ( -1)
n
n =1
un , un ³ 0.
Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде
u1 > u2 > ... > un > ... и
lim un = 0,то ряд сходится.
Причем S < u1, rn < un+1. n®¥
¥
n -1
un .
Доказательство. Возьмем для определенности å ( -1)
Рассмотрим последовательность сумм
n =1
S2m = ( u1 - u2 ) + ( u3 - u4 ) + ... + ( u2 m-1 - u2 m ) .
Она возрастающая.
S2 m+1 = u1 - éë( u2 - u3 ) + ( u4 - u5 ) + ... + ( u2 m - u2 m+1 ) ùû .
Выражение в квадратных скобках возрастающая последовательность. Следовательно последовательность убывающая.
S
2 m +1

9.

• Тогда S2 < S4 < S6 < ...; S1 > S3 > S5 > ... . "m, k S2m < S2k +1
т.к. если m < k , то S2 m < S2k = S2 k +1 - u2 k +1 < S2k +1;
если m > k ( m = k ) , то S2m = S2m+1 - u2 m+1 < S2 m+1 < S2 k +1.
Последовательность с четными индексами возрастает
S2m = S ,
и ограничена сверху. Значит существует mlim
®¥
т. к. S2m+1 = S2m + u2m+1; lim u2m+1 = 0,то
m®¥
lim S 2m+1 = lim S2 m = S .
m®¥
m®¥
Если бы перед рядом стоял минус, то картина
зеркально отразится относительно точки x = 0.
rn = ± ( un+1 - un+ 2 + ...) удовлетворяет
Остаток ряда
условиям признака Лейбница. Поэтому его сумма
rn < un+1.

10. Пример.

¥
1
å ( -1) n .
n =1
n
Ряд сходится по признаку Лейбница, т. к.
u1 > u2 > ... > un > ...
n®¥
Но ряд сходится плохо, т. к.
1
rn < .
n
lim un = 0.

11. 13.2. Функциональные ряды. 13.2.1. Общие определения.

u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
Такие ряды называют функциональными.
Предполагается, что un ( x ) определены и непрерывны.
Для одних значений x ряд может сходится, для других
– расходиться. При значении x = x0 получим числовой
¥
ряд
å un ( x0 ) . Если он сходится, то точка
n=1
x = x0
называется точкой сходимости функционального ряда.
Совокупность всех точек сходимости называется
областью сходимости функционального ряда. Область
сходимости – интервал оси Ox.

12. Пример. Ряд сходится в области При ряд расходится.

Пример.
¥
n
x
Î
1,1
.
(
)
Ряд
сходится
в
области
x
.
å
n =1
При
x ³ 1 ряд расходится.
Сумма ряда S ( x ) = u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
есть функция независимой 1переменной x. В примере
S ( x) =
.
1- x
Эта функция есть сумма только при x Î ( -1,1) .
Частичная сумма n первых членов ряда обозначается
Sn ( x ) ; остаток ряда - rn ( x ) . Если ряд сходится при
каком-либо x , то lim S x = S x , lim r x = 0.
n®¥
n
( )
( )
n®¥
n
( )
При конечном числе функций интеграл или
производная от суммы равна сумме интегралов или
производных. Для ряда этого может и не иметь место.